% (find-LATEX "2023-2-C2-integracao-por-partes.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2023-2-C2-integracao-por-partes.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2023-2-C2-integracao-por-partes.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2023-2-C2-integracao-por-partes.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2023-2-C2-integracao-por-partes.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C2-integracao-por-partes.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2023-1-C2-macaco.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2023-2-C2-integracao-por-partes"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2023-2-C2-integracao-por-partes.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
%          (code-eec-LATEX "2023-2-C2-integracao-por-partes")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2023-2-C2-integracao-por-partes.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2023-2-C2-integracao-por-partes.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2023-2-C2-integracao-por-partes.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2023-2-C2-integracao-por-partes.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2023-2-C2-integracao-por-partes.pdf
%               file:///tmp/2023-2-C2-integracao-por-partes.pdf
%           file:///tmp/pen/2023-2-C2-integracao-por-partes.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2023-2-C2-integracao-por-partes.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise1")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise1")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise1")
% (find-MM-aula-links "2023-2-C2-integracao-por-partes" "C2" "c2m232ip" "c2ip")

% «.defs»			(to "defs")
% «.defs-T-and-B»		(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»		(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»		(to "defs-pict2e")
% «.title»			(to "title")
% «.links»			(to "links")
% «.avisos»			(to "avisos")
% «.int-partes-exemplo»		(to "int-partes-exemplo")
% «.tres-provas-da-IISoma»	(to "tres-provas-da-IISoma")
% «.justifique-a-IIMC»		(to "justifique-a-IIMC")
% «.justifique-o-TFC2»		(to "justifique-o-TFC2")
% «.casos-particulares-defs»	(to "casos-particulares-defs")
% «.expandindo-sen-cos»		(to "expandindo-sen-cos")
% «.mv-figura»			(to "mv-figura")

% «.contas-formais»		(to "contas-formais")
% «.diferenca»			(to "diferenca")
% «.int-indefinida»		(to "int-indefinida")
% «.outra-definicao»		(to "outra-definicao")
% «.expanding-brain-ln»		(to "expanding-brain-ln")
% «.int-por-partes»		(to "int-por-partes")
% «.propriedades»		(to "propriedades")
% «.contas-faceis»		(to "contas-faceis")
%
% «.djvuize»		(to "djvuize")



% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links     "c2m232ip" "2023-2-C2-integracao-por-partes")
% (code-eevvideo      "c2m232ip" "2023-2-C2-integracao-por-partes")
% (code-eevlinksvideo "c2m232ip" "2023-2-C2-integracao-por-partes")
% (find-c2m232ipvideo "0:00")

\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima}              % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2023-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2023.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L V = nil                           -- (find-angg "LUA/Pict2e1.lua" "MiniV")
%L dofile "Piecewise1.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise1.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

\sa  {[RPot]}{\CFname{RPot}{}}
\sa {[RProd]}{\CFname{RProd}{}}
\sa    {[RC]}{\CFname{RC}{}}
\sa   {[RMC]}{\CFname{RMC}{}}
\sa {[RSoma]}{\CFname{RSoma}{}}
\sa  {[TFC1]}{\CFname{TFC1}{}}
\sa  {[TFC2]}{\CFname{TFC2}{}}
\sa {[TFC2?]}{\CFname{TFC2?}{}}
\sa {[TFC2L]}{\CFname{TFC2L}{}}
\sa    {[II]}{\CFname{II}{}}
\sa {[IIMC1]}{\CFname{IIMC}{_1}}
\sa {[IIMC2]}{\CFname{IIMC}{_2}}
\sa  {[IIMC]}{\CFname{IIMC}{}}
\sa {[DSoma]}{\CFname{DSoma}{}}
\sa {[DProd]}{\CFname{DProd}{}}
\sa   {[DMC]}{\CFname{DMC}{}}
\sa{[IISoma]}{\CFname{IISoma}{}}
\sa   {[MVI]}{\CFname{MVI}{}}
\sa  {[MVI3]}{\CFname{MVI3}{}}
\sa   {[MVD]}{\CFname{MVD}{}}
\sa  {[MVD4]}{\CFname{MVD4}{}}
\def\P#1{\left( #1 \right)}
\def\eqnp    {\eqnpfull}
\def\Rq      {\ColorRed{?}}
\def\qeq     {\overset{\Rq}{=}}

\pu



%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c2m232ipp 1 "title")
% (c2m232ipa   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo C2 - 2023.2}

\bsk

Aulas 6 e 7: integração por partes e exercícios

de como estruturar contas e demonstrações

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2023.2-C2.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c2m232ipp 2 "links")
% (c2m232ipa   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.8}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{

% \par \Ca{2gT33} Versão de 2023.1 destes slides

% (find-booksfile "__analysis/__analysis.el" "27 360" "5.4 Integrais Indefinidas")
% (find-booksfile "__analysis/__analysis.el" "27 369" "5.5 A Regra da Substituição")
% (find-booksfile "__analysis/__analysis.el" "27 420" "7.1 Integração por Partes")
\par \Ca{StewPtCap5p39} (p.360) 5.4 Integrais Indefinidas
\par \Ca{StewPtCap5p48} (p.369) 5.5 A Regra da Substituição
\par \Ca{StewPtCap7p5} (p.420) 7.1 Integração por Partes

\msk

\par \Ca{2hQ10} Quadros da aula 5 (3a, 05/set/2023)
\par \Ca{2hQ12} Quadros da aula 6 (4a, 06/set/2023)
\par \Ca{2hQ18} Quadros da aula 7 (2a, 11/set/2023)

\msk

\par \Ca{2gT10} Justificativas
\par \Ca{2gT117} $\Intt{a}{x}{f(t)}$ no olhômetro
\par \Ca{Leit2p15} (p.68): Dois exemplos de contas com justificativas

\msk

\par \Ca{CalcEasy14:08} até 18:18: como o macaco deriva funções elementares
\par \Ca{2fQ1} Quadros de 2022.2 sobre árvores

\msk

\par \Ca{2fT23} Outra definição para integral indefinida
\par \Ca{2fT26} Integração por partes em 2022.2: pedaços do quadro
\par \Ca{2fT30} Exercícios pra casa

\msk


%\par \Ca{2hQ5} Quadros da aula 3 (4a, 30/ago/2023)
%\par \Ca{2hQ7} Quadros da aula 4 (2a, 04/set/2023)


%\par \Ca{2gQ5} Quadros da aula 4 (14/abr/2023)
%\par \Ca{2gQ7} Quadros da aula 5 (18/abr/2023)
%\par \Ca{2gQ13} Quadros da aula 7 (25/abr/2023)
%\par \Ca{2gQ16} Quadros da aula 8 (28/abr/2023)
\par \Ca{2gQ18} Quadros da aula 9 de 2023.1 (02/mai/2023)


% \url{http://anggtwu.net/LATEX/2023-1-C2-macaco.pdf}

}\anothercol{
}}


\newpage

% «avisos»  (to ".avisos")
% (c2m232ipp 2 "avisos")
% (c2m232ipa   "avisos")

{\bf Avisos}

\scalebox{0.65}{\def\colwidth{8.5cm}\firstcol{

Dá pra acessar a P1 do semestre passado, e as dicas pra ela, aqui:

\msk
\par \Ca{2gT107} (2023.1) Dicas pra P1
\par \Ca{2gT109} (2023.1) P1
\msk

A P1 deste semestre vai ter pelo menos uma questão de integração por
mudança de variável e vai ter uma questão de frações parciais. Ela não
vai ter uma questão de integração por partes porque eu vou considerar
que integração por partes é uma técnica de integração que serve
principalmente pra preparar a gente pra aprender técnicas mais
complicadas.

Vocês podem estudar técnicas de integração por estes dois capítulos do
Stewart:

\msk
\par \Ca{StewPtCap5} Integrais
\par \Ca{StewPtCap7} Técnicas de integração
\msk

Depois vou colocar aqui os links pras seções mais importantes.


}\anothercol{

Segundo o cronograma no plano de curso era pra eu ter apresentado
frações parciais na última aula (6/set), mas eu não consegui. A gente
vai deixar pra aprender frações parciais depois de mudança de
variável.

\msk

Estudem pelo livro!!! O que a gente vai ver nas próximas aulas são
coisas que complementam o livro e que vão ajudar vocês a não errarem
nas questões da prova.

}}


\newpage

% «int-partes-exemplo»  (to ".int-partes-exemplo")
% (c2m232ipp 4 "int-partes-exemplo")
% (c2m232ipa   "int-partes-exemplo")

{\bf Integração por partes: um exemplo}

\def\por#1{\text{(por #1)}}
\def\por#1{\text{por #1}}

\scalebox{0.55}{\def\colwidth{7cm}\firstcol{

    Lembre que o Mathologer diz no vídeo dele que o melhor modo da
    gente aprender Cálculo é começar escrevendo idéias que a gente
    acha que devem ser verdade, e depois a gente vê se elas dão
    resultados certos e se elas fazem sentido... e se fizerem sentido
    a gente tenta formalizar elas.

    \msk

    Ele também diz -- a partir daqui, na ``lombada número 1'',

    \ssk

    \Ca{CalcEasy20:27}

    \ssk

    que a integral é a inversa da derivada, mas que $\intx{\cos x}$
    pode retornar tanto $\sen x$ quanto $42+\sen x$. As contas à
    direita são bem improvisadas, mas como eu indiquei em cima que
    elas são só uma idéia que pode estar cheia de erros o ``colega que
    seja menos meu amigo'' não vai poder reagir deste jeito aqui...

    \ssk

    \Ca{2gT20}

    \bsk

    {\bf Exercício 0:}

    Calcule $\ddx(x^2e^x - 2xe^x + 2e^x)$.

%  (eepitch-maxima)
%  (eepitch-kill)
%  (eepitch-maxima)
% f : x^2*exp(x) - 2*x*exp(x) + 2*exp(x);
% diff(f, x);

}\anothercol{

Idéia (que pode estar cheia de erros):

\bsk

$\begin{array}[t]{rcll}
  (gh)'           &\eqnp{1}& g'h + gh'                   & \por{$\ga{[DProd]}$} \\
  \intx{(gh)'}    &\eqnp{2}& \intx{g'h + gh'}            \\
  gh              &\eqnp{3}& \intx{g'h + gh'}            \\
                  &\eqnp{4}& \intx{g'h} + \intx{gh'}     & \por{$\ga{[IISoma]}$} \\
  gh \phantom{mmmmmi} &\eqnp{5}& \intx{g'h} + \intx{gh'} & \por{3 e 4} \\
  gh - \intx{g'h} &\eqnp{6}& \phantom{mmmmm} \intx{gh'}  & \por{5} \\
  \\[-5pt]
  \intx{gh'}      &\eqnp{7}& gh - \intx{g'h}             & \por{6} \\
  \\[-5pt]
  \intx{xe^x}     &\eqnp{8}& xe^x - \intx{1·e^x}         & \por{7 com $\bsm{g:=x \\ h:=e^x}$} \\
                  &\eqnp{9}& xe^x - \intx{e^x}           \\
                  &\eqnp{10}& xe^x - e^x                 & \por{$(e^x)'=e^x$} \\
  \intx{xe^x}     &\eqnp{11}& xe^x - e^x                 & \por{8, 9 e 10} \\
  \\[-5pt]
  \intx{x^2e^x}   &\eqnp{12}& x^2e^x - \intx{2xe^x}      & \por{7 com $\bsm{g:=x^2 \\ h:=e^x}$} \\
                  &\eqnp{13}& x^2e^x - 2\intx{xe^x}      & \por{$\ga{[IIMC]}$} \\
                  &\eqnp{14}& x^2e^x - 2\P{xe^x - e^x}   & \por{11} \\
                  &\eqnp{15}& x^2e^x - 2xe^x + 2e^x      \\
  \end{array}
$

}}


\newpage

% «tres-provas-da-IISoma»  (to ".tres-provas-da-IISoma")
% (c2m232ipp 5 "tres-provas-da-IISoma")
% (c2m232ipa   "tres-provas-da-IISoma")

{\bf Três provas da regra da integral da soma}

\def\por #1{\text{(por #1)}}
\def\por #1{\text{por #1}}
\def\porp#1{\text{por ...}}
\sa{just3}{\ga{[DSoma]}\bsm{f:=F' \\ g:=G'}}
\sa {just8}{\ga{[II]}\bsm{f:=F \\ f':=F'}}
\sa{just11}{\ga{[II]}\bsm{f:=G \\ f':=G'}}
\sa{just14}{\ga{[II]}\bsm{f:=F+G \\ f':=(F+G)'}}

\def\inttax#1{\Intt{a}{x}{#1}}

\scalebox{0.42}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{

\vspace*{-0.25cm}

$\begin{array}{rrcll}
  \text{Sejam:}      & \ga{[DSoma]}  &=& \P{(f+g)'=f'+g'},        & \\
                     & \ga{[II]}     &=& \P{\intx{f'}=f},         & \\
                     & \ga{[IISoma]} &=& \P{\intx{f+g} = \intx{f}+\intx{g}} \\
  \text{e:}          & \ga{[TFC1]}   &=& \P{\P{\inttax{f(t)}}'=f(x)}, & \\
  \text{Queremos ver que}
                     & \intx{f+g} &=& \intx{f}+\intx{g}. & \\
  \end{array}
$

\bsk
\par Compare esta prova aqui, que é bem passo a passo
\par e que tem justificativas bem detalhadas,

\bsk

$\begin{array}{rrcll}
  \text{Digamos que} & F'         &\eqnp{1}& f                  & \\
  \text{e}           & G'         &\eqnp{2}& g.                 & \\
  \text{Então}       & (F+G)'     &\eqnp{3}& F'+G'              & \por{$\ga{just3}$} \\
                     &            &\eqnp{4}& f+G'               & \por{1} \\
                     &            &\eqnp{5}& f+g,               & \por{2} \\
                     & (F+G)'     &\eqnp{6}& f+g,               & \por{3, 4 e 5} \\
                     & \intx{f}   &\eqnp{7}& \intx{F'}          & \por{1} \\
                     &            &\eqnp{8}& F,                 & \por{$\ga{just8}$} \\
                     & \intx{f}   &\eqnp{9}& F,                 & \por{7 e 8} \\
                     & \intx{g}   &\eqnp{10}& \intx{G'}         & \por{2} \\
                     &            &\eqnp{11}& G,                & \por{$\ga{just11}$} \\
                     & \intx{g}   &\eqnp{12}& G,                & \por{10 e 11} \\
                     & \intx{f+g} &\eqnp{13}& \intx{(F+G)'}     & \por{6} \\
                     &            &\eqnp{14}& F+G               & \por{$\ga{just14}$} \\
                     &            &\eqnp{15}& \intx{f}+G        & \por{9} \\
                     &            &\eqnp{16}& \intx{f}+\intx{g} & \por{12} \\
                     & \intx{f+g} &\eqnp{17}& \intx{f}+\intx{g} & \por{13, 14, 15, 16} \\
  \end{array}
$

}\anothercol{

...com esta outra aqui,

\bsk

$\begin{array}{rrcll}
  \text{Digamos que} & F'         &\eqnp{1}& f                  & \\
  \text{e}           & G'         &\eqnp{2}& g.                 & \\
  \text{Então}       & (F+G)'     &\eqnp{3}& F'+G'              & \por{$\ga{[DSoma]}$} \\
                     &            &\eqnp{4}& f+g,               & \por{1 e 2} \\
                     & \intx{f}   &\eqnp{5}& F,                 & \por{1 e $\ga{[II]}$} \\
                     & \intx{g}   &\eqnp{6}& G,                 & \por{2 e $\ga{[II]}$} \\
                     & \intx{f+g} &\eqnp{7}& \intx{(F+G)'}      & \por{3 e 4} \\
                     &            &\eqnp{8}& F+G                & \por{[II]} \\
                     &            &\eqnp{9}& \intx{f}+\intx{g}  & \por{5 e 6} \\
  \end{array}
$

\bsk

e com esta aqui:

\bsk

$\begin{array}{rrcll}
  \text{Sabemos que} & \P{\inttax{f(t)}}' &\eqnp{1}& f(x)       & \por{$\ga{[TFC1]}$} \\
  \text{e}           & \P{\inttax{g(t)}}' &\eqnp{2}& g(x).      & \por{$\ga{[TFC1]}$} \\
  \text{Sejam:}      & F(x)       &\eqnp{3}& \inttax{f(t)},     & \\
                     & G(x)       &\eqnp{4}& \inttax{g(t)}.     & \\
  \text{Então:}      & F'         &\eqnp{5}& f,                 & \por{1 e 3} \\
                     & G'         &\eqnp{6}& g,                 & \por{2 e 4} \\
                     & (F+G)'     &\eqnp{7}& F'+G'              & \por{$\ga{[DSoma]}$} \\
                     &            &\eqnp{8}& f+g,               & \por{5 e 6} \\
                     & \intx{f}   &\eqnp{9}& F,                 & \por{5 e $\ga{[II]}$} \\
                     & \intx{g}   &\eqnp{10}& G,                & \por{6 e $\ga{[II]}$} \\
                     & \intx{f+g} &\eqnp{11}& \intx{(F+G)'}     & \por{7 e 8} \\
                     &            &\eqnp{12}& F+G               & \por{$\ga{[II]}$} \\
                     &            &\eqnp{13}& \intx{f}+\intx{g} & \por{9 e 10.} \\
  \end{array}
$


}}


\newpage

% «justifique-a-IIMC»  (to ".justifique-a-IIMC")
% (c2m232ipp 5 "justifique-a-IIMC")
% (c2m232ipa    "justifique-a-IIMC")

{\bf ``Escreva as justificativas''}

\scalebox{0.41}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{

\vspace*{-0.25cm}

Lembre que eu chamei a regra da multiplicação por constante na
derivada de $\ga{[DMC]}$ e a regra da soma na derivada de
$\ga{[DSoma]}$. Vou usar estes nomes curtos aqui pra regra da
multiplicação por constante na integral indefinida e pra regra da soma
na integral indefinida:

$$\begin{array}{rcl}
 \ga{[IIMC]}   &=& \P{\intx{cf} = c\intx{f}} \\
 \ga{[IISoma]} &=& \P{\intx{f+g} = \intx{f}+\intx{g}} \\
  \end{array}
$$

Nos exercícios 1 e 2 abaixo o contexto vai ser este aqui:
%
$$\begin{array}{rrcll}
  \text{Sejam:}      & \ga{[DMC]}  &=& \P{(cf)'=cf'},        & \\
                     & \ga{[II]}   &=& \P{\intx{f'}=f},         & \\
  \text{e:}          & \ga{[TFC1]} &=& \P{\P{\inttax{f(t)}}'=f(x)}. & \\
  \text{Queremos ver que}
                     & \intx{cf} &=& c\intx{f}. & \\
  \end{array}
$$

\msk

{\bf Exercício 1.}

Escreva as justificativas ``completas'' de cada passo da demonstração
abaixo -- aliás, só dos passos que têm um ``por ...'' à direita. Uma
justificativa ``completa'' é uma em que a gente diz as substituições,
como aqui: $\ga{[II]}\bsm{f:=42h \\ f':=42h'}$.
%
$$\begin{array}{rrcll}
  \text{Digamos que} & F'         &\eqnp{1}& f.                & \\
  \text{Então:}      & \intx{F'}  &\eqnp{2}& F,                & \porp{$\ga{[II]}[f:=F]$} \\
                     & \intx{f}   &\eqnp{3}& F,                & \porp{1 e 2} \\
                     & (cF)'      &\eqnp{4}& cF'               & \porp{$\ga{[DMC]}[f:=F]$} \\
                     &            &\eqnp{5}& cf,               & \porp{1} \\
                     & (cF)'      &\eqnp{6}& cf,               & \porp{4 e 5} \\
                     & \intx{cf}  &\eqnp{7}& \intx{(cF)'}      & \porp{6} \\
                     &            &\eqnp{8}& cF                & \porp{$\ga{[II]}$} \\
                     &            &\eqnp{9}& c\intx{f}         & \porp{3} \\
                     & \intx{cf}  &\eqnp{10}& c\intx{f}        & \porp{7, 8 e 9} \\
  \end{array}
$$

}\anothercol{

{\bf Exercício 2.}

Escreva as justificativas dos passos que têm um ``por ...'' na
demonstração abaixo. Aqui você não precisa escrever as substituições
-- você pode escrever ``por $\ga{[II]}$'' ao invés de ``por
$\ga{[II]}\bsm{f:=42h \\ f':=42h'}$''.
%
$$\begin{array}{rrcll}
  \text{Sabemos que} & \P{\inttax{f(t)}}' &\eqnp{1}& f(x)      & \por{...} \\
  \text{Seja}        & F(x)       &\eqnp{2}& \inttax{f(t)}.    & \\
  \text{Então:}      & F'         &\eqnp{3}& f,                & \por{...} \\
                     & (cF)'      &\eqnp{4}& cf,               & \por{...} \\
                     & \intx{cf}  &\eqnp{5}& cF                & \por{...} \\
                     &            &\eqnp{6}& c\intx{f}         & \por{...} \\
  \end{array}
$$

}}

\newpage

% «justifique-o-TFC2»  (to ".justifique-o-TFC2")
% (c2m232ipp 7 "justifique-o-TFC2")
% (c2m232ipa   "justifique-o-TFC2")

{\bf ``Escreva as justificativas'' (2)}

\scalebox{0.48}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

É muito comum os livros escreverem demonstrações de um jeito super
curto e super difícil de entender. As duas técnicas mais básicas
pra gente decifrar essas demonstrações super curtas são 1) testar
casos particulares e 2) reescrever elas com mais passos de modo
que cada passo da versão expandida fique fácil de justificar. Nos
exercícios desta página você vai exercitar a técnica (2).


\msk

Uma das fórmulas mais úteis -- e mais difíceis de entender -- de
Cálculo 2 é essa aqui, a da mudança de variável na integral
indefinida:
%
$$\ga{[MVI]} \;=\; \P{\D\intx{f(g(x))g'(x)} \;=\; \intu{f(u)}}$$

Ela tem uma demonstração curta que eu levei mais de 20 anos pra
entender e uma demonstração mais comprida em que os passos são bem
mais fáceis de justificar. O Stewart e o Miranda mostram a
demonstração curta nestas páginas daqui:

\msk
\par \Ca{StewPtCap5p48} (p.369) 5.5 A Regra da Substituição
\par \Ca{MirandaP189} 6.2 Integração por substituição
\msk

e uma versão da demonstração mais comprida nestas páginas:

\msk
\par \Ca{MirandaP230} 7.6 Integração por Substituição na Integral Definida
\par \Ca{StewPtCap5p51} (p.372) Regra da Substituição para as integrais definidas

\bsk

Você vai precisar de muitos chutes e testes pra resolver os dois
exercícios desta página, e você provavelmente não vai conseguir
resolvê-los num dia só... mas eles vão te ajudar com questões que vão
valer muitos pontos nas provas!

% (find-stewart71ptpage (+ 27 369) "5.5 A Regra da Substituição")
% (find-dmirandacalcpage 189 "6.2 Integração por Substituição")

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "230" "7.6")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "189" "6.2 Integração por Substituição")


}\anothercol{

{\bf Exercício 3.}

Reescreva a demonstração abaixo com mais passos e com justificativas
completas; repare que nela está implícito que $F'=f$. Lembre que você
pode acrescentar passos no início!
%
$$\begin{array}{rcl}
  \Intx{a}{b}{f(g(x))g'(x)} &=& \difx{a}{b}{F(g(x))} \\
                            &=& F(g(b)) - F(g(a)) \\
                            &=& \difu{g(a)}{g(b)}{F(u)} \\
                            &=& \Intu{g(a)}{g(b)}{f(u)} \\
  \end{array}
$$

\bsk
\bsk

{\bf Exercício 4.}

Faça a mesma coisa aqui:
%
$$\begin{array}{rcl}
  \intx{f(g(x))g'(x)} &=& F(g(x)) \\
                      &=& F(u) \\
                      &=& \intu{f(u)} \\
  \end{array}
$$


\bsk
\bsk
\bsk
\bsk

{\bf Dica:} refaça os exercícios 3 e 4 várias vezes em dias diferentes
até você conseguir refazê-los sem errar muito e sem demorar muito...
eles vão te ajudar a entender porque é que a gente não pode misturar a
variável antiga e a nova na mesma integral. Releia esta história aqui,
\Ca{2gT11}, trate estes exercícios como exercícios de música, e seja
como o Bob!



% trate os exercícios 3 e 4 como exercícios de música
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "193" "não podemos")
% 2gT11


}}


\newpage

%   ____                          _       __     
%  / ___|__ _ ___  ___  ___    __| | ___ / _|___ 
% | |   / _` / __|/ _ \/ __|  / _` |/ _ \ |_/ __|
% | |__| (_| \__ \ (_) \__ \ | (_| |  __/  _\__ \
%  \____\__,_|___/\___/|___/  \__,_|\___|_| |___/
%                                                
% «casos-particulares-defs»  (to ".casos-particulares-defs")
\input 2023-2-C2-mv-defs.tex  % (find-LATEX "2023-2-C2-mv-defs.tex")




\newpage

% «expandindo-sen-cos»  (to ".expandindo-sen-cos")
% (c2m232ipp 8 "expandindo-sen-cos")
% (c2m232ipa   "expandindo-sen-cos")

{\bf Expandindo as contas do $\intth{(\senθ)^3(\cosθ)^5}$}

\ga{reset}
\ga{caso sen(x^2)*2x}

\sa{caso senth^3 costh^5}{
  \sa{g(x) := sen x}{
    \sa{f(g(x))}{f(\sen x)}
    \sa{F(g(x))}{F(\sen x)}
    \sa{F(g(a))}{F(a^2)}
    \sa{F(g(b))}{F(b^2)}
    \sa  {g(x)}   {\sen x}
    \sa  {g(a)}   {a^2}
    \sa  {g(b)}   {b^2}
    \sa {g'(x)}   {\cos x}
    \sa{.}{}
    }
  \sa{f(u) := u^2(1-u^2)^2}{
    \sa{f(g(x))}{(\sen x)^3(1-(\sen x)^2)^2}
    \sa{f(u)}{u^2(1-u^2)^2}
    }
  \sa{F(u) := Bla(u)}{
    \sa{F(g(a))}{Bla(\sen a)}
    \sa{F(g(b))}{Bla(\sen b)}
    \sa{F(g(x))}{Bla(\sen x)}
    \sa{F(u)}{Bla(u)}
    }
  %
  \sa{set g}{
    \ga{g(x) := sen x}
    }
  \sa{set g,f}{
    \ga{g(x) := sen x}
    \ga{f(u) := u^2(1-u^2)^2}
    }
  \sa{set g,f,F}{
    \ga{g(x) := sen x}
    \ga{f(u) := u^2(1-u^2)^2}
    \ga{F(u) := Bla(u)}
    }
  }
\ga{caso senth^3 costh^5}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{17cm}\firstcol{

\vspace*{0cm}

$\ga{expand MVI-}$

}\anothercol{
}}


\newpage

%  __  ____     __   __ _                       
% |  \/  \ \   / /  / _(_) __ _ _   _ _ __ __ _ 
% | |\/| |\ \ / /  | |_| |/ _` | | | | '__/ _` |
% | |  | | \ V /   |  _| | (_| | |_| | | | (_| |
% |_|  |_|  \_/    |_| |_|\__, |\__,_|_|  \__,_|
%                         |___/                 
%
% «mv-figura»  (to ".mv-figura")
% (c2m232ipp 9 "mv-figura")
% (c2m232ipa   "mv-figura")
% TODO: use (find-angg "LUA/Piecewise2.lua" "ChangeVar-test1")

{\bf Uma figura pra mudança de variável}

%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(4,3))
%L pi, sqrt, sin, cos = math.pi, math.sqrt, math.sin, math.cos
%L ve = Code.ve
%L cv = ChangeVar {
%L   xtou = ve " cv,x =>     x^2        ",
%L   fx   = ve " cv,x => sin(x^2) * 2*x ",
%L   fu   = ve " cv,u => sin( u )       ",
%L   utox = ve " cv,u =>  sqrt(u)       ",
%L }
%L cv:setus(0, pi, {0, 1, 2, 3})
%L cv:setpwfs()
%L cv:setcolors()
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(4,3))
%L ppx = PictList {
%L   cv:areasx(),
%L   cv:curvex(),
%L   -- cv:rect(cv.xs[2], cv.xs[3], cv:fx(cv.xs[2])):color("blue"),
%L   cv:xlabels(-0.35),
%L }
%L ppu = PictList {
%L   cv:areasu(),
%L   cv:curveu(),
%L   cv:ulabels(-0.35)
%L }
%L ppu:pgat("pgatc"):sa("color sin(u)")      :output()
%L ppx:pgat("pgatc"):sa("color sin(x^2)*2*x"):output()

\pu

\vspace*{-0.1cm}

$$\unitlength=50pt
  \begin{array}{rcl}
  x^2 &=& u \\
  \D \Intx{a}{b}{\sen(x^2)·2x}
  &=&
  \D \Intu{a^2}{b^2}{\sen u}
  \\
  \\
  \scalebox{0.6}{$\ga{color sin(x^2)*2*x}$}
  &&
  \scalebox{0.6}{$\ga{color sin(u)}$}
  \\
  \end{array}
$$


\newpage

%   ____            _               __                            _     
%  / ___|___  _ __ | |_ __ _ ___   / _| ___  _ __ _ __ ___   __ _(_)___ 
% | |   / _ \| '_ \| __/ _` / __| | |_ / _ \| '__| '_ ` _ \ / _` | / __|
% | |__| (_) | | | | || (_| \__ \ |  _| (_) | |  | | | | | | (_| | \__ \
%  \____\___/|_| |_|\__\__,_|___/ |_|  \___/|_|  |_| |_| |_|\__,_|_|___/
%                                                                       
% «contas-formais»  (to ".contas-formais")
% (c2m232ipp 3 "contas-formais")
% (c2m232ipa   "contas-formais")
% (c2m231macacop 4 "contas-formais")
% (c2m231macacoa   "contas-formais")
{\bf O macaco e as contas formais}

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

Na aula de 25/abril nós passamos muito tempo revendo coisas que
deveriam ser básicas -- já vou dizer quais -- e eu passei um dever de
casa bem grande: {\sl leia o que você conseguir das seções do Miranda
  e do Leithold sobre a regra da cadeia e faça todos os exercícios que
  você puder.} Aqui tem links pra elas:

\msk

\Ca{Miranda87} Seção 3.5: regra da cadeia

\Ca{Miranda228} Seção 7.5.1: TFC2

\Ca{Leit3p45} (p.181) Seção 3.6: regra da cadeia

\Ca{Leit5p61} (p.344) Seção 5.8: Os teoremas fundamentais do Cálculo

\msk

Lembre que: 1) um dos objetivos do curso é fazer vocês se tornarem
capazes de estudar pelos livros, 2) as provas vão ter várias questões
que vocês só vão conseguir fazer se vocês tiverem muita prática de
fazer contas, e 3) o livro do Leithold é difícil em alguns lugares mas
ele é INCRIVELMENTE bom -- estudem por ele sempre que puderem!

\msk

Outra coisa: dê uma olhada na seção do Miranda sobre a regra da cadeia
-- você vai ver que essa fórmula tem uma demonstração, e que a fórmula
e a demonstração só funcionam quando certas hipóteses são obedecidas.
Aliás, uma questão da P1 do semestre passado foi sobre situações em
que a fórmula do TFC2 dá resultados errados. Dê uma olhada nela:

\msk

\Ca{2fT110} A fórmula do TFC2 nem sempre vale

\msk

{\sl A P1 deste semestre vai ter uma questão parecida com essa.}


}\anothercol{

{}

Em algumas situações nós vamos primeiro aplicar a fórmula como se ela
valesse sempre, e só depois que nós fizermos todas as contas nós vamos
descobrir quais são as hipóteses necessárias pra aquelas contas
valerem. O nome ``oficial'' pra essas contas sem a verificação das
hipóteses é ``contas formais'', mas eu vou usar a terminologia do
Mathologer... ele fala muito no macaco que faz contas automaticamente
sem fazer a menor idéia do que aquelas contas querem dizer, então eu
vou usar expressões como ``aqui vamos fazer contas como o macaco''.

\bsk

{\bf Exercício}

Use o que você lembra de Cálculo 1 pra obter boas fórmulas pras
derivadas abaixo:
%
$$\begin{tabular}{rl}
  a) & $\ddx \, e^{g(x)}$ \\
  b) & $\ddx \, g(x)^{1/2}$ \\
  c) & $\ddx \, \sqrt{g(x)}$ \\
  c) & $\ddx \, f(4x)$ \\
  \end{tabular}
$$


No próximo slide nós vamos ver como o macaco faz esssas contas usando
a operação `$[:=]$'.


}}

\newpage

% «diferenca»  (to ".diferenca")
% (c2m232ipp 4 "diferenca")
% (c2m232ipa   "diferenca")

{\bf Diferença}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Lembre que esta notação aqui
%
$$\Intx{a}{b}{f(x)}$$

tem várias pronúncias:

``a integral da função $f(x)$ entre $x=a$ e $x=b$'',

``a área sob a curva $f(x)$ entre $x=a$ e $x=b$'',

``a área sob a curva $f(x)$ desde $x=a$ até $x=b$'',

etc...

\msk

A pronúncia desta operação daqui
%
$$\Difx{a}{b}{f(x)}$$

vai ser ``a diferença da $f(x)$ entre $x=a$ e $x=b$'',

e a definição formal dela vai ser esta:
%
$$\Difx{a}{b}{f(x)} = f(b)-f(a)$$


}\anothercol{

{\bf Exercício}

O Leithold e o Miranda usam notações ligeiramente diferentes da minha
para a operação diferença. Dê uma olhada nestas páginas aqui,

\msk

\Ca{Leit5p65} p.348

\Ca{Miranda344}

\msk

e traduza a expressão

$$\difx{3}{4}{(\sin 2x)}$$

da minha notação para

\msk

a) a notação do Miranda,

b) a notação do Leithold.

}}

% (find-leitholdptpage (+ 17 344) "5.8. Os Teoremas Fundamentais do Cálculo")
% (find-leitholdptpage (+ 17 348)   "notação para diferença")
% (find-dmirandacalcpage 228     "notação para diferença")

\newpage

%  ___       _     _           _ 
% |_ _|_ __ | |_  (_)_ __   __| |
%  | || '_ \| __| | | '_ \ / _` |
%  | || | | | |_  | | | | | (_| |
% |___|_| |_|\__| |_|_| |_|\__,_|
%                                
% «int-indefinida»  (to ".int-indefinida")
% (c2m232ipp 5 "int-indefinida")
% (c2m232ipa   "int-indefinida")

{\bf Integral indefinida}

\scalebox{0.55}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

Tanto o Leithold quanto o Miranda explicam a {\sl integral indefinida}
antes da {\sl integral definida}. Dê uma olhada:

\msk

\par \Ca{Miranda181} 6. Integral Indefinida
\par \Ca{Miranda207} 7. Integração definida
\par \Ca{Leit5p3} (p.286) 5.1. Antidiferenciação
\par \Ca{Leit5p41} (p.324) 5.5. A integral definida
\par \Ca{StewPtCap5p40} (p.361) A primitiva mais geral de $1/x^2$

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 361" "sobre um determinado intervalo")
% (find-leitholdptpage (+ 17 286) "5.1. Antidiferenciação")

\msk

{\sl Todos os modos fáceis de atribuir um significado intuitivo para
  expressões como esta aqui}
%
$$\intx{f(x)}$$

{\sl são gambiarras que funcionam mal.}

\msk

Eu vou usar esta definição aqui,

\ssk

\Ca{2fT23} (p.4) Outra definição para a integral indefinida

\ssk

e aqui tem um caso em que a definição usual quebra:

\ssk

\Ca{2fT24} (p.5) Meme: expanding brain, versão ln

\msk

}\anothercol{

Nós vamos começar usando a integral indefinida como o macaco que faz
contas sem ter idéia do significado do que está fazendo, e só depois
que tivermos bastante prática nós vamos discutir os vários jeitos de
atribuir significados intuitivos para % $\intx{f(x)}$.

\msk

A regra básica vai ser esta aqui:

$$\ga{[II]} = \left( \intx{f'(x)} = f(x) \right)$$

\bsk

{\bf Exercícios}

\msk

Calcule:

\ssk

a) $\ga{[II]} \bmat{ f(x) := x+42 \\ f'(x) := 1}$

b) $\ga{[II]} \bmat{ f(x) := \frac12 x^2 \\ f'(x) := x}$

\msk

c) Resolva os exercícios 1 a 10 daqui por chutar e testar:

\Ca{Miranda185} Exercícios 6.1

\msk

d) Entenda tudo que esta nesta página:

\Ca{Leit5p6} (p.289) 5.1.8. Teorema

}}

\newpage

% «outra-definicao»  (to ".outra-definicao")
% (c2m232ipp 3 "outra-definicao")
% (c2m232ipa    "outra-definicao")
% (c2m222ippp 4 "outra-definicao")
% (c2m222ippa   "outra-definicao")

{\bf Outra definição pra integral indefinida}

\scalebox{0.55}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

O Leithold, e a maioria dos
livros, usam uma definição bem complicada pra $\intx{2x}$... pra eles
$\intx{2x}$ é o conjunto de todas as `$f$'s que obedecem isto aqui:
%
$$f'(x) = 2x$$
%
e $x^2+C$ é o conjunto de todas as `$g$'s que são ``da forma $x^2+C$''
para algum $C∈\R$, e pra ele esta igualdade
%
$$\intx{2x} = x^2 + C$$
%
quer dizer: o conjunto de funções $\intx{2x}$ é igual ao conjunto de
funções $x^2+C$.

Nós vamos usar uma \standout{outra definição} pra igualdades como
esta,
%
$$\intx{f(x)} = g(x),$$
%
que é a seguinte: as três igualdades abaixo vão ser equivalentes pra
nós,
%
$$\begin{array}{rcl}
       \intx{f(x)} &\qeq& \;\;\; g(x) \\
  \ddx \intx{f(x)} &\qeq& \;\;\; g(x) \\
   f(x) \;\;\;\;\; &\qeq& \ddx g(x) \\
  \end{array}
$$

}\anothercol{

Essa tradução vai servir pra qualquer igualdade com integrais, e ela
vai nos permitir testar facilmente se uma igualdade com integrais é
verdadeira ou não. Por exemplo, digamos que o macaco integrador do
Mathologer tem estas integrais na tabela de integrais dele:
%
$$\begin{array}{rcl}
  \intx{x} &=& \frac12 x^2 + 3 \\
  \intx{2x} &=& x^2 + 42 \\
  \end{array}
$$

Então dá pra testar esta igualdade
%
$$\begin{array}{rcl}
  \intx{2x} &=& 2 \intx{x} + 99 \\
  \end{array}
$$

\def\T{\textstyle}
\def\und#1#2{\underbrace{\textstyle #1}_{\scriptstyle #2}}

assim:
%
$$\begin{array}{rcl}
       \intx{2x} &\qeq& 2 \intx{x} + 99 \\
  \und{\ddx \und{\intx{2x}}{x^2+42}}{2x}
    &\qeq&
  \und{\ddx( \und{\und{2 \und{\intx{x}}{\frac12x^2 + 3}}{x^2+6} + 99}{x^2+105} )}{2x} \\
  \end{array}
$$

ou seja, a igualdade acima é verdadeira --- e a gente conseguiu testar
isso usando números ``concretos'' ao invés de `$+C$'s! Yesss!!! $\smile$

}}

\newpage

% «expanding-brain-ln»  (to ".expanding-brain-ln")
% (c2m232ipp 6 "expanding-brain-ln")
% (c2m232ipa   "expanding-brain-ln")
% (c2m222ippp 5 "ln")
% (c2m222ippa   "ln")
% https://imgflip.com/s/meme/Expanding-Brain.jpg
% http://www.youtube.com/watch?v=u4kex7hDC2o
% (code-video "lnvideo" "/sda5/videos/Your_calculus_prof_lied_to_you_probably-u4kex7hDC2o.webm")
% (find-lnvideo)
% (find-lnvideo "0:00")
% (find-lnvideo "5:25")
% (find-lnvideo "5:45")
% (find-lnvideo "6:10")

{\bf Meme: expanding brain, versão ln}

\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

Na definição do Leithold a fórmula

$\intx{\frac1x} = \ln |x| + C$ é \ColorRed{FALSA}!!!

A fórmula certa é a que aparece na

quarta linha desse meme aqui:

\bsk

$\begin{array}{rcl}
  \intx{\frac1x} &=& \ln x \\
  \intx{\frac1x} &=& \ln |x| \\
  \intx{\frac1x} &=& \ln |x| + C \\
  \intx{\frac1x} &=&
    \scalebox{0.7}{$
    \begin{cases}
       \ln |x| + C_1 & \text{quando $x<0$}, \\
       \ln |x| + C_2 & \text{quando $x>0$} \\
    \end{cases}
    $}
    \\
  \end{array}
  \quad
  \myvcenter{\includegraphics[width=1.5cm]{2022-2-C2/Expanding-Brain.pdf}}
$

\bsk

Esse vídeo aqui mostra como é que o $C_1$

``ajusta a altura da parte esquerda'' e o $C_2$

``ajusta a altura da parte direita'' do gráfico:

\ssk

% https://imgflip.com/s/meme/Expanding-Brain.jpg
% http://www.youtube.com/watch?v=u4kex7hDC2o
% (code-video "lnvideo" "/sda5/videos/Your_calculus_prof_lied_to_you_probably-u4kex7hDC2o.webm")
% (find-lnvideo)
% (find-lnvideo "0:00")
% (find-lnvideo "5:25")
% (find-lnvideo "5:45")
% (find-lnvideo "6:10")

{\footnotesize

\url{http://www.youtube.com/watch?v=u4kex7hDC2o\#t=5m25s}

}

\ssk

}\anothercol{
}}




\newpage

% «int-por-partes»  (to ".int-por-partes")
% (c2m232ipp 6 "int-por-partes")
% (c2m232ipa   "int-por-partes")

{\bf Integração por partes}

\scalebox{0.9}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{

Vou usar isto, de 2022.2:

\Ca{2fT25} (p.6) Pedaços do quadro

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "9.1. Integração por partes")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "por Partes")
% (find-dmirandacalcpage 182 "6.1.1 Regras Básicas de Integração")
% (find-dmirandacalcpage 199 "6.3 Integração por Partes")
% (find-leitholdptpage (+ 17 286) "5.1. Antidiferenciação")
% (find-leitholdptpage (+ 17 294)   "Exercícios 5.1")
% (find-leitholdptpage (+ 17 531) "9.1. Integração por partes")

\msk

E:

\par \Ca{Leit9} 9. Técnicas de integração
\par \Ca{Leit9p4} (p.531) 9.1. Integração por partes
\par \Ca{Miranda182} 6.1.1 Regras Básicas de Integração
\par \Ca{Miranda199} 6.3 Integração por partes

\msk

Ainda não \LaTeX ei as contas desta aula!

Mas os quadros dela -- os sobre integração por partes --

estão aqui: \Ca{2gQ20}.

\msk



}\anothercol{
}}

\newpage

% 2hQ12

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

$$\begin{array}{rcl}
  \ga{[TFC2]} \phantom{mmmmm}
                      &\eqnp{1}& \P{\Intx{a}{b}{f'(x)} = \difx{a}{b}{f(x)}} \\
  \ga{[TFC2]} \bsm{ f(x):=3 \\ f'(x):=0 \\ a:=2 \\ b:=5 }
                      &\eqnp{2}& \P{\Intx{2}{5}{0} = \difx{2}{5}{3}} \\
  \ga{[TFC2]} \bsm{ f(x):=4 \\ f'(x):=0 \\ a:=2 \\ b:=5 }
                      &\eqnp{3}& \P{\Intx{2}{5}{0} = \difx{2}{5}{4}} \\
  \\[-8pt]
  \difx{2}{5}{3} &\eqnp{4}& \Intx{2}{5}{0} \\
                 &\eqnp{5}& \difx{2}{5}{4} \\
  \difx{2}{5}{3} &\eqnp{6}& \difx{2}{5}{4} \\
  %
  \\[-2pt]
  \ga{[II]} \phantom{mmmmm}
                      &\eqnp{7}& \P{\intx{f'(x)} = f(x)} \\
  \ga{[II]} \bsm{ f(x):=3 \\ f'(x):=0 \\ a:=2 \\ b:=5 }
                      &\eqnp{8}& \P{\intx{0} = 3} \\
  \ga{[II]} \bsm{ f(x):=4 \\ f'(x):=0 \\ a:=2 \\ b:=5 }
                      &\eqnp{9}& \P{\intx{0} = 4} \\
  \\[-8pt]
  3 &\eqnp{10}& \intx{0} \\
    &\eqnp{11}& 4 \\
  3 &\eqnp{12}& 4 \\
  \end{array}
$$

}\anothercol{
}}



\newpage

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

\sa{smca}{\bmat{g(x):=\Intt{a}{x}{h(x)} \\
                g'(x):=h(x) \\
               }}
\sa{smcb}{\bmat{g(x):=H(x) \\
                g'(x):=h(x) \\
               }}
\sa{smcc}{\bmat{g'(x):=h(x)}}

$$\begin{array}{lcl}
  \ga{[IIMC2]} &=& \P{\begin{array}{rcl}
                      \intx{cg'(x)} &=& cg(x)         \\
                                    &=& c\intx{g'(x)} \\
                      \end{array}} \\
  \ga{[IIMC1]} &=& \P{\intx{cg'(x)} \;=\; c\intx{g'(x)}} \\
  \ga{[IIMC]}  &=& \P{\intx{ch(x)}  \;=\; c\intx{h(x)}}  \\
  \ga{[IIMC2]} \ga{smca} &=& \P{\begin{array}{rcl}
                                  \intx{ch(x)} &=& c\P{\Intt{a}{x}{h(x)}} \\
                                               &=& c\intx{h(x)}           \\
                                \end{array}}                     \\ \\[-10pt]
  \ga{[IIMC2]} \ga{smcb} &=& \P{\begin{array}{rcl}
                                  \intx{ch(x)} &=& cH(x)        \\
                                               &=& c\intx{h(x)} \\
                                \end{array}}                     \\ \\[-10pt]
  \ga{[IIMC1]} \ga{smcb} &=& \P{\intx{ch(x)} \;=\; c\intx{h(x)}} \\ \\[-10pt]
  \ga{[IIMC1]} \ga{smcc} &=& \P{\intx{ch(x)} \;=\; c\intx{h(x)}} \\
  \end{array}
$$

$$\begin{array}{ll}
  % (find-stewart71ptpage (+ 27 354)   "TFC2")
  \text{\Ca{StewPtCap5p33} (p.354):} &
    \D \int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a) \\
  %
  % (find-stewart71ptpage (+ 27 360)   "é um número" "é uma função")
  \text{\Ca{StewPtCap5p39} (p.360):} &
    \D \int_a^b f(x) \,dx = \left. \int f(x) \,dx \; \right]_a^b \\
  \end{array}
$$

}\anothercol{



}}


\newpage

% «propriedades»  (to ".propriedades")

{\bf Propriedades da integral indefinida}

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 361" "Tabelas de Integrais Indefinidas")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "17 288" "teoremas" "sobre antidiferenciação")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "184" "A integral indefinida é linear")

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

\par \Ca{StewPtCap5p40} (p.361) Propriedades da integral indefinida


}\anothercol{
}}


\newpage

% «contas-faceis»  (to ".contas-faceis")
% (c2m232ipp 10 "contas-faceis")
% (c2m232ipa    "contas-faceis")

{\bf Contas fáceis e difíceis}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{


Quando a gente pede pro Maxima ``calcule 2+3'' ele responde `5'; ele
está nos dizendo que $2+3=5$. Mas quando a gente pede pra ele
``calcule 5'' ele responde `5', e não `2+3'... ou seja, ele nos diz
que `5=5', não que `5=2+3'...

Nesses casos o que está antes do `=' é a expressão ``antes'' -- a
expressão original, que nós demos pro Maxima -- e o que está à direita
do `=' é a expressão ``depois'' -- o resultado do Maxima calcular a
expressão original e simplificá-la o máximo que ele consegue.

Em casos como esse o `=' quer dizer ``o resultado de
\ColorRed{calcular} a expressão da esquerda é a expressão da
direita'', ou ``o resultado de \ColorRed{simplificar} a expressão da
esquerda é expressão da direita''.

Estes dois capítulos do ``Maxima Workbook'' explicam em detalhes
excruciantes como o Maxima ``calcula'' e ``simplifica'' expressões:

\ssk

% (find-booksfile "__comp/__comp.el" "20 76" "11 Evaluation")
% (find-booksfile "__comp/__comp.el" "20 81" "12 Simplification")
\par \Ca{MaximaWorkbookP96} (p.76) 11. Evaluation
\par \Ca{MaximaWorkbookP101} (p.81) 12. Simplification

\ssk



}\anothercol{

aaa

$
% (find-latexscan-links "C2" "mathologer-calculus-easy_13:00")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2023-2-C2/mathologer-calculus-easy_13:00.pdf")
\includegraphics[height=2cm]{2023-2-C2/mathologer-calculus-easy_13:00.pdf}
\;\;
% (find-latexscan-links "C2" "mathologer-calculus-easy_16:16")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2023-2-C2/mathologer-calculus-easy_16:16.pdf")
\includegraphics[height=2cm]{2023-2-C2/mathologer-calculus-easy_16:16.pdf}
$

$$\begin{array}{rrcl}
  1. & c'     &⇒& 0 \\ 
  2. & (x^n)' &⇒& nx^{n-1} \\ 
  3. & \sen x &⇒& \cos x \\ 
  4. & \cos x &⇒& -\sen x \\ 
  5. & \ln x  &⇒& \frac1x \\
  6. & e^x    &⇒& e^x \\
  \\[-5pt]
  7. & (f+g)' &⇒& f'+g' \\
  8. & (f-g)' &⇒& f'-g' \\
  9. & (fg)' &⇒& f'g+fg' \\
  10. & \P{\frac fg}' &⇒& \frac{f'g-fg'}{g^2} \\
  11. & (f(g))' &⇒& f'(g)g' \\
  \end{array}
$$

}}








\newpage


\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

}\anothercol{
}}



\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

%  ____  _             _         
% |  _ \(_)_   ___   _(_)_______ 
% | | | | \ \ / / | | | |_  / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ /  __/
% |____// | \_/  \__,_|_/___\___|
%     |__/                       
%
% «djvuize»  (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")

 (eepitch-shell)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2023.2-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2023-2-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")

cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done

f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o  5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }

f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf       ~/2023.2-C2/
       cp -fv        $1.pdf ~/LATEX/2023-2-C2/
       cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}

f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza



%  __  __       _        
% |  \/  | __ _| | _____ 
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | |  | | (_| |   <  __/
% |_|  |_|\__,_|_|\_\___|
%                        
% <make>

 (eepitch-shell)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2023-2-C2-integracao-por-partes veryclean
make -f 2019.mk STEM=2023-2-C2-integracao-por-partes pdf

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2ip"
% ee-tla: "c2m232ip"
% End:
