<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">% (find-LATEX "2023-2-C2-volumes.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2023-2-C2-volumes.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2023-2-C2-volumes.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2023-2-C2-volumes.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2023-2-C2-volumes.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C2-volumes.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2023-1-C2-volumes.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2023-2-C2-volumes"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2023-2-C2-volumes.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
%          (code-eec-LATEX "2023-2-C2-volumes")
%     (find-code-eec-LATEX "2023-2-C2-volumes")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2023-2-C2-volumes.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2023-2-C2-volumes.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2023-2-C2-volumes.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2023-2-C2-volumes.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2023-2-C2-volumes.pdf
%               file:///tmp/2023-2-C2-volumes.pdf
%           file:///tmp/pen/2023-2-C2-volumes.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2023-2-C2-volumes.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise1")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise1")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise1")
% (find-MM-aula-links "2023-2-C2-volumes" "C2" "c2m232volumes" "c2vo")

% «.defs»		(to "defs")
% «.defs-T-and-B»	(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»	(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»	(to "defs-pict2e")
% «.title»		(to "title")
% «.links»		(to "links")
%
% «.djvuize»		(to "djvuize")



% &lt;videos&gt;
% Video (not yet):
% (find-ssr-links     "c2m232volumes" "2023-2-C2-volumes")
% (code-eevvideo      "c2m232volumes" "2023-2-C2-volumes")
% (code-eevlinksvideo "c2m232volumes" "2023-2-C2-volumes")
% (find-c2m232volumesvideo "0:00")

\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima}              % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2023-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2023.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L V = nil                           -- (find-angg "LUA/Pict2e1.lua" "MiniV")
%L dofile "Piecewise1.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise1.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

\pu



%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c2m232volumesp 1 "title")
% (c2m232volumesa   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 2 - 2023.2}

\bsk

Aulas 19 e 21: volumes

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2023.2-C2.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c2m232volumesp 2 "links")
% (c2m232volumesa   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "389" "6.2 Volumes")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "395" "pirâmide de base quadrada")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "397" "Exercícios")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "500" "trombeta" "de Gabriel")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "768" "13.3 Comprimento de Arco e Curvatura")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "874" "15.1 Integrais Duplas sobre Retângulos")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "877"   "aproximações do volume")
\par \Ca{StewPtCap6p12} (p.389) 6.2 Volumes
\par \Ca{StewPtCap6p13} (p.390) volume da esfera
\par \Ca{StewPtCap6p18} (p.395) pirâmide de base quadrada
\par \Ca{StewPtCap6p20} (p.397) Exercícios: \standout{façam do 1 ao 5!}
\par \Ca{StewPtCap8p17} (p.500) trombeta de Gabriel
\par \Ca{StewPtCap13p18} (p.768) 13.3 Comprimento de Arco e Curvatura
\par \Ca{StewPtCap15p6} (p.874) 15.1 Integrais múltiplas sobre retângulos
\par \Ca{StewPtCap15p9} (p.877) aproximações do volume

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "285" "9.3 Volume")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "285" "9.3.1 Secções Transversais")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "288"   "volume da esfera")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "289" "9.3.2 Sólidos de Revolução")
\par \Ca{Miranda285} 9.3 Volume
\par \Ca{Miranda288} O volume da esfera de raio $r$ é $\frac43πr^3$
\par \Ca{Miranda285} 9.3.1 Secções transversais
\par \Ca{Miranda289} 9.3.2 Sólidos de revolução
\par \Ca{Miranda292} \standout{Façam os exercícios 2, 3, 4 e 5!}

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "374" "6.1. Volumes de sólidos por cortes")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "388" "6.3. Comprimento de arco")
\par \Ca{Leit6p3} (p.374) 6.1 Volumes de sólidos por cortes
\par \Ca{Leit6p17} (p.388) 6.3 Comprimento de arco

\msk

\par \Ca{3cT75} Pirâmide (3D)
%\par \Ca{3cT76} Cruz (3D)
%\par \Ca{3eT23} Low Poly (até o final do PDFzão)
\par \Ca{2gT105} Um jogo colaborativo
\par \Ca{2gT137} P2 de 2023.1, questão sobre volumes

%Quadros de 2023.2:
%\par \Ca{2hQ39} Quadros da aula 13 (25/set/2023)

\msk

% (c2m231volumesp 1 "title")
% (c2m231volumesa   "title")

% (find-angg ".emacs" "c2q232")
% (find-angg ".emacs" "c2q232" "19,oct09: Volumes")
Quadros de 2023.2:
\par \Ca{2hQ47} Quadros da aula 19 (09/out/2023)
\par \Ca{2hQ49} Quadros da aula 21 (11/out/2023)

\msk

% (find-angg ".emacs" "c2q231" "jul04: Volumes e comprimento de arco")
Quadros de 2023.1:
\par \Ca{2gQ59} Quadros da aula 27 (4/julho/2023)

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bressoud")




}\anothercol{
}}

\newpage

{\bf Exercício 1}

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{

Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
  A &amp;=&amp; \setofst{(x,y)∈\R^2}{0≤x≤1, 0≤y≤1} \\
  B &amp;=&amp; \setofst{(x,y)∈\R^2}{0≤x≤1, 0≤y≤x} \\
  C &amp;=&amp; \setofst{(x,y,z)∈\R^3}{0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1} \\
  D &amp;=&amp; \setofst{(x,y,z)∈\R^3}{0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤x} \\
  E &amp;=&amp; \setofst{(x,y,z)∈\R^3}{0≤x≤1, 0≤y≤x, 0≤z≤x} \\\relax
  [x=α] &amp;=&amp; \setofst{(x,y)∈\R^2}{x=α} \\\relax
  [y=β] &amp;=&amp; \setofst{(x,y)∈\R^2}{y=β} \\\relax
  [[x=α]] &amp;=&amp; \setofst{(x,y,z)∈\R^3}{x=α} \\\relax
  [[y=β]] &amp;=&amp; \setofst{(x,y,z)∈\R^3}{y=β} \\\relax
  [[z=γ]] &amp;=&amp; \setofst{(x,y,z)∈\R^3}{z=γ} \\\relax
  \end{array}
$$

Lembre das técnicas do ``jogo colaborativo'', e:

a) Represente graficamente $A$.

b) Represente graficamente $B$.

c) Represente graficamente $C$.

d) Represente graficamente $D$.

e) Represente graficamente $E$.

f) Represente num gráfico só $A$ e $A∩[x=0.5]$. Qual é o comprimento de $A∩[x=0.5]$?

g) Represente num gráfico só $B$ e $B∩[x=0.5]$. Qual é o comprimento de $B∩[x=0.5]$?

h) Represente num gráfico só $D$ e $D∩[[x=0.5]]$. Qual é a área de $D∩[[x=0.5]]$?

i) Represente num gráfico só $D$ e $D∩[[y=0.5]]$. Qual é a área de $D∩[[y=0.5]]$?

j) Represente num gráfico só $D$ e $D∩[[z=0.5]]$. Qual é a área de $D∩[[z=0.5]]$?

k) Represente num gráfico só $E$ e $E∩[[x=0.5]]$. Qual é a área de $E∩[[x=0.5]]$?

l) Represente num gráfico só $E$ e $E∩[[y=0.5]]$. Qual é a área de $E∩[[y=0.5]]$?

m) Represente num gráfico só $E$ e $E∩[[z=0.5]]$. Qual é a área de $E∩[[z=0.5]]$?

}\anothercol{

Calcule:

n) $\area(E∩[[x=0.2]])$

o) $\area(E∩[[x=0.8]])$

\msk

p) $\D \Intt{0}{1}{\area(E∩[[x=t]])}$

}}

\newpage

{\bf Dicas pro exercício 1}

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

O conjunto $C$ é um cubo e os conjuntos $D$ e $E$ vão ser pedaços
do cubo $C$.

\msk

Existem 8 pontos de $\R^3$ que obedecem isto aqui: $x,y,z∈\{0,1\}$.
Vou inventar um nome pra eles: eles vão ser os pontos ``simples''. O
conjunto $C$ contém todos os pontos simples mas os conjuntos $D$ e $E$
só contém alguns pontos simples cada um... quais?

\msk

Pra fazer os itens que envolvem os conjuntos $D$ e $E$ comece fazendo
um MONTE de desenhos de cubos à mão, SEM USAR RÉGUA -- como eu fiz na
figura de cima à direita. Se você não usar régua o seu ganho de
velocidade vai ser tão grande que você não vai se incomodar muito pra
descartar os desenhos que ficarem tortos demais, e você vai poder
escolher quais são os desenhos nos quais os eixos estão numa posição
melhor pra desenhar o conjunto $E$, que é meio complicado.

\msk

Quando você encontrar uma posição pros eixos que você ache que está
boa faça uma versão ampliada do seu cubo naquela posição ocupando uma
folha inteira, e depois escreva do lado de cada um dos pontos
``simples'' as coordenadas dele -- como eu fiz na figura de baixo à
direita. Use essa figura pra tentar entender os conjuntos $D$ e $E$.

\msk

A melhor posição pra desenhar o conjunto $E$ não é a da figura de
baixo à direita.

}\anothercol{

\vspace*{-0.5cm}

$\begin{array}{c}
 % (find-latexscan-links "C2" "20231009_cubos_1")
 % (find-xpdf-page "~/LATEX/2023-2-C2/20231009_cubos_1.pdf")
 \includegraphics[height=6cm]{2023-2-C2/20231009_cubos_1.pdf}
 \\
 \\
 % (find-latexscan-links "C2" "20231009_cubos_2")
 % (find-xpdf-page "~/LATEX/2023-2-C2/20231009_cubos_2.pdf")
 \includegraphics[height=6cm]{2023-2-C2/20231009_cubos_2.pdf}
 \end{array}
$

}}




\newpage

{\bf Aviso}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

    Na aula 19 -- que era pra ser a única aula sobre volumes -- as
    pessoas tiveram tanta dificuldade pra desenhar os conjuntos $C$,
    $D$ e $E$ em 3D que eu preferi considerar que elas não teriam
    condições de entender os trechos do Stewart em que ele faz cortes
    em figuras 3D e depois calcula as áreas desses cortes... então nós
    vamos ter uma segunda aula sobre isso.

Slogans

}\anothercol{
}}



\newpage



\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

%  ____  _             _         
% |  _ \(_)_   ___   _(_)_______ 
% | | | | \ \ / / | | | |_  / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ /  __/
% |____// | \_/  \__,_|_/___\___|
%     |__/                       
%
% «djvuize»  (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")

 (eepitch-shell)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2023.2-C2/")
# (find-fline "~/LATEX/2023-2-C2/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")

cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done

f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o  5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }

f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf       ~/2023.2-C2/
       cp -fv        $1.pdf ~/LATEX/2023-2-C2/
       cat &lt;&lt;%%%
% (find-latexscan-links "C2" "$1")
%%%
}

f 20231009_cubos_1
f 20231009_cubos_2



%  __  __       _        
% |  \/  | __ _| | _____ 
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | |  | | (_| |   &lt;  __/
% |_|  |_|\__,_|_|\_\___|
%                        
% &lt;make&gt;

 (eepitch-shell)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2023-2-C2-volumes veryclean
make -f 2019.mk STEM=2023-2-C2-volumes pdf

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2vo"
% ee-tla: "c2m232volumes"
% End:
</pre></body></html>