% (find-LATEX "2023-2-C3-P2.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2023-2-C3-P2.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2023-2-C3-P2.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2023-2-C3-P2.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2023-2-C3-P2.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C3-P2.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C3-P1.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2022-2-C3-VR.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2023-2-C3-P2"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2023-2-C3-P2.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
%          (code-eec-LATEX "2023-2-C3-P2")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2023-2-C3-P2.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2023-2-C3-P2.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2023-2-C3-P2.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2023-2-C3-P2.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2023-2-C3-P2.pdf
%               file:///tmp/2023-2-C3-P2.pdf
%           file:///tmp/pen/2023-2-C3-P2.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2023-2-C3-P2.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2023-2-C3-P2" "C3" "c3m232p2" "c3p2")

% «.defs»		(to "defs")
% «.defs-T-and-B»	(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»	(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»	(to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima»	(to "defs-maxima")
% «.title»		(to "title")
% «.links»		(to "links")
%
% «.djvuize»		(to "djvuize")



% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links     "c3m232p2" "2023-2-C3-P2")
% (code-eevvideo      "c3m232p2" "2023-2-C3-P2")
% (code-eevlinksvideo "c3m232p2" "2023-2-C3-P2")
% (find-c3m232p2video "0:00")

\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2023-2-C3.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2023.2-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua"           -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

% «defs-maxima»  (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")

\pu



%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c3m232p2p 1 "title")
% (c3m232p2a   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 3 - 2023.2}

\bsk

P2 (segunda prova)

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2023.2-C3.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c3m232p2p 2 "links")
% (c3m232p2a   "links")

%{\bf Links}
%
%\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
%}\anothercol{
%}}

\newpage

%   ___                  _                _ 
%  / _ \ _   _  ___  ___| |_ __ _  ___   / |
% | | | | | | |/ _ \/ __| __/ _` |/ _ \  | |
% | |_| | |_| |  __/\__ \ || (_| | (_) | | |
%  \__\_\\__,_|\___||___/\__\__,_|\___/  |_|
%                                           
% «questao-1»  (to ".questao-1")
% (c3m222vrp 2 "questao-1")
% (c3m222vra   "questao-1")

{\bf Questão 1.}

\scalebox{0.45}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

\vspace*{-0.5cm}

\T(Total: 10.0 pts)

\msk

Lembre que $\Int(A)$ é o interior de $A$, $\ovl{A}$ é o fecho de $A$,
$∂A$ é a fronteira de $A$, e que se $f$ é uma função de $A$ em $B$
então $f^{-1}$ é a ``imagem inversa de $F$'', que é definida de um
jeito quando o argumento é um número e de outro jeito quando o
argumento é um conjunto. Se $b∈A$ e $C⊂B$, então:
%
$$\begin{array}{rcl}
  f^{-1}(b) &=& \setofst{a∈A}{f(a)=b} \\
  f^{-1}(C) &=& \setofst{a∈A}{f(a)∈C} \\
  \end{array}
$$


Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
  A &=& \setofxyst{x,y∈[-2,2]} \\
  B &=& \setofxyst{x+y≥3} \\
  C &=& \setofxyst{x∈[-3,-1],y∈[1,3]} \\
  D &=& (A\bsl B)\bsl C \\
  E &=& \ovl D \\
  \end{array}
$$
%
e:
%
$$\begin{array}{rcrcl}
  F         &:& \R^2 &\to& \R \\ 
             && (x,y) &\mto& xy \\ \\[-5pt]
  G         &:& E &\to& \R \\ 
             && (x,y) &\mto& xy \\
  \end{array}
$$

\msk

a) \B (0.5 pts) Desenhe a região $D$.

b) \B (0.5 pts) Desenhe a região $E$.

c) \B (0.5 pts) Desenhe as curvas de nível da função $F$ para
$z=0,1,2,-1,-2$. Note que várias delas vão ser curvas infinitas.



}\anothercol{

\ssk

d) \B (1.0 pts) Desenhe as curvas de nível da função $G$ para
$z=0,1,2,-1,-2$ e para $z=-1.5$. Note que várias delas vão ser pedaços
finitos de curvas infinitas.

\ssk

e) \B (0.5 pts) Dê as coordenadas de cada um dos ``bicos'' de $∂D$ e
dê nomes como $B_1, B_2, \ldots, B_N$ para cada um deles.. Repare que
eu não estou dizendo quem é $N$ --- você vai ter que descobrir.

f) \B (1.5 pts) Diga quais são os mínimos locais, máximos locais e
pontos de sela da função $G$ e dê nomes como $P_1, P_2, \ldots, P_M$
para esses pontos. Repare que eu não estou dizendo quem é $M$ --- você
vai ter que descobrir.

\bsk

{\sl Quais pontos de fronteira são máximos e mínimos locais?} A gente
não teve tempo de ver isso no curso, mas nos próximos dois itens você
vai fazer um desenho que vai te ajudar as entender os teoremas sobre
isso do capítulo 12 do Bortolossi...

\bsk



g) \B (0.5 pts) Seja $Q = \{B_1,\ldots,B_N\}∪\{P_1,\ldots, P_M\}$.
Calcule o gradiente de $F$ em cada um dos pontos do conjunto $Q$.

\msk

\standout{Dica:} Depois que você fizer o item (g) refaça o item (d).
Essa versão melhorada do item (d) vai te ajudar com o item (h) -- que
vale metade dos pontos da prova.

\msk

h) \B (5.0 pts) Faça um gráfico bem grande -- ocupando uma folha toda
-- com a região $E$, as curvas de nível do item (d) e todos os vetores
gradientes do item (g). Capriche bastante nesse desenho e passe ele a
limpo várias vezes -- imagine que você vai usar ele pra explicar pra
uma outra pessoa porque é que nem todos os pontos do conjunto $Q$ são
máximos locais ou mínimos locais.


}}


\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'



\end{document}

%  ____  _             _         
% |  _ \(_)_   ___   _(_)_______ 
% | | | | \ \ / / | | | |_  / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ /  __/
% |____// | \_/  \__,_|_/___\___|
%     |__/                       
%
% «djvuize»  (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")

 (eepitch-shell)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2023.2-C3/")
# (find-fline "~/LATEX/2023-2-C3/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")

cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done

f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o  5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }

f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf       ~/2023.2-C3/
       cp -fv        $1.pdf ~/LATEX/2023-2-C3/
       cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C3" "$1")
%%%
}

f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza



%  __  __       _        
% |  \/  | __ _| | _____ 
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | |  | | (_| |   <  __/
% |_|  |_|\__,_|_|\_\___|
%                        
% <make>

 (eepitch-shell)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2023-2-C3-P2 veryclean
make -f 2019.mk STEM=2023-2-C3-P2 pdf

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3p2"
% ee-tla: "c3m232p2"
% End:
