% (find-LATEX "2023-2-C3-trajetorias.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2023-2-C3-trajetorias.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2023-2-C3-trajetorias.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2023-2-C3-trajetorias.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2023-2-C3-trajetorias.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C3-trajetorias.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C3-trajetorias.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2023-2-C3-trajetorias"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2023-2-C3-trajetorias.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
%          (code-eec-LATEX "2023-2-C3-trajetorias")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2023-2-C3-trajetorias.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2023-2-C3-trajetorias.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2023-2-C3-trajetorias.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2023-2-C3-trajetorias.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2023-2-C3-trajetorias.pdf
%               file:///tmp/2023-2-C3-trajetorias.pdf
%           file:///tmp/pen/2023-2-C3-trajetorias.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2023-2-C3-trajetorias.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise1")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise1")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise1")
% (find-MM-aula-links "2023-2-C3-trajetorias" "C3" "c3m232tr" "c3tr")

% «.defs»			(to "defs")
% «.defs-T-and-B»		(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»		(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»		(to "defs-pict2e")
% «.title»			(to "title")
% «.links»			(to "links")
% «.traco»			(to "traco")
% «.bico-e-teleporte»		(to "bico-e-teleporte")
% «.adivinhar-trajetorias»	(to "adivinhar-trajetorias")
% «.lissajous»			(to "lissajous")
% «.orbita»			(to "orbita")
%
% «.djvuize»			(to "djvuize")



% <videos>
% Video (not yet):
% (find-ssr-links     "c3m232tr" "2023-2-C3-trajetorias")
% (code-eevvideo      "c3m232tr" "2023-2-C3-trajetorias")
% (code-eevlinksvideo "c3m232tr" "2023-2-C3-trajetorias")
% (find-c3m232trvideo "0:00")

\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%\usepackage{emaxima}              % (find-LATEX "emaxima.sty")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2023-2-C3.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2023.2-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2023-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L V = nil                           -- (find-angg "LUA/Pict2e1.lua" "MiniV")
%L dofile "Piecewise1.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise1.lua")
%L Pict2e.__index.suffix = "%"
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

\pu



%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c3m232trp 1 "title")
% (c3m232tra   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo C3 - 2023.2}

\bsk

Aula 6: mais trajetórias

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2023.2-C3.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c3m232trp 2 "links")
% (c3m232tra   "links")

{\bf Links}

% (c3m222introp 1 "title")
% (c3m222introa   "title")
\par \Ca{3fT1} Versão anterior destes slides
\par \Ca{StewPtCap10p9} (p.579) Figuras 10, 11 e 12

% (c3m211vtp 3 "exercicio-1")
% (c3m211vta   "exercicio-1")

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "17 618" "Limaçon")
% (find-leitholdptpage (+ 17 618)   "Limaçon")
% (find-leitholdptpage       760    "Limaçon")

\newpage

{\bf Introdução antiga}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

% (c3m222introp 2 "aula-1")
% (c3m222introa   "aula-1")

{\bf Sobre a aula 1}

Na aula 1 nós usamos as idéias dos 8 primeiros slides daqui,

\ssk

% (c3m212introp 1 "title")
% (c3m212introa   "title")
\Ca{3dT2} Aulas 4 e 5: introdução ao curso

\ssk

e do slide 10 daqui,

\ssk

% (c3m202planotangp 10 "geral-e-particular")
% (c3m202planotanga    "geral-e-particular")
\Ca{3bT93} ...usam um caso particular disfarçado

\ssk

...pra desenhar casos particulares das figuras das seções 7.4 e 7.5 do
``GA1'' do Felipe Acker:

\ssk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "acker")
% (find-ackerGA1page (+ 16 27) "7.4 Soma de vetores")
% (find-ackerGA1page (+ 16 29) "7.5 Somando vetores a pontos")
\Ca{AckerGA1p43} (p.27) 7.4 Soma de vetores

\bsk

{\bf Introdução ao vetor velocidade}

Em cursos de Cálculo 3 ``pra matemáticos'' a gente normalmente
começa definindo o vetor velocidade como um limite. O Felipe
Acker faz isso muito bem nos capítulos 2 e 3 do ``GA4'',

\ssk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "acker")
% (find-ackerGA4page (+ 8 13) "2" "Velocidade")
% (find-ackerGA4text (+ 8 13) "2" "Velocidade")
% (find-ackerGA4page (+ 8 19) "3" "Aceleracao")
% (find-ackerGA4text (+ 8 19) "3" "Aceleracao")
\par \Ca{AckerGA4p21} (p.13) Capítulo 2: Velocidade
\par \Ca{AckerGA4p27} (p.19) Capítulo 3: Aceleração

\ssk

Eu costumava fazer mais ou menos isso no curso de Cálculo 3,
e a gente gastava uma aula inteira aprendendo a decifrar a
fórmula daquele limite e visualizar o que ela queria dizer.

}\anothercol{

Dessa vez vamos tentar fazer algo diferente.

Vamos começar com exemplos e animações.

Assista este vídeo aqui até o 9:00,

\msk

% (c3m212bezierp 1)
% (c3m212bezier 1)
\Ca{3dT25} Aula 7: um vídeo sobre curvas de Bézier

{\footnotesize

%    https://www.youtube.com/watch?v=aVwxzDHniEw
\url{https://www.youtube.com/watch?v=aVwxzDHniEw}

}

\msk

...mas considere que tudo no vídeo até o 6:34 são idéias avançadas que
a gente só vai entender nuns exercícios que a gente vai fazer daqui a
algumas aulas. Por enquanto reserve praticamente toda a sua atenção
pro trecho entre 6:34 e 9:00, que é o trecho que a Freya Holmér mostra
os vetores velocidade e aceleração pra algumas curvas de Bézier.

\msk

A gente vai fazer o seguinte. Nós vamos acreditar que {\sl em geral}
quando temos uma trajetória $P(t) = (x(t),y(t))$ o vetor velocidade
dessa trajetória é $P'(t) = (x'(t),y'(t))$. Nós vamos ver vários
exemplos disso, e vamos deixar pra entender os detalhes desse ``em
geral'' quando formos entender a definição ``pra matemáticos'' do
vetor velocidade.


}}


\newpage

% «traco»  (to ".traco")
% (c3m232trp 3 "traco")
% (c3m232tra    "traco")

{\bf Traço}

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

%a

Comece entendendo a definição de traço de uma curva parametrizada do
Bortolossi:

\Ca{Bort6p2} (p.188) Definição 6.1


Agora sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
  P(t) &=& (4,0) + t\VEC{0,1}, \\
  Q(u) &=& (0,3) + u\VEC{2,0}. \\
  \end{array}
$$

% (find-bortolossi6page (+ -186 188) "traço")
% (find-bortolossi6page (+ -186 199) "limite de vetores secantes")

{\bf Exercício 1}

a) Represente num gráfico só o traço de $P(t)$ e o de $Q(u)$.

\msk

b) Marque o ponto $P(0)$ e escreva `$t=0$' do lado dele.

\msk

c) Faça o mesmo para os pontos $P(1)$ (`$t=1$') e $Q(0)$ e $Q(1)$ (`$u=0$' e `$u=1$'). 

\msk

d) Seja $r$ o traço de $P(t)$ e $s$ o traço de $Q(u)$.

Seja $X$ o ponto de interseção de $r$ e $s$.

Quais são as coordenadas de $X$?

\msk

e) Cada ponto de $r$ está ``associado'' a um valor de $t$ e cada ponto
de $s$ a um valor de $u$. Quais são os valores de $t$ e $u$ associados
ao ponto $X$? Chame-os de $t_0$ e $u_0$ e indique-os no seu gráfico --
por exemplo, se $t_0=99$ e $u_0=200$ você vai escrever `$t=99$' e
`$u=200$' do lado do ponto $X$. Note que ``$t_0=99$'' e ``$t_{99}$''
são coisas totalmente diferentes!

\msk

{\bf Dica:}

\Ca{MpgP17}

% Faça o desenho sozinho -- talvez você gaste alguns minutos pra
% decifrar todas as instruções -- e depois compare o seu desenho com o
% dos seus colegas.

}\anothercol{

Agora releia as dicas 1, 2 e 7 daqui:

\Ca{2gT4} ``Releia a dica 7''

e entenda a notação de ``set comprehensions'' daqui:

\Ca{MpgP8} ``Set comprehensions''

\bsk

Se você aprender a definir os seus objetos em linguagem matemática
você vai conseguir aprender (e fazer!) muitas coisas do curso
\standout{MUITO} mais rápido, e vai ter muito mais facilidade pra
escrever elas de um jeito legível. Então:

\bsk
\bsk

{\bf Exercício 1 (cont.)}

\ssk

f) No item (d) a gente definiu $r$, $s$ e $X$ usando muitas palavras
em português. Dá pra definir $r$, $s$ e $X$ com bem menos português se
a gente usar a notação de ``set comprehensions''. Aprenda a usar essa
notação e complete as lacunas abaixo:
%
\begin{quote}

Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
  P(t) &=& (4,0) + t\VEC{0,1}, \\
  Q(u) &=& (0,3) + u\VEC{2,0}. \\
  r &=& \setofst{\_\_\_}{\_\_\_}, \\
  s &=& \setofst{\_\_\_}{\_\_\_}, \\
  X &=& r∩s \\
  \end{array}
$$

\end{quote}


}}



\newpage

% «bico-e-teleporte»  (to ".bico-e-teleporte")
% (c3m232trp 7 "bico-e-teleporte")
% (c3m232tra   "bico-e-teleporte")

{\bf Bico e teleporte}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

% (c3m222introp 5 "exercicios-1-e-2")
% (c3m222introa   "exercicios-1-e-2")

{\bf Exercício 2: uma trajetória com um bico}

Dê uma olhada no item 1e daqui:

\ssk

\Ca{3eT70} VS extra de 2022.1 - questão 1

%{\footnotesize
%
%% (c3m221vsp 2 "questao-1")
%% (c3m221vsa   "questao-1")
%%    http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-VS.pdf#page=2
%\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-VS.pdf\#page=2}
%
%}

\ssk

Faça o que essa questão pede e represente graficamente $Q(t)+Q'(t)$
pra um monte de outros valores de $t$ também --- até você entender
como essa trajetória se comporta. {\sl Dica:} ela é um movimento
retilíneo uniforme até um determinado instante, aí ela muda de vetor
velocidade subitamente e vira um outro movimento retilíneo uniforme.

\msk

{\bf Exercício 3: um trajetória com teleporte}

Represente graficamente a trajetória abaixo. Ela é parecida com a
anterior, mas nessa tem um momento em que a partícula desaparece do
ponto em que em estava e se teleporta pra outro lugar.
%
$$\scalebox{0.9}{$
  R(t) \;=\;
  \begin{cases}
    (t,4)    & \text{quando $t≤6$}, \\
    (5,11-t) & \text{quando $6<t$}. \\
  \end{cases}
  $}
$$

}\anothercol{

% (c3m222introp 6 "exs-1-e-2-dicas")
% (c3m222introa   "exs-1-e-2-dicas")

{\bf Dicas pro exercícios 1 e 2}

Este vídeo aqui tem algumas figuras sobre como desenhar trajetórias:

\ssk

{\footnotesize

% (c3m202introa "video-1")

\url{http://www.youtube.com/watch?v=3yWLubqHsic}

\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2020.2-C3-intro.mp4}

}

\bsk

Quase todo mundo achou muito difícil desenhar a trajetória do
exercício 3 --- se a gente calcula $R(t)$ só pra valores inteiros de
$t$ a gente não consegue descobrir como a $R(t)$ se comporta entre
$t=6$ e $t=7$...

\ssk

Um jeito de resolver isso é calcular $R(t)$ para $t=6.1$, $t=6.2$,
$\ldots$, $t=6.9$, desenhar esses pontos no gráfico, e aí tentar
descobrir qual é o comportamento da $R(t)$ pra todos os valores em
$[6,7]$.

\ssk

Um outro jeito é considerar que $R(t)=(x(t),y(t))$ e tentar entender
as funções $x(t)$ e $y(t)$, que são funções de $\R$ em $\R$.


}}




\newpage

% (c3m222introp 6 "VT")
% (c3m222introa   "VT")
% (c3m211vtp 3 "exercicio-1")
% (c3m211vta   "exercicio-1")
% (c3m211vtp 5 "exercicio-2")
% (c3m211vta   "exercicio-2")


\newpage

% «exercicio-2»  (to ".exercicio-2")
% (c3m211vtp 3 "exercicio-2")
% (c3m211vta   "exercicio-2")
% (c3m202vtp 5 "exercicio-2")
% (c3m202vt    "exercicio-2")

{\bf Um círculo}


\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Seja:
%
$$P(t) = (\cos t, \sen t).$$

{\bf Exercício 4.}

Represente num gráfico só:

\ssk

a) o traço de $P(t)$,

\msk

b) $P(\frac{π}{2}) + P'(\frac{π}{2})$, escrevendo `$P(\frac{π}{2})$'
ao lado do ponto e `$P'(\frac{π}{2})$' ao lado da seta,

\msk

c) Idem para estes outros valores de $t$: $0, \frac14π, \frac34π, π$.

\msk

d) Seja $Q(u) = P(π) + uP'(π)$. Desenhe o traço de $Q(u)$ e anote
`$Q(0)$' e `$Q(1)$' nos pontos adequados.

\msk

e) O traço de $Q(u)$ é uma reta tangente ao traço de $P(t)$ no ponto
$P(π)$? Encontre no livro ou no resto da internet uma definição formal
de reta tangente e descubra se isto é verdade ou não.

}\anothercol{
}}


\newpage

% «adivinhar-trajetorias»  (to ".adivinhar-trajetorias")
% (c3m232trp 9 "adivinhar-trajetorias")
% (c3m232tra   "adivinhar-trajetorias")
% (c3m211vtp 6 "sobre-adivinhar-trajetorias")
% (c3m211vta   "sobre-adivinhar-trajetorias")

{\bf Sobre ``adivinhar trajetórias''}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Nos próximos dois exercícios nós vamos {\sl começar} a fazer uma coisa
que vai ser muito comum aqui nesse curso de Cálculo 3, e que
geralmente é inadmissível nos cursos de Cálculo 1: nós vamos tentar
``advinhar'' como certas trajetórias são a partir de umas poucas
informações sobre elas.

\msk

Esse ``adivinhar'' na verdade é ``fazer hipóteses razoáveis'', e às
vezes a gente precisa de mais informações pra descobrir qual hipótese
é mais razoável. Na figura do próximo slide eu desenhei à esquerda
$P(t)+P'(t)$ para a trajetória de um personagem de videogame em
$t=0,1,3,4$, mas existem muitas trajetórias que se passam por esses
pontos com essas velocidades. Na primeira figura à direita eu desenhei
uma trajetória de uma nave no espaço; na segunda eu desenhei a
trajetória de um personagem de um videogame do meu tempo --- naquela
época nada nos videogames obedecia as leis da Física, e nos meus jogos
preferidos o meu personagem era um quadradinho --- e na terceira o
personagem é atingido por um raio em $t=1.05$ e ele adquire
superpoderes.

\bsk

}\anothercol{

\vspace*{2cm}

% (find-latexscan-links "C3" "20210618_trajetorias")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210618_trajetorias.pdf")
\includegraphics[height=5cm]{2021-1-C3/20210618_trajetorias.pdf}

}}

\newpage



% «lissajous»  (to ".lissajous")
% (c3m232trp 8 "lissajous")
% (c3m232tra   "lissajous")
% (c3m211vtp 8 "exercicio-3")
% (c3m211vta   "exercicio-3")
% (c3m202vtp 6 "exercicio-3")
% (c3m202vt    "exercicio-3")


{\bf Lissajous}

% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ?")
%
%T  (eepitch-maxima)
%T  (eepitch-kill)
%T  (eepitch-maxima)
%T load_qdraw();
%T x(t) := cos(  t);
%T y(t) := sin(2*t);
%T qdraw(para(x(t),y(t), t, 0,2*%pi));
%T x(t) := cos(2*t);
%T y(t) := sin(  t);
%T qdraw(para(x(t),y(t), t, 0,2*%pi));


\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Os exercícios desta página vão dar curvas de Lissajous, como as daqui:

{\footnotesize

\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve}

}

Seja $P(t) = (\cos t, \sen \ColorRed{2}t)$.

Represente graficamente $P(t)+P'(t)$ para os seguintes valores de $t$:

$0, \frac14π, \frac24π, \frac34π, \ldots, 2π$.

Faça as anotações adequadas nos seu pontos e vetores pra lembrar qual
é o $t$ associado a cada um.

\msk

\ColorRed{Tente} usar as informações deste gráfico pra desenhar o
traço de $P(t)$. Isto não é nada óbvio -- se inspire nas figuras das
páginas 208 e 209 do capítulo 6 do Bortolossi e tente conseguir uma
hipótese razoável.

\msk

Você pode pensar que $P(t)$ é a posição do Super Mario Kart no
instante $t$ e $P'(t)$ é o {\sl vetor velocidade} dele no instante $t$
(lembre que um vetor tem ``direção'', ``orientação'' e ``módulo''!)...
você só sabe a posição e a velocidade dele em alguns instantes, isto
é, em alguns valores de $t$, e você vai ter que encontrar uma
aproximação razoável, olhométrica, pra pista onde ele está correndo.

}\anothercol{

{\bf Exercício 4}

Seja $P(t) = (\cos \ColorRed{2}t, \sen t)$.

Represente graficamente $P(t)+P'(t)$ para os seguintes valores de $t$:

$0, \frac14π, \frac24π, \frac34π, \ldots, 2π$.

Faça as anotações adequadas nos seu pontos e vetores pra lembrar qual
é o $t$ associado a cada um.

\msk

\ColorRed{Tente} usar as informações deste gráfico pra desenhar o
traço de $P(t)$. Isto não é nada óbvio -- se inspire nas figuras das
páginas 208 e 209 do capítulo 6 do Bortolossi e tente conseguir uma
hipótese razoável.



}}



\newpage

% «exercicio-4»  (to ".exercicio-4")
% (c3m211vtp 9 "exercicio-4")
% (c3m211vta   "exercicio-4")
% (c3m201vtp 8 "exercicio-4")
% (c3m201vt    "exercicio-4")



\newpage

% «orbita»  (to ".orbita")
% (c3m232trp 9 "orbita")
% (c3m232tra   "orbita")
% (c3m222introp 8 "orbita")
% (c3m222introa   "orbita")

{\bf Órbita}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Este exercício vai dar uma figura que é a órbita de uma lua.

O resultado vai ser algo como a figura da última página daqui,

\ssk

{\footnotesize

% (c3m221orbitap 2 "links")
% (c3m221orbitaa   "links")
%    http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-orbita.pdf
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C3-orbita.pdf}

}

\ssk

mas olhe pra essa figura durante só uns poucos segundos.

\msk

Neste exercício você vai tentar redescobrir essa figura sozinho, e
você vai tentar descobrir como desenhar uma aproximação bem razoável
pra ela só somando uns vetores no olhômetro e sem fazer nenhuma conta
complicada --- por exemplo, você vai evitar usar uma aproximação
numérica pra $(\cos(\frac{1}{12}·2π), \sen(\frac{1}{12}·2π))$; ao
invés disso você vai usar a representação gráfica deste ponto no
$\R^2$.

}\anothercol{

Seja $h = \frac{1}{12}·2π$.

Esse $h$ vai ser uma ``hora''. Vou explicar isso no quadro.

Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
  P(t) &=& (\cos t, \sen t), \\
  Q(t) &=& (\cos 4t, \sen 4t), \\
  R(t) &=& \frac{1}{2}(\cos 4t, \sen 4t)  = (\frac{1}{2}\cos 4t, \frac{1}{2}\sen 4t), \\
  S(t) &=& P(t) + R(t). \\
  \end{array}
$$

\ssk

{\bf Represente graficamente:}

\ssk

a) $P(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.

b) $P(t) + P'(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.

\ssk

c) $Q(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.

d) $Q(t) + Q'(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.

\ssk

e) $R(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.

f) $R(t) + R'(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.

\ssk

g) $S(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.

h) $S(t) + S'(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.

\bsk

(Continua...)


}}



\newpage

% «orbita-2»  (to ".orbita-2")
% (c3m222introp 8 "orbita-2")
% (c3m222introa   "orbita-2")
% (find-es "maxima" "plot2d-parametric")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "Limaçon")

% «orbita-3»  (to ".orbita-3")
% (c3m222introp 9 "orbita-3")
% (c3m222introa   "orbita-3")

{\bf Órbita (cont.)}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Nos itens a até f você deve ter obtido pontos sobre círculos e vetores
tangentes aos círculos apoiados nestes pontos. Nos itens g e h você
deve ter obtido algo bem mais complicado: pontos e vetores apoiados
nestes pontos, mas você ainda não sabe direito sobre que curva eles
estão.

Reveja o trecho entre 6:34 e 9:00 do vídeo da Freya Holmér. A
trajetória que ela analisa é bem ``suave'', no sentido de que ela não
bicos ou teleportes, e a derivada da aceleração dela é constante.

No item h você obteve alguns pontos e vetores velocidade {\sl de uma
  trajetória que você não sabe direito qual é}... você só tem uma
lembrança vaga do ``traço'' dessa trajetória, porque você viu a
figura-spoiler durante uns poucos segundos.

}\anothercol{

i) Desenhe uma trajetória bem suave que nos instantes $t=0h$, $1h$,
$\ldots$, $12h$ passe pelos pontos que você obteve no item g. Aqui
você vai conseguir uma aproximação bem tosca pro ``traço'' da
trajetória $S(t)$.

\msk

j) Desenhe uma trajetória bem suave que nos instantes $t=0h$, $1h$,
$\ldots$, $12h$ passe pelos pontos que você obteve no item h, e que
naqueles instantes tenha exatamente os vetores velocidade que você
também desenhou no item h. Aqui você provavelmente vai conseguir uma
aproximação bastante boa pro ``traço'' da trajetória $S(t)$.

\msk

k) Refaça o desenho do item j pra ele ficar mais caprichado e
simétrico e tal. Quando você achar que conseguiu fazer uma versão
caprichada boa olhe de novo a figura-spoiler e compare o seu desenho
com ela.

}}



\newpage

% (c3m222introp 10 "orbita-4")
% (c3m222introa    "orbita-4")



\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

%  ____  _             _         
% |  _ \(_)_   ___   _(_)_______ 
% | | | | \ \ / / | | | |_  / _ \
% | |_| | |\ V /| |_| | |/ /  __/
% |____// | \_/  \__,_|_/___\___|
%     |__/                       
%
% «djvuize»  (to ".djvuize")
% (find-LATEXgrep "grep --color -nH --null -e djvuize 2020-1*.tex")

 (eepitch-shell)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-shell)
# (find-fline "~/2023.2-C3/")
# (find-fline "~/LATEX/2023-2-C3/")
# (find-fline "~/bin/djvuize")

cd /tmp/
for i in *.jpg; do echo f $(basename $i .jpg); done

f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o  5 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o 10 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -v $1.pdf;  textcleaner -f 50 -o 20 $1.jpg $1.png; djvuize $1.pdf; xpdf $1.pdf }

f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 15" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 30" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 1.0 -f 45" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.5" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { rm -fv $1.png $1.pdf; djvuize WHITEBOARDOPTS="-m 0.25" $1.pdf; xpdf $1.pdf }
f () { cp -fv $1.png $1.pdf       ~/2023.2-C3/
       cp -fv        $1.pdf ~/LATEX/2023-2-C3/
       cat <<%%%
% (find-latexscan-links "C3" "$1")
%%%
}

f 20201213_area_em_funcao_de_theta
f 20201213_area_em_funcao_de_x
f 20201213_area_fatias_pizza



%  __  __       _        
% |  \/  | __ _| | _____ 
% | |\/| |/ _` | |/ / _ \
% | |  | | (_| |   <  __/
% |_|  |_|\__,_|_|\_\___|
%                        
% <make>

 (eepitch-shell)
 (eepitch-kill)
 (eepitch-shell)
# (find-LATEXfile "2019planar-has-1.mk")
make -f 2019.mk STEM=2023-2-C3-trajetorias veryclean
make -f 2019.mk STEM=2023-2-C3-trajetorias pdf

% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3tr"
% ee-tla: "c3m232tr"
% End:
