% (find-LATEX "2023-2-C2-comprimento-de-arco.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2023-2-C2-comprimento-de-arco.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2023-2-C2-comprimento-de-arco.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2023-2-C2-comprimento-de-arco.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2023-2-C2-comprimento-de-arco.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C2-comprimento-de-arco.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C2-comprimento-de-arco.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2023-2-C2-comprimento-de-arco"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2023-2-C2-comprimento-de-arco.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
%          (code-eec-LATEX "2023-2-C2-comprimento-de-arco")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2023-2-C2-comprimento-de-arco.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2023-2-C2-comprimento-de-arco.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2023-2-C2-comprimento-de-arco.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2023-2-C2-comprimento-de-arco.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2023-2-C2-comprimento-de-arco.pdf
%               file:///tmp/2023-2-C2-comprimento-de-arco.pdf
%           file:///tmp/pen/2023-2-C2-comprimento-de-arco.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2023-2-C2-comprimento-de-arco.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2")
% (find-MM-aula-links "2023-2-C2-comprimento-de-arco" "C2" "c2m232coa" "c2coa")

% «.defs»			(to "defs")
% «.defs-T-and-B»		(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»		(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»		(to "defs-pict2e")
% «.title»			(to "title")
% «.links»			(to "links")
% «.pontos-magicos-0»		(to "pontos-magicos-0")
% «.pontos-magicos-1»		(to "pontos-magicos-1")
% «.pontos-magicos-2»		(to "pontos-magicos-2")
% «.pontos-magicos-4»		(to "pontos-magicos-4")
% «.pontos-magicos-8»		(to "pontos-magicos-8")
% «.algumas-contas»		(to "algumas-contas")
% «.pescs-defs»			(to "pescs-defs")
% «.pescs»			(to "pescs")
% «.pontos-magicos-rev»		(to "pontos-magicos-rev")
% «.tres-tipos»			(to "tres-tipos")
%
% «.djvuize»		(to "djvuize")



% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links     "c2m232coa" "2023-2-C2-comprimento-de-arco")
% (code-eevvideo      "c2m232coa" "2023-2-C2-comprimento-de-arco")
% (code-eevlinksvideo "c2m232coa" "2023-2-C2-comprimento-de-arco")
% (find-c2m232coavideo "0:00")

\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima}              % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2023-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2023.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua"           -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

\def\P#1{\left(#1\right)}

\pu



%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c2m232coap 1 "title")
% (c2m232coaa   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo C2 - 2023.2}

\bsk

Aula 25: comprimento de arco

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2023.2-C2.html}

\end{center}

\newpage

%  _     _       _        
% | |   (_)_ __ | | _____ 
% | |   | | '_ \| |/ / __|
% | |___| | | | |   <\__ \
% |_____|_|_| |_|_|\_\___/
%                         
% «links»  (to ".links")
% (c2m232coap 2 "links")
% (c2m232coaa   "links")
% (find-LATEXgrep "grep --color=auto -nH --null -e arco 202*tex")

{\bf Links}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "257" "4.2 O Teorema do Valor Médio")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "258" "teorema da existência")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "337" "pontos amostrais arbitrários")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "410" "O Teorema do Valor Médio para Integrais")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "488" "8.1 Comprimento de Arco")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "586" "Comprimento de arco")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "768" "13.3 Comprimento de Arco e Curvatura")
\par \Ca{StewPtCap4p14} (p.257) 4.2 O Teorema do Valor Médio
\par \Ca{StewPtCap4p15} (p.258) teorema da existência
\par \Ca{StewPtCap5p16} (p.337) pontos amostrais arbitrários
\par \Ca{StewPtCap6p33} (p.410) O Teorema do Valor Médio para Integrais
\par \Ca{StewPtCap8p5} (p.488) 8.1 Comprimento de arco
\par \Ca{StewPtCap10p16} (p.586) Comprimento de arco
\par \Ca{StewPtCap13p18} (p.768) 13.3 Comprimento de Arco e Curvatura

\ssk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "213" "marcas")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "224" "Teorema do valor médio para integrais")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "301" "9.5 Comprimento de Arco")
\par \Ca{MirandaP213} marcas
\par \Ca{MirandaP224} Teorema do valor médio para integrais
\par \Ca{MirandaP301} 9.5 Comprimento de arco

\ssk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "232" "4.3.2. Teorema do Valor Médio")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "324" "ponto escolhido")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "340" "5.7. O teorema do valor médio para")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "388" "6.3. Comprimento de arco")
\par \Ca{Leit4p18} (p.232) 4.3.2. Teorema do Valor Médio
\par \Ca{Leit5p41} (p.324) ponto escolhido
\par \Ca{Leit5p57} (p.340) 5.7 O teorema do valor médio para integrais
\par \Ca{Leit6p17} (p.388) 6.3 Comprimento de arco do gráfico de uma função

% (find-es "maxima" "qdraw-mis")

% Quadro de 2023.1:
% \par \Ca{2gQ63} (2023.1) Introdução a comprimento de arco

}\anothercol{
}}

\newpage

{\bf Introdução}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

    Cada um dos três livros que nós estamos usando -- Stewart,
    Miranda, Leithold -- tem pelo menos um capítulo com várias
    ``aplicações da integral''. Em cada uma dessas ``aplicações'' a
    gente aprende como pegar um certo conceito de Geometria ou Física,
    como volumes, comprimento de arco, áreas de superfícies de
    revolução, ou centro de massa e aí expressar a quantidade que a
    gente quer calcular como um somatório, e depois a gente transforma
    esse somatório numa integral. O método é sempre o mesmo, e ele tem
    dois passos: ``expressar como somatório'' e ``transformar o
    somatório numa integral''. O passo de ``expressar como somatório''
    é sempre trabalhoso e exige um olhômetro afiado pra gente entender
    os argumentos geométricos e as contas correspondentes a eles, e o
    passo de ``transformar o somatório numa integral'' exige um truque
    no qual a gente usa ``partições pontilhadas'' ao invés de
    ``partições'', e se a gente escolhe os `$m_i$'s das partições
    pontilhadas exatamente do jeito certo -- se a gente escolhe os
    pontos \standout{m}ágicos usando o Teorema do Valor
    \standout{M}édio para Integrais -- aí o limite dos somatórios vira
    algo bem simples...

}\anothercol{

  Normalmente em Cálculo 2 a gente apresenta a demonstração da
  ``fórmula'' de cada uma das ``aplicações'' super rápido, e quase
  ninguém entende as demonstrações -- mas as pessoas decoram as
  fórmulas e {\sl às vezes} conseguem aplicar elas na prova... e
  depois elas esquecem tudo.

  \msk

  Neste semestre eu vou tentar apresentar os passos mais importantes
  de uma dessas ``aplicações'' -- a fórmula pro comprimento de arco --
  com exemplos simples, figuras e exercícios... se tudo der certo
  depois vai ficar fácil entender as outras aplicações. Tomara que
  funcione! $\smile$


}}



\newpage

{\bf Pontos ``mágicos''}

\scalebox{0.55}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

    Eu vou dizer que os ``pontos mágicos'' pra uma função $f(x)$ no
    intervalo $[a,b]$ -- ou: os pontos mágicos pra integral
    $\Intx{a}{b}{f(x)}$ -- são os pontos $m∈[a,b]$ que obedecem isto
    aqui:
    % 
    $$\Intx{a}{b}{f(x)} \;=\; f(m)(b-a)
    $$

  Os pontos mágicos vão fazer os nossos somatórios virarem integrais
  de um modo magicamente simples. Por exemplo:
  %
  $$\begin{array}{l}
      \sum_{i=1}^{2} f(m_i)(b_i-a_i) \\
      = \; f(m_1)(b_1-a_1)
         + f(m_2)(b_2-a_2) \\
      = \; \Intx{a_1}{b_1}{f(x)}
        +  \Intx{a_2}{b_2}{f(x)} \\
      = \; \Intx{a_1}{b_2}{f(x)}
    \end{array}
  $$

  A figura da próxima página mostra os dois pontos mágicos para a
  minha parábola preferida, $f(x) = 4-(x-2)^2$, no intervalo $[0,4]$.
  As figuras das páginas 6 a 9 mostram os pontos mágicos pra $f(x)$
  nos subintervalos de várias partições do intervalo $[2,4]$.

    % (de vários tipos de objetos 3D, e calculados de vários formas)

}\anothercol{

  Os pontos mágicos geralmente são bem difíceis de calcular na mão;
  usando o Maxima eu consegui descobrir que os pontos mágicos da
  próxima página são:
  %
  $$x=\frac{2\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}} \quad \text{e} \quad
    x=\frac{2\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}}.
  $$

  Os pontos mágicos das outras páginas têm fórmulas horríveis -- eu
  usei o Maxima pra calculá-los e pra fazer os desenhos.

  \msk

  {\sl Os livros usam argumentos que mostram que os pontos mágicos
    existem, mas não calculam eles explicitamente.}

  \msk

  O Stewart e o Miranda chamam os pontos mágicos de `$x_i^*$'s ao
  invés de `$m_i$'s, e o Leithold chama eles de `$\xi_i$'s. {\sl Essas
    notações não deixam claro o quão mágicos esses pontos são.}
  $\frown$

  \msk

  Dê uma olhada aqui: \Ca{StewPtCap4p15}. Ele diz:

  \begin{quote}
    O Teorema do Valor Médio é um exemplo do que é chamado {\sl
      teorema de existência}. Da mesma forma que o Teorema do Valor
    Intermediário, o Teorema dos Valores Extremos e o Teorema de
    Rolle, ele garante que existe um número com certa propriedade, mas
    não nos diz como achá-lo.
  \end{quote}


}\anothercol{
}}


\newpage

% «pontos-magicos-0»  (to ".pontos-magicos-0")
% (c2m232coap 5 "pontos-magicos-0")
% (c2m232coaa   "pontos-magicos-0")
% (find-latexscan-links "C2" "mis_0")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2023-2-C2/mis_0.pdf")
\includegraphics[height=8cm]{2023-2-C2/mis_0.pdf}

\newpage

% «pontos-magicos-1»  (to ".pontos-magicos-1")
% (c2m232coap 6 "pontos-magicos-1")
% (c2m232coaa   "pontos-magicos-1")
% (find-latexscan-links "C2" "mis_1")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2023-2-C2/mis_1.pdf")
\includegraphics[height=8cm]{2023-2-C2/mis_1.pdf}

\newpage

% «pontos-magicos-2»  (to ".pontos-magicos-2")
% (c2m232coap 7 "pontos-magicos-2")
% (c2m232coaa   "pontos-magicos-2")
% (find-latexscan-links "C2" "mis_2")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2023-2-C2/mis_2.pdf")
\includegraphics[height=8cm]{2023-2-C2/mis_2.pdf}

\newpage

% «pontos-magicos-4»  (to ".pontos-magicos-4")
% (c2m232coap 8 "pontos-magicos-4")
% (c2m232coaa   "pontos-magicos-4")
% (find-latexscan-links "C2" "mis_4")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2023-2-C2/mis_4.pdf")
\includegraphics[height=8cm]{2023-2-C2/mis_4.pdf}

\newpage

% «pontos-magicos-8»  (to ".pontos-magicos-8")
% (c2m232coap 9 "pontos-magicos-8")
% (c2m232coaa   "pontos-magicos-8")
% (find-latexscan-links "C2" "mis_8")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2023-2-C2/mis_8.pdf")
\includegraphics[height=8cm]{2023-2-C2/mis_8.pdf}

\newpage

% «algumas-contas»  (to ".algumas-contas")
% (c2m232coap 10 "algumas-contas")
% (c2m232coaa    "algumas-contas")

{\bf Algumas contas}

\scalebox{0.75}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{

\vspace*{-0.5cm}

$$\begin{array}[t]{rcl}
    \sqrt  {1 + \P{\frac{b}{a}}^2}
    &=& \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} \\
    &=& \sqrt{\frac{a^2}{a^2} + \frac{b^2}{a^2}} \\
    &=& \sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}} \\
    &=& \sqrt{\mathstrut a^2+b^2}\,\sqrt{\frac{1}{a^2}} \\
    &=& \sqrt{\mathstrut a^2+b^2}\,\frac{1}{a} \\
  \end{array}
  \quad
  \begin{array}[t]{rcl}
    \sqrt   {1 + (\frac{b}{a})^2}  \; a
    &=& \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} \; a \\
    &=& \sqrt{\frac{a^2}{a^2} + \frac{b^2}{a^2}} \; a \\
    &=& \sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}} \; a \\
    &=& \sqrt{\mathstrut a^2+b^2}\,\sqrt{\frac{1}{a^2}} \; a \\
    &=& \sqrt{\mathstrut a^2+b^2}\,\frac{1}{a} \, a \\
    &=& \sqrt{\mathstrut a^2+b^2} \\
  \end{array}
$$
%
$$\def\a{x_0}
  \def\b{x_1}
  \def\c{y_0}
  \def\d{y_1}
  \def\ba{\b-\a}
  \def\dc{\d-\c}
  \def\pba{(\ba)}
  \def\pdc{(\dc)}
  \begin{array}{rcl}
    \sqrt{1 + \P{\frac{\dc}{\ba}}^2} \; \pba &=& \sqrt{\pba^2 + \pdc^2} \\ \\[-11pt]
    \sqrt{1 +             f'(m_1)^2} \; \pba &=& \sqrt{\pba^2 + \pdc^2} \\
  \end{array}
$$

\bsk

Compare com:
\par \Ca{StewPtCap8p6} (p.489)
\par \Ca{MirandaP302}
\par \Ca{Leit6p19} (p.390)

}\anothercol{
}}




\newpage

% «pescs-defs»  (to ".pescs-defs")

%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(7,4))
%L spec0  = [[ (0,1)--(2,1)--(4,3)--(5,3)--(6,1)--(7,1)   ]]
%L spec1a = [[ (2,0)c               (4,0)c  (5,0)c (6,0)c ]]
%L spec1b = [[ (2,0)c   (3,0)c      (4,0)c  (5,0)c (6,0)c ]]
%L spec2a = [[   (2.2,1.2)c            (4.4,3)c (5.5,2)c  ]]
%L spec2b = [[   (2.2,1.2)c (3.3,2.3)c (4.4,3)c (5.5,2)c  ]]
%L pws = PwSpec.from(spec0)
%L pws:topict():prethickness("1.5pt"):pgat("pgatc"):sa("dirichlet 1"):output()
%L p0 = Pict { PwSpec.from(spec0) :topict(),
%L           }:prethickness("1.5pt"):predotdims(0.4,0.3)
%L pA = Pict { PwSpec.from(spec0) :topict(),
%L             PwSpec.from(spec1a):topict():Color("Red"),
%L             PwSpec.from(spec2a):topict():Color("Orange"),
%L           }:prethickness("1.5pt"):predotdims(0.4,0.3)
%L pB = Pict { PwSpec.from(spec0) :topict(),
%L             PwSpec.from(spec1b):topict():Color("Red"),
%L             PwSpec.from(spec2b):topict():Color("Orange"),
%L           }:prethickness("1.5pt"):predotdims(0.4,0.3)
%L p0:pgat("pgatc"):sa("fig 0"):output()
%L pA:pgat("pgatc"):sa("fig A"):output()
%L pB:pgat("pgatc"):sa("fig B"):output()
\pu
\def\tabelaA{
  \begin{array}{ccccc}
    i & a_i & b_i & I_i & m_i \\\hline
    1 & 2 & 4 & [2,4]   & 2.2 \\
    2 & 4 & 5 & [4,5]   & 4.4 \\
    3 & 5 & 6 & [5,6]   & 5.5 \\
  \end{array}
  }
\def\tabelaB{
  \begin{array}{ccccc}
    i & a_i & b_i & I_i & m_i \\\hline
    1 & 2 & 3 & [2,3]   & 2.2 \\
    2 & 3 & 4 & [3,4]   & 3.3 \\
    3 & 4 & 5 & [4,5]   & 4.4 \\
    4 & 5 & 6 & [5,6]   & 5.5 \\
  \end{array}
  }

\unitlength=15pt

\newpage

% «pescs»  (to ".pescs")
% (c2m232coap 11 "pescs")
% (c2m232coaa    "pescs")

{\bf Somas de Riemann com pontos escolhidos}

\scalebox{0.45}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

Uma {\sl partição pontilhada}, ou uma {\sl partição com pontos
  escolhidos}, é um par $(P,Q)$ onde: $P$ é uma partição de um
intervalo $[a,b]$ com $N$ subintervalos e $Q=(m_1,\ldots,m_N)$,
$∀i∈\{1,\ldots,N\}.m_i∈[a_i,b_i]$.

\msk

Se $(P,Q)$ é uma partição pontilhada, então:
%
$$\int_{P,Q} f(x) \, dx \;=\; \sum_{i=1}^N f(m_i)(b_i-a_i)
$$

Cada um dos livros que estamos usando define isso de um jeito
ligeiramente diferente. Se você tiver tempo e curiosidade dê uma
olhada nestas páginas:

\msk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "337" "pontos amostrais arbitrários")
\par \Ca{StewPtCap5p16} (p.337) pontos amostrais
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "324" "ponto escolhido")
\par \Ca{Leit5p41} (p.324) ponto escolhido
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "213" "marcas")
\par \Ca{MirandaP213} marcas

\bsk

{\bf Exercício}

As figuras da direita definem uma função $f(x)$ e duas partições
pontilhadas do intervalo $[2,6]$; vou chamá-las de ``partição
pontilhada da esquerda'' (``p.p.esq.'') e ``partição pontilhada da
direita'' (``p.p.dir.''). Na p.p.esq.\ nós temos:
%
$$\begin{array}{rcl}
  \int_{P,Q} f(x)\,dx &=& 1.2·(4-2) \\[-1pt]
                      &+& 3.0·(5-4) \\
                      &+& 2.0·(6-5) \\
  \end{array}
$$

Seja $g(x) = \sqrt{1+f'(x)^2}$.

a) Quanto é $\int_{P,Q} f(x)\,dx$ na p.p.dir.?

b) Faça o gráfico de $f'(x)$.

c) Faça o gráfico de $g(x)$.

% (c2m232srp 14 "particoes")
% (c2m232sra    "particoes")

}\anothercol{

\vspace*{0pt}

$$f(x) \;=\; \ga{fig 0}
$$

$$\begin{array}[t]{l}
   \ga{fig A} \\
   P=\{2,4,5,6\} \\
   Q=(2.2,4.4,5.5) \\
   \tabelaA \\
 \end{array}
 \qquad
 \begin{array}[t]{l}
   \ga{fig B} \\
   P=\{2,3,4,5,6\} \\
   Q=(2.2,3.3,4.4,5.5) \\
   \tabelaB \\
 \end{array}
$$

\bsk

{\bf Exercício (cont.)}

d) Quanto é $\int_{P,Q} g(x)\,dx$ na p.p.esq.?

e) Quanto é $\int_{P,Q} g(x)\,dx$ na p.p.dir.?

f) Quanto é $\Intx{2}{6}{\sqrt{1+f'(x)^2}}$?

g) Quanto é $\sum_{i=1}^{N} \sqrt{(b_i-a_i)^2+(f(b_i)-f(a_i))^2}$ na p.p.esq.?

h) Quanto é $\sum_{i=1}^{N} \sqrt{(b_i-a_i)^2+(f(b_i)-f(a_i))^2}$ na p.p.dir.?

}}

\newpage

% «pontos-magicos-rev»  (to ".pontos-magicos-rev")
% (c2m232coap 12 "pontos-magicos-rev")
% (c2m232coaa    "pontos-magicos-rev")

{\bf Revisão de pontos mágicos}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

Lembre que:

$$f(x) \;=\; \ga{fig 0}
$$

$$\begin{array}[t]{l}
   \ga{fig A} \\
   P=\{2,4,5,6\} \\
   Q=(2.2,4.4,5.5) \\
   \tabelaA \\
 \end{array}
 \qquad
 \begin{array}[t]{l}
   \ga{fig B} \\
   P=\{2,3,4,5,6\} \\
   Q=(2.2,3.3,4.4,5.5) \\
   \tabelaB \\
 \end{array}
$$


}\anothercol{

{\bf Exercício}

Vou definir $M(a,b)$ desta forma:
%
$$M(a,b) \;=\; \setofst{x∈[a,b]}{f'(x) = \textstyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$$

Considere que a igualdade $f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ retorna

``falso'' nos pontos em que $f(x)$ não é derivável.

\msk

Diga quem são os conjuntos abaixo.

a) $M(0,2)$

b) $M(2,4)$

c) $M(0,4)$

d) $M(2,6)$

e) $M(2,7)$


\bsk
\bsk
\bsk

Obs: compare:

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "257" "4.2 O Teorema do Valor Médio")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "410" "O Teorema do Valor Médio para Integrais")
\par \Ca{StewPtCap4p14} (p.257) 4.2 O TVM
\par \Ca{StewPtCap6p33} (p.410) O TVM para Integrais

}}

\newpage

% «tres-tipos»  (to ".tres-tipos")
% (c2m232coap 13 "tres-tipos")
% (c2m232coaa    "tres-tipos")

{\bf Três tipos de pontos mágicos}

%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(5,5))
%L specf = [[ (0,1)--(1,1)--(2,3)--(3,4)--(4,4)--(5,4) ]]
%L specg = [[ (0,1)--(1,1)--(4,4)--(5,4) ]]
%L PwSpec.from(specf):topict():prethickness("1.5pt"):pgat("pgatc"):sa("dois tipos f"):output()
%L PwSpec.from(specg):topict():prethickness("1.5pt"):pgat("pgatc"):sa("dois tipos g"):output()
\pu

\vspace*{1cm}

$% (find-latexscan-links "C2" "dois_tipos_f")
  % (find-xpdf-page "~/LATEX/2023-2-C2/dois_tipos_f.pdf")
  \includegraphics[height=4.5cm]{2023-2-C2/dois_tipos_f.pdf}
  \quad
  % (find-latexscan-links "C2" "dois_tipos_g")
  % (find-xpdf-page "~/LATEX/2023-2-C2/dois_tipos_g.pdf")
  \includegraphics[height=4.5cm]{2023-2-C2/dois_tipos_g.pdf}
  %\ga{dois tipos f}
  %\ga{dois tipos g}
$







\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

%  ____  _             _         
% |  _ \(_)_   ___   _(_)_______ 
% | | | | \ \ / / | | | |_  / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ /  __/
% |____// | \_/  \__,_|_/___\___|
%     |__/                       
%
% «djvuize»  (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")

 (eepitch-shell)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2023.2-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2023-2-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")

cd /tmp/
for i in mis*.png; do echo convert $i $(basename $i .png).pdf; done
for i in mis*.png; do      convert $i $(basename $i .png).pdf; done
for i in dois_tipos*.png; do echo convert $i $(basename $i .png).pdf; done
for i in dois_tipos*.png; do      convert $i $(basename $i .png).pdf; done
laf   mis*
cp -v mis* ~/LATEX/2023-2-C2/
laf   dois_tipos*
cp -v dois_tipos* ~/LATEX/2023-2-C2/

% (find-latexscan-links "C2" "mis_1")
% (find-latexscan-links "C2" "dois_tipos_f")
% (find-latexscan-links "C2" "dois_tipos_g")



cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done

f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o  5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }

f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf       ~/2023.2-C2/
       cp -fv        $1.pdf ~/LATEX/2023-2-C2/
       cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}

f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza



%  __  __       _        
% |  \/  | __ _| | _____ 
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | |  | | (_| |   <  __/
% |_|  |_|\__,_|_|\_\___|
%                        
% <make>

 (eepitch-shell)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2023-2-C2-comprimento-de-arco veryclean
make -f 2019.mk STEM=2023-2-C2-comprimento-de-arco pdf

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2coa"
% ee-tla: "c2m232coa"
% End:
