% (find-LATEX "2024-1-C2-P2.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2024-1-C2-P2.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2024-1-C2-P2.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2024-1-C2-P2.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2024-1-C2-P2.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2024-1-C2-P2.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C2-P2.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2024-1-C2-P2"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2024-1-C2-P2.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
%          (code-eec-LATEX "2024-1-C2-P2")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2024-1-C2-P2.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-1-C2-P2.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-1-C2-P2.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2024-1-C2-P2.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2024-1-C2-P2.pdf
%               file:///tmp/2024-1-C2-P2.pdf
%           file:///tmp/pen/2024-1-C2-P2.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2024-1-C2-P2.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2 Maxima2 Tracinhos1")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2024-1-C2-P2" "2" "c2m241p2" "c2p2")

% «.defs»		(to "defs")
% «.defs-T-and-B»	(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»	(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»	(to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima»	(to "defs-maxima")
% «.defs-V»		(to "defs-V")
% «.defs-edovs»		(to "defs-edovs")
% «.title»		(to "title")
% «.links»		(to "links")
% «.questao-1»		(to "questao-1")
% «.questao-2»		(to "questao-2")
% «.questao-3»		(to "questao-3")
% «.questao-4»		(to "questao-4")
% «.questao-5»		(to "questao-5")
% «.questao-1-gab»	(to "questao-1-gab")



\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2024-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2024.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L dofile "Tracinhos1.lua"           -- (find-angg "LUA/Tracinhos1.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua"           -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

% «defs-maxima»  (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu

% «defs-V»  (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu

% «defs-edovs»  (to ".defs-edovs")
\input 2023-2-C2-edovs-defs.tex % (find-LATEX "2023-2-C2-edovs-defs.tex")

% «defs-edoexs»  (to ".defs-edoexs")
\input 2023-2-C2-edos-exatas-defs.tex % (find-LATEX "2023-2-C2-edos-exatas-defs.tex")

% (c2m232edolsp 3 "defs-bodies")
% (c2m232edolsa   "defs-bodies")

\sa  {(**)}{\ensuremath{({*}{*})}}
\sa {(***)}{\ensuremath{({*}{*}{*})}}
\sa{(****)}{\ensuremath{({*}{*}{*}{*})}}
\def\mac{\mathsf{mac}}

\sa  {*1}{\ensuremath{(*_1)}}
\sa  {*2}{\ensuremath{(*_2)}}
\sa  {*3}{\ensuremath{(*_3)}}
\sa  {*4}{\ensuremath{(*_4)}}
\sa  {*5}{\ensuremath{(*_5)}}
\sa  {*6}{\ensuremath{(*_6)}}

\def\P#1{\left( #1 \right)}
\sa{[EL3]}{\CFname{EL}{_3}}
\sa{(EL3)}{
  \P{\begin{array}{rcl}
     f'+fg & = & h \\
        G' & = & g \\
         f & = & e^{-G}(\intx{e^Gh} + C) \\
     \end{array}
    }}

\pu


%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c2m241p2p 1 "title")
% (c2m241p2a   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 2 - 2024.1}

\bsk

P2 (segunda prova)

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2024.1-C2.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c2m241p2p 2 "links")
% (c2m241p2a   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

% (find-es "maxima" "2024-1-C2-P2")
{\footnotesize
\par \url{http://anggtwu.net/e/maxima.e.html\#2024-1-C2-P2}
\par \texttt{(find-es "maxima" "2024-1-C2-P2")}
\par
}

% (c2evp)
% (c2elp)
% (c2elsp)
% (c2eep)
% (c2vop)

}\anothercol{
}}

\newpage


% «questao-1»  (to ".questao-1")
% 2iT122???: (c2m241p2p 3 "questao-1")
%            (c2m241p2a   "questao-1")

{\bf Questão 1}

\scalebox{0.49}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

\vspace*{-0.4cm}

\T(Total: 4.0 pts)

Lembre que no curso eu mostrei que o meu modo preferido de escrever o
``método'' para resolver EDOs com variáveis separáveis --- ``EDOVSs''
--- é o ``método'' \ga{[M]} abaixo... eu pus o termo ``método'' entre
aspas porque alguns dos passos da \ga{[M]} são gambiarras nas quais a
gente não pode confiar totalmente, e aí a gente precisa sempre testar
as nossas soluções. O \ga{[EF3]} abaixo --- a ``fórmula'' --- é uma
versão resumida do \ga{[M]}.
%
$$\begin{array}{rcl}
  \ga{[M]} &=& \ga{(M)} \\\\[-5pt]
  \ga{[F3]} &=& \ga{(F3)} \\
  \end{array}
$$

\vspace*{-5cm}

}\anothercol{


Seja $\ga{*1}$ esta EDOVSs:
%
$$\begin{array}{rcll}
  \D \frac{dy}{dx} &=& \D - \frac{2(x-1)}{2(y-1)} & \qquad\ga{*1} \\
 %\D \frac{dy}{dx} &=& \D \frac{1}{-2(y-1)} & \ga{*2} \\
  \end{array}
$$

a) \B (1.0 pts) Desenhe os tracinhos do campo de direções da EDO (*)
nos pontos com $x,y∈\{-2,-1,0,1,2\}$. Aqui você vai ter que desenhar
25 tracinhos e vai ter que caprichar -- um tracinho com coeficiente
angular $\frac12$ tem que ser visualmente bem diferente de um com
coeficiente angular 1 e de um com coeficiente angular $2$.

\ssk

b) \B (1.5 pts) Encontre as duas soluções gerais da EDO $(*)$ -- a
solução ``positiva'' e a ``negativa'' e dê nomes para elas.

\ssk

c) \B (0.5 pts) Teste a sua solução ``negativa''.

\ssk

d) \B (0.5 pts) Encontre a solução particular que passa pelo ponto
$(-3,4)$.

\ssk

e) \B (0.5 pts) Encontre a solução particular que passa pelo ponto
$(-3,-2)$.



\bsk

\standout{Muito importante:} em todas as questões desta prova eu vou
corrigir as respostas de vocês como se eu fosse o ``colega menos seu
amigo e sem paciência pra adivinhar nada'' da Dica 7 e do slide sobre
contextos... por exemplo, se você escrever só ``$a=42$'' eu vou
interpretar isso como ``aqui essa pessoa tá dizendo que é óbvio que
`$a=42$' é sempre verdade -- e isso é falso!!!'', e aí babau. Ou seja,
a parte em português das questões de vocês vai ser MUUUUITO
importante!

% (find-es "maxima" "2022-2-C2-P2")

}}


\newpage

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

% «questao-2»  (to ".questao-2")
% (c2m241p2p 4 "questao-2")
% (c2m241p2a   "questao-2")
% (c2m232p2p 3 "questao-2")
% (c2m232p2a   "questao-2")

{\bf Questão 2}

\T(Total: 2.5 pts)

\msk

Sejam \ga{*2} e \ga{*3} as EDOs abaixo:
%
$$\begin{array}{rcll}
  y'' - 3y' - 10y &=& 0 & \qquad \ga{*2} \\
  y'' + 4y' + 29y &=& 0 & \qquad \ga{*3} \\
  \end{array}
$$

a) \B (0.5 pts) Encontre as soluções básicas e a solução geral da EDO
\ga{*2}. Dê um nome para cada uma delas.

\msk

b) \B (1.0 pts) Encontre uma solução $g(x)$ da EDO \ga{*2} que
obedeça isto aqui: $g(0)=3$, $g'(0)=-1$.

\msk

c) \B (1.0 pts) Encontre as solução básicas complexas e as soluções
básicas reais da EDO \ga{*3}.

% \msk
% d) \B (0.5 pts) Teste a solução que você encontrou no item anterior.


\bsk
\bsk

% «questao-3»  (to ".questao-3")
% (c2m241p2p 4 "questao-3")
% (c2m241p2a   "questao-3")
% (c2m232p2p 3 "questao-3")
% (c2m232p2a   "questao-3")

{\bf Questão 3}

\T(Total: 1.5 pts)

\msk

Seja \ga{*4} esta EDO:
%
$$y' - \frac{2y}{x} = 3x$$

a) \B (0.5 pts) Encontre a solução geral dela.

b) \B (1.0 pts) Teste a sua solução.

Lembre que você pode usar este método:
%
$$\ga{[EL3]} \;=\; \ga{(EL3)}$$



\msk



}\anothercol{

% «questao-4»  (to ".questao-4")
% (c2m241p2p 4 "questao-4")
% (c2m241p2a   "questao-4")
% (c2m241edosexatasp 5 "uma-questao-de-prova")
% (c2m241edosexatasa   "uma-questao-de-prova")


{\bf Questão 4}

\T(Total: 1.0 pts)

\msk

4) Sejam $\ga{*5}$ e $\ga{*6}$ estas EDOs:
%
$$\begin{array}{rl}
    2xy^3\,dx + 3x^2y^2\,dy = 0 & \ga{*5} \\
  2x^2y^3\,dx + 3x^3y^2\,dy = 0 & \ga{*6} \\
  \end{array}
$$

a) \B(0.1 pts) Mostre que a $\ga{*5}$ é exata.

b) \B(0.1 pts) Mostre que $\ga{*6}$ não é exata.

c) \B(0.4 pts) Encontre a solução geral de $\ga{*5}$.

d) \B(0.4 pts) Teste a sua solução geral da $\ga{*5}$.

\ssk

Lembre que você pode usar este método:
%
$$\begin{array}[t]{rcl}
  \ga{[E5]} &=& \ga{(E5)} \\
  \end{array}
$$


\bsk

% «questao-5»  (to ".questao-5")
% (c2m241p2p 4 "questao-5")
% (c2m241p2a   "questao-5")

{\bf Questão 5}

\T(Total: 1.0 pts)

\msk

Seja
%
$$\begin{array}{rcl}
  f(x) &=& 4-2x. \\
  \end{array}
$$

Rode o gráfico de $f$ entre $y=0$ e $y=2$ em torno do eixo $y$, e
chame a figura que você obteve de $C$. Chame de $S$ o sólido de
revolução que é o fecho convexo de $C$ -- vou explicar isso no quadro.

\msk

a) \B (0.5 pts) Represente graficamente $C$ e $S$.

\ssk

b) \B (0.5 pts) Calcule o volume de $S$.

}}



\newpage

% (c2m232edovsp 5 "tracinhos-gab")
% (c2m232edovsa   "tracinhos-gab")
%
%L PictBounds.setbounds(v(-2,-2), v(2,2))
%L f = function (shortname)
%L     local longname = "tracinhos "..shortname
%L     Tracinhos.from(0.2, shortname):show0():sa(longname):output()
%L   end
%L f("2*(x-1),-2*(y-1)")
\pu

\def\fpos{f_\mathsf{pos}}
\def\fneg{f_\mathsf{neg}}

{\bf Mini-gabarito}

%M (%i1) solpos;
%M (%o1) y=\sqrt{-x^2+2\,x-2\,\mathrm{\%c}+1}+1
%M (%i2) solneg;
%M (%o2) y=1-\sqrt{-x^2+2\,x-2\,\mathrm{\%c}+1}
%M (%i3) e1c : subst(solneg, star1);
%M (%o3) {\frac{d}{d\,x}}\,\left(1-\sqrt{-x^2+2\,x-2\,\mathrm{\%c}+1}\right)={\frac{x-1}{\sqrt{-x^2+2\,x-2\,\mathrm{\%c}+1}}}
%M (%i4) ev(e1c, 'derivative);
%M (%o4) -\left({\frac{2-2\,x}{2\,\sqrt{-x^2+2\,x-2\,\mathrm{\%c}+1}}}\right)={\frac{x-1}{\sqrt{-x^2+2\,x-2\,\mathrm{\%c}+1}}}
%M (%i5) e1d;
%M (%o5) y=\sqrt{-x^2+2\,x+24}+1
%M (%i6) e1e;
%M (%o6) y=1-\sqrt{-x^2+2\,x+24}
%L maximahead:sa("gab 1", "")
\pu

%M (%i1) g  : rhs(ode2(star2,y,x));
%M (%o1) \mathrm{\%k1}\,e^{5\,x}+\mathrm{\%k2}\,e^ {- 2\,x }
%M (%i2) f1 : subst([%k1=1,%k2=0], g);
%M (%o2) e^{5\,x}
%M (%i3) f2 : subst([%k1=0,%k2=1], g);
%M (%o3) e^ {- 2\,x }
%M (%i4) h;
%M (%o4) {\frac{5\,e^{5\,x}}{7}}+{\frac{16\,e^ {- 2\,x }}{7}}
%M (%i5) ode2(star3,y,x);
%M (%o5) y=e^ {- 2\,x }\,\left(\mathrm{\%k1}\,\sin \left(5\,x\right)+\mathrm{\%k2}\,\cos \left(5\,x\right)\right)
%L maximahead:sa("gab 2", "")
\pu

%M (%i1) star4 : 'diff(y,x) - 2*y/x = 3*x;
%M (%o1) {\frac{d}{d\,x}}\,y-{\frac{2\,y}{x}}=3\,x
%M (%i2) sol   : ode2(star4,y,x);
%M (%o2) y=x^2\,\left(3\,\log x+\mathrm{\%c}\right)
%M (%i3) e1    : subst(sol, star4);
%M (%o3) {\frac{d}{d\,x}}\,\left(x^2\,\left(3\,\log x+\mathrm{\%c}\right)\right)-2\,x\,\left(3\,\log x+\mathrm{\%c}\right)=3\,x
%M (%i4) e2    : ev(e1, 'derivative);
%M (%o4) 3\,x=3\,x
%L maximahead:sa("gab 3", "")
\pu

%M (%i1) exact5;
%M (%o1) 6\,x\,y^2=6\,x\,y^2
%M (%i2) notexact6;
%M (%o2) 6\,x^2\,y^2=9\,x^2\,y^2
%M (%i3) sol5;
%M (%o3) y={\frac{\mathrm{\%c}}{x^{{\frac{2}{3}}}}}
%M (%i4) test5;
%M (%o4) 3\,\mathrm{\%c}^2\,\left({\frac{d}{d\,x}}\,\left({\frac{\mathrm{\%c}}{x^{{\frac{2}{3}}}}}\right)\right)\,x^{{\frac{2}{3}}}+{\frac{2\,\mathrm{\%c}^3}{x}}=0
%M (%i5) ev(test5, 'derivative);
%M (%o5) 0=0
%L maximahead:sa("gab 4", "")
\pu

%M (%i1) e1 : y = 4-2*x;
%M (%o1) y=4-2\,x
%M (%i2) e2 : solve(e1,x)[1];
%M (%o2) x=-\left({\frac{y-4}{2}}\right)
%M (%i3) define(raio(y), rhs(e2));
%M (%o3) \mathrm{raio}\left(y\right):=-\left({\frac{y-4}{2}}\right)
%M (%i4) define(area(y), %pi * raio(y)^2);
%M (%o4) \mathrm{area}\left(y\right):={\frac{\pi\,\left(y-4\right)^2}{4}}
%M (%i5) integrate(area(y),y,0,2);
%M (%o5) {\frac{14\,\pi}{3}}
%L maximahead:sa("gab 5", "")
\pu

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{6cm}\firstcol{

% «questao-1-gab»  (to ".questao-1-gab")
% (c2m241p2p 5 "questao-1-gab")
% (c2m241p2a   "questao-1-gab")
% (c2m232p2p 4 "questao-1-gab")
% (c2m232p2a   "questao-1-gab")
% (find-es "maxima" "2024-1-C2-P2")

\vspace*{0cm}

  \unitlength=15pt
  1a) \scalebox{0.7}{\ga{tracinhos 2*(x-1),-2*(y-1)}}

  \bsk

  \vspace*{0cm}
  \def\hboxthreewidth {13cm}
  \scalebox{0.5}{\ga{gab 1}}

}\def\colwidth{5cm}\anothercol{

  \vspace*{0cm}
  \def\hboxthreewidth {10cm}
  \scalebox{0.5}{\ga{gab 2}}

  \bsk
  \bsk

  \vspace*{0cm}
  \def\hboxthreewidth {12cm}
  \scalebox{0.5}{\ga{gab 3}}

}\anothercol{

  \vspace*{0cm}
  \def\hboxthreewidth {9cm}
  \scalebox{0.5}{\ga{gab 4}}

  \bsk
  \bsk

  \vspace*{0cm}
  \def\hboxthreewidth {9cm}
  \scalebox{0.5}{\ga{gab 5}}

}}


\newpage




% (c2m232edovsp 6 "defs-e-exemplos")
% (c2m232edovsa   "defs-e-exemplos")


%\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
%
%$$\ga{reset}
%  \begin{array}{rcl}
%  \ga{[M]}   &=& \ga{(M)}   \\ \\[-5pt]
%  \ga{[F3]}  &=& \ga{(F3)}  \\ \\[-5pt]
%  \ga{[EL3]} &=& \ga{(EL3)} \\ \\[-5pt]
%  \end{array}
%$$
%
%}\anothercol{
%}}


\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2024-1-C2-P2")



% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2p2"
% ee-tla: "c2m241p2"
% End: