% (find-LATEX "2024-1-C2-edovs.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2024-1-C2-edovs.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2024-1-C2-edovs.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2024-1-C2-edovs.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2024-1-C2-edovs.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2024-1-C2-edovs.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C2-edovs.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2024-1-C2-edovs"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2024-1-C2-edovs.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
%          (code-eec-LATEX "2024-1-C2-edovs")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2024-1-C2-edovs.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-1-C2-edovs.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-1-C2-edovs.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2024-1-C2-edovs.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2024-1-C2-edovs.pdf
%               file:///tmp/2024-1-C2-edovs.pdf
%           file:///tmp/pen/2024-1-C2-edovs.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2024-1-C2-edovs.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2 Maxima2 Tracinhos1")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2024-1-C2-edovs" "2" "c2m241edovs" "c2ev")

% «.defs»		(to "defs")
% «.defs-T-and-B»	(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»	(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»	(to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima»	(to "defs-maxima")
% «.defs-V»		(to "defs-V")
% «.title»		(to "title")
% «.links»		(to "links")
% «.chutar-e-testar»		(to "chutar-e-testar")
% «.campos-de-direcoes»		(to "campos-de-direcoes")
% «.tracinhos-gab»		(to "tracinhos-gab")
% «.defs-e-exemplos»		(to "defs-e-exemplos")
% «.inversas-chutar-testar»	(to "inversas-chutar-testar")
% «.inversas-chutar-testar-2»	(to "inversas-chutar-testar-2")
% «.exercicio-4»		(to "exercicio-4")
% «.inversas-introducao»	(to "inversas-introducao")
% «.exemplo-complicado»		(to "exemplo-complicado")
% «.4-inversas-fig»		(to "4-inversas-fig")
% «.4-inversas-maxima»		(to "4-inversas-maxima")
% «.assume»			(to "assume")



\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2024-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2024.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua"           -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
%L dofile "Tracinhos1.lua"           -- (find-LATEX "Tracinhos1.lua")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
%L deletecomments = deletecomments_2023 -- (find-angg "LUA/DeleteComments2.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

% «defs-maxima»  (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu

% «defs-V»  (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu

% «defs-edovs»  (to ".defs-edovs")
\input 2023-2-C2-edovs-defs.tex % (find-LATEX "2023-2-C2-edovs-defs.tex")


%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c2m241edovsp 1 "title")
% (c2m241edovsa   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 2 - 2024.1}

\bsk

Aula 28: EDOs com variáveis separáveis

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2024.1-C2.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c2m241edovsp 2 "links")
% (c2m241edovsa   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.45}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{

Quadros:
\par \Ca{2hQ53} Aula 26 de 2023.2: (24/out/2023): Campos de direções
\par \Ca{2hQ56} Aula 27 de 2023.2: (25/out/2023): EDOs com variáveis separáveis
\par \Ca{2gQ41} Aula 21 de 2023.1: (13/jun/2023)
\par \Ca{2gQ43} Aula 22 de 2023.1: (16/jun/2023)

\ssk

\par \Ca{2dT293} Material sobre EDOVSs de 2021.2
\par \Ca{2dT306} Slides sobre inversas de 2021.2
\par \Ca{2gT120} Slides sobre inversas de 2023.2
\par \Ca{Leit7} Funções inversas, logarítmicas e exponenciais
% 2dT306: (c2m231edovsp 3 "inversas-intro")
%         (c2m231edovsa   "inversas-intro")
% 2gT120: (c2m212edovsp 15 "funcoes-inversas")
%         (c2m212edovsa    "funcoes-inversas")

\ssk


\par Questões sobre EDOVSs nas provas de 2022.2:
\par \Ca{2fT123}, \Ca{2fT126} P2, gabarito
\par \Ca{2fT135}, \Ca{2fT137} VS, anexo

% (c2m231p2p 2 "questao-1")
% (c2m231p2a   "questao-1")
% (c2m222p2p 2 "questao-1")
% (c2m222p2a   "questao-1")

\ssk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "531" "9.2 Campos de Direções e Método de Euler")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "538" "9.3 Equações Separáveis")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "796" "Curvas de Nível")
\par \Ca{StewPtCap9p11} (p.531) 9.2 Campos de Direções e Método de Euler
\par \Ca{StewPtCap9p18} (p.538) 9.3 Equações Separáveis
\par \Ca{StewPtCap14p10} (p.796) Curvas de nível

\ssk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "zill-cullen-pt"  "6" "Soluções explícitas e implícitas")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "zill-cullen-pt"  "9" "parâmetros, solução particular")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "zill-cullen-pt" "44" "2.2. Variáveis separáveis")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "zill-cullen-pt" "50" "Exercícios")
\par \Ca{ZillCullenInicioP13} (p.6) Soluções implícitas e explícitas
\par \Ca{ZillCullenInicioP16} (p.9) parâmetros, solução particular
\par \Ca{ZillCullenInicioP51} (p.44) 2.2 Variáveis separáveis
\par \Ca{ZillCullenInicioP57} (p.50) Exercícios

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "zill-cullen" "6" "EXPLICIT AND IMPLICIT SOLUTIONS")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "zill-cullen" "7" "particular solution")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "zill-cullen" "44" "2.2 Separable Variables")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "zill-cullen" "50" "Exercises 2.2")
\par \Ca{ZillCullenEngCap2p17} (p.44) 2.2 Separable Variables
\par \Ca{ZillCullenEngCap2p23} (p.50) Exercises 2.2

\ssk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "lebl" "27" "1.2 Slope fields")
\par \Ca{DiffyQsP27} 1.2 Slope fields
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thomas" "642" "9.1 Slope Fields and Separable")
\par \Ca{Thomas11cap9} 9.1 Slope Fields and Separable Differential Equations

\bsk

% (c2m221p2p 9 "direcoes-gab")
% (c2m221p2a   "direcoes-gab")
\par \Ca{2eT214} Algumas figuras de campos de direções

\ssk

\par Questões sobre EDOVSs nas provas de 2022.2:
\par \Ca{2fT123}, \Ca{2fT126} P2, gabarito
\par \Ca{2fT135}, \Ca{2fT137} VS, anexo

\bsk


% (c2m211edovsp 6 "exercicio-2")
% (c2m211edovs    "exercicio-2")

}\anothercol{
}}

\newpage

%   ____ _           _                      _            _             
%  / ___| |__  _   _| |_ __ _ _ __    ___  | |_ ___  ___| |_ __ _ _ __ 
% | |   | '_ \| | | | __/ _` | '__|  / _ \ | __/ _ \/ __| __/ _` | '__|
% | |___| | | | |_| | || (_| | |    |  __/ | ||  __/\__ \ || (_| | |   
%  \____|_| |_|\__,_|\__\__,_|_|     \___|  \__\___||___/\__\__,_|_|   
%                                                                      
% «chutar-e-testar»  (to ".chutar-e-testar")
% (c2m232edovsp 3 "chutar-e-testar")
% (c2m232edovsa   "chutar-e-testar")
% 2dT13: (c2m212introp 12 "EDOs-chutar-testar")
%        (c2m212introa    "EDOs-chutar-testar")
% 2gT37: (c2m231macacop 5 "EDOs-RC-TFC2")
%        (c2m231macacoa   "EDOs-RC-TFC2")

{\bf EDOs por chutar-e-testar}

\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9.5cm}\firstcol{

Lembre que lá no início do curso eu mostrei -- aqui: \Ca{2dT13} --
que a gente podia resolver equações como esta
%
$$x+2 = 5 % \qquad (*)
$$
por chutar-e-testar, e a gente podia escrever os chutes-e-testes
usando o $[:=]$... cada ``chute'' virava uma substituição e cada
``teste'' virava verificar se o resultado da substituição era uma
igualdade verdadeira. Por exemplo:
%
$$\begin{array}{lcrl}
  (x+2=5) [x:=42] &=& (42+2=5) &\;\; \frown \\
  (x+2=5) [x:=3]  &=& (3+2=5)  &\;\; \smile \\
  \end{array}
$$

Eu costumo usar o `$\smile$' pra indicar ``deu certo / chegamos numa
igualdade verdadeira'' e o `$\frown$' pra indicar ``deu errado /
chegamos numa igualdade falsa''. {\sl Os smileys `$\smile$' e
  `$\frown$' não tem cara de notações ``sérias'', e isso é de
  propósito: é pra lembrar vocês de procurarem nos livros como eles
  fazem isso -- usando português e supondo que o leitor vai ser capaz
  de fazer muitas contas de cabeça.}


}\anothercol{

Uma outra notação pra isso -- e que também não costuma ser usada em
livros básicos, e que eu usei no gabarito da P1, -- é esta aqui:
%
$$(x+2=5) [x:=42] \;=\; (\und{\und{42+2}{44}=5}{\False})
$$

Agora seja $(*)$ esta EDO (``equação diferencial ordinária''):
%
$$f'(x) = -\frac{x}{f(x)} \qquad (*)
$$

Podemos verificar que $f(x)=x^4$ não é uma solução pra $(*)$, e que
$f(x)=\sqrt{1-x^2}$ é uma solução pra $(*)$, calculando os resultado
das duas substituições abaixo e vendo que uma dá uma igualdade
verdadeira e a outra dá uma igualdade falsa:
%
$$\begin{array}{lcl}
  \D \P{f'(x) = -\frac{x}{f(x)}}
     \bmat{f(x):=x^4 \\ f'(x):=4x^3}
  & \;=\; & \Rq \\
  \D \P{f'(x) = -\frac{x}{f(x)}}
     \bmat{f(x):=\sqrt{1-x^2} \\ f'(x):=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}
  & \;=\; & \Rq \\
  \end{array}
$$


}}

\newpage

% «campos-de-direcoes»  (to ".campos-de-direcoes")
% (c2m232edovsp 4 "campos-de-direcoes")
% (c2m232edovsa   "campos-de-direcoes")
% 2dT296: (c2m211edovsp 5 "exercicio-1")
%         (c2m211edovsa   "exercicio-1")

{\bf Campos de direções}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "531" "9.2 Campos de Direções e Método de Euler")
\par \Ca{StewPtCap9p11} (p.531) 9.2 Campos de Direções e Método de Euler

Os gráficos que usam tracinhos em certos pontos pra indicar
coeficientes angulares naqueles pontos são gráficos de {\sl campos de
  direções}.

\msk


% «exercicio-1»  (to ".exercicio-1")
% (c2m211edovsp 5 "exercicio-1")
% (c2m211edovsa   "exercicio-1")

{\bf Exercício 1.}

Represente graficamente os campos de direções abaixo desenhando
tracinhos com os coeficientes angulares adequados nos pontos com
$x,y∈\{-2,-1,0,1,2\}$; ou seja, em cada item você vai ter que desenhar
25 tracinhos. Quando $\frac{dy}{dx} = ∞$ desenhe o tracinho na
vertical, e quando $\frac{dy}{dx} = \frac00$ desenhe só um pontinho ao
invés de um tracinho.

\msk

\begin{tabular}[t]{rl}
a) & $\dydx = -1$ \\
b) & $\dydx = x$ \\
c) & $\dydx = 2x$ \\
d) & $\dydx = -x/y$ \\
\end{tabular}
\qquad
\begin{tabular}[t]{rl}
e) & $\dydx = 1/y$ \\
f) & $\dydx = 2/y$ \\
g) & $\dydx = -y/x$ \\
% d) & $ $ \\
\end{tabular}

}\anothercol{

% «exercicio-2»  (to ".exercicio-2")
% (c2m211edovsp 6 "exercicio-2")
% (c2m211edovsa   "exercicio-2")

{\bf Exercício 2.}

Tente imaginar o resto de cada um dos 7 campos de direções que você
desenhou no exercício 1. Para cada um dos campos tente imaginar as
curvas que você obteria se ligasse todos os tracinhos, e tente
interpretar essas curvas como o conjunto de soluções da EDO que
representamos graficamente como o campo de direções. Neste exercício
você vai tentar encontrar soluções para EDOs no olhômetro a partir dos
campos de direções delas.

Para cada uma das funções abaixo diga quais das 7 EDOs do exercício 1
podem ter aquela função como solução.

\msk

a) $y=x^2$

b) $y=\sqrt{x}$

c) $y=1/x$

d) $y=\sqrt{1-x^2}$

}}



\newpage


% «tracinhos-gab»  (to ".tracinhos-gab")
% (c2m232edovsp 5 "tracinhos-gab")
% (c2m232edovsa   "tracinhos-gab")

%L PictBounds.setbounds(v(-2,-2), v(2,2))
%L f = function (shortname)
%L     local longname = "tracinhos "..shortname
%L     Tracinhos.from(0.2, shortname):show0():sa(longname):output()
%L   end
%L f("1")
%L f("-1")
%L f("x")
%L f("2*x")
%L f("-x,y")
%L f("1,x")
%L f("1,y")
%L f("1,2*y")
%L f("2,y")
%L f("-y,x")
\pu

\unitlength=15pt

\scalebox{0.8}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

\vspace*{-0.5cm}

\def\tra#1{\ga{tracinhos #1}\phantom{aa}}
$$\begin{array}[t]{lll}
  \tra{1}   & \tra{x}    & \tra{2*x}  \\ \\
  \tra{-1}  & \tra{1,y}  & \tra{1,2*y}  \\ \\
  \tra{1,x} & \tra{-x,y} & \tra{-y,x} \\
  \end{array}
$$

}\anothercol{
}}





\newpage

% «defs-e-exemplos»  (to ".defs-e-exemplos")
% (c2m232edovsp 6 "defs-e-exemplos")
% (c2m232edovsa   "defs-e-exemplos")

\vspace*{-0.25cm}

\scalebox{0.55}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

$$\ga{reset}
  \begin{array}{rcl}
  \ga{[M]}  &=& \ga{(M)}  \\ \\[-5pt]
  \ga{[F3]} &=& \ga{(F3)} \\ \\[-5pt]
  \ga{[F2]} &=& \ga{(F2)} \\ \\[-5pt]
  \ga{[S1]} &=& \ga{reset-S1}
                \ga{(S)}  \\
  \end{array}
$$

}\anothercol{

$$\ga{reset-S1}
  \begin{array}{rcl}
     \ga{[M]}\ga{[S1]} &=& \ga{(M)}  \\ \\[-5pt]
    \ga{[F3]}\ga{[S1]} &=& \ga{(F3)} \\ \\[-5pt]
    \ga{[F2]}\ga{[S1]} &=& \ga{(F2)} \\
  \end{array}
$$
}}


\newpage

% «inversas-chutar-testar»  (to ".inversas-chutar-testar")
% (c2m232edovsp 7 "inversas-chutar-testar")
% (c2m232edovsa   "inversas-chutar-testar")
% 2gT120: (c2m212edovsp 15 "funcoes-inversas")
%         (c2m212edovsa    "funcoes-inversas")

{\bf Funções inversas por chutar e testar}

Digamos que 
%
$$\begin{array}{rcl}
  y &=& 3 + \sqrt{x+4}, \quad \text{isto é}, \\
  f(x) &=& 3 + \sqrt{x+4},
  \end{array}
$$

e sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
  g(y) &=& (y-3)^2 + 4, \\
  h(y) &=& (y-4)^2 + 3. \\
  \end{array}
$$

Eu acho difícil ver só fazendo contas de cabeça se $f^{-1}(y) = g(y)$
ou se $f^{-1}(y) = h(y)$... então é bom a gente saber testar se as
inversas que a gente obteve de cabeça estão certas. O teste é:
%
$$\begin{array}{rcl}
  (f^{-1}(f(x)) = x) \bsm{ f(x) := 3 + \sqrt{x+4} \\ f^{-1}(y) := (y-3)^2 + 4 } &=& \ColorRed{?} \\
  (f^{-1}(f(x)) = x) \bsm{ f(x) := 3 + \sqrt{x+4} \\ f^{-1}(y) := (y-4)^2 + 3 } &=& \ColorRed{?} \\
  \end{array}
$$


\newpage

% «inversas-chutar-testar-2»  (to ".inversas-chutar-testar-2")
% (c2m232edovsp 8 "inversas-chutar-testar-2")
% (c2m232edovsa   "inversas-chutar-testar-2")

{\bf Funções inversas por chutar e testar (2)}

O modo tradicional de obter inversas é por

uma série de passos, como:
%
$$\begin{array}{rcl}
  f(x) &=& 3 + \sqrt{x+4} \\
  y &=& 3 + \sqrt{x+4} \\
  y - 3 &=& \sqrt{x+4} \\
  (y - 3)^2 &=& x+4 \\
  (y - 3)^2 - 4 &=& x \\
  (y - 3)^2 - 4 &=& f^{-1}(y) \\
  \end{array}
$$

...mas é importante a gente saber testar se

chegou na inversa certa.


\newpage

% «exercicio-4»  (to ".exercicio-4")
% (c2m232edovsp 9 "exercicio-4")
% (c2m232edovsa   "exercicio-4")
% (c2m211edovsp 17 "exercicio-4")
% (c2m211edovs     "exercicio-4")

{\bf Exercício 4.} 

Obtenha inversas para as seguintes funções:

%
$$\begin{array}{rcl}
  f_1(x) &=& 2 + 3 \sqrt   {5x+6} \\
  f_2(x) &=& 2 + 3 \sqrt[4]{5x+6} \\
  f_3(x) &=& 2 + 3 (4x+5)^6 \\
  f_4(x) &=& 2 + 3 \ln(4x + 5) \\
  f_5(x) &=& 2 + 3 e^{4x + 5} \\
  f_6(x) &=& \sqrt{2 + 3 e^{4x + 5}} \\[10pt]
  f_7(x) &=& \ln x \\
  f_8(x) &=& \ln -x\\
  f_9(x) &=& |x|\\
  f_{10}(x) &=& \ln |x|\\
  \end{array}
$$

\msk

Porque é que $f_9^{-1}(x)$ e $f_{10}^{-1}(x)$ não existem?



\newpage

% «inversas-introducao»  (to ".inversas-introducao")
% (c2m232edovsp 10 "inversas-introducao")
% (c2m232edovsa    "inversas-introducao")
% 2dT306: (c2m231edovsp 3 "inversas-intro")
%         (c2m231edovsa   "inversas-intro")

{\bf Inversas: introdução}

\scalebox{0.7}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{

Dê uma olhada nestes links:

\Ca{ZillCullenInicioP13} (p.6) Soluções implícitas e explícitas

\Ca{ZillCullenInicioP16} (p.9) parâmetros, solução particular

\Ca{ZillCullenInicioP51} (p.44) 2.2: Variáveis separáveis

\ssk

O método pra resolver EDOs com variáveis separáveis nos dá primeiro
``soluções implícitas'', como $x^2+y^2=C$ or $x^2+y^2=42$, e aí depois
disso a gente tem que transformar essas soluções implícitas em
``soluções explícitas'', em que $y$ é uma função de $x$... por
exemplo:
%
$$\begin{array}{rcl}
  x =   \sqrt{C-x^2} &⇒& f_1(x)=\sqrt{C-x^2} \\
  x =  -\sqrt{C-x^2} &⇒& f_2(x)=-\sqrt{C-x^2} \\
  x =  \sqrt{42-x^2} &⇒& f_3(x)=\sqrt{42-x^2} \\
  x = -\sqrt{42-x^2} &⇒& f_4(x)=-\sqrt{42-x^2} \\
  \end{array}
$$

Praticamente todo mundo se enrola na hora de passar das ``soluções
implícitas'' pras ``soluções implícitas'', principalmente nos casos em
que a gente tem ``várias inversas''...

\ssk

Eu vou usar uma terminologia que é meio errada, e vou dizer que
$g_1(y)=\sqrt{y}$ e $g_2(y)=-\sqrt{y}$ são duas inversas diferentes
para $f(x)=x^2$. Um bom lugar pra aprender a terminologia correta --
que precisa que a gente especifique os domínios! -- é o capítulo 7 do
Leithold: \Ca{Leit7}.

}\anothercol{
}}


\newpage

% «exemplo-complicado»  (to ".exemplo-complicado")
% (c2m232edovsp 11 "exemplo-complicado")
% (c2m232edovsa    "exemplo-complicado")

{\bf Inversas: um exemplo complicado}

\scalebox{0.48}{\def\colwidth{11.5cm}\firstcol{

Digamos que queremos inverter esta função:
%
$$f(x) = (x+3)^4+5
$$

O método é este aqui, mas repare que ele tem uma bifurcação...

\def\MA{
             y  &=& (x+3)^4+5 \\
           y-5  &=& (x+3)^4 \\
  \sqrt[4]{y-5} &=& \sqrt[4]{(x+3)^4} \\
}
\def\MB{
  \sqrt[4]{y-5} &=& x+3 \\
  -3 + \sqrt[4]{y-5} &=& x \\
}
\def\MC{
      \sqrt[4]{y-5}  &=& -(x+3) \\
      \sqrt[4]{y-5}  &=& -x-3 \\
      \sqrt[4]{y-5}  &=& -x-3 \\
    3+\sqrt[4]{y-5}  &=& -x \\
  -(3+\sqrt[4]{y-5}) &=& x \\
}

\msk

$\begin{array}{c}
    \begin{array}{rcl}\MA\end{array} \\ \\
    \begin{array}[t]{rcl}\MB\end{array}
    \begin{array}[t]{rcl}\MC\end{array} \\
  \end{array}
$

\bsk

Se a gente segue o caminho da esquerda a gente obtém
$$f^{-1}(y) = -3 + \sqrt[4]{y-5},$$
e se a gente segue o caminho da direita a gente obtém
$$f^-1(y)=-(3+\sqrt[4]{y-5}).$$

}\anothercol{

%\vspace*{0.25cm}

Sabemos que $\sqrt[4]{α^4} = |α|$, e portanto:
%
$$\begin{array}{rcl}
  α≥0 &⇒& \sqrt[4]{α^4} = α \\
  α≤0 &⇒& \sqrt[4]{α^4} = -α \\
  x+3≥0 &⇒& \sqrt[4]{(x+3)^4} = x+3 \\
  x+3≤0 &⇒& \sqrt[4]{(x+3)^4} = -(x+3) \\
  \end{array}
$$

Ou seja, nas contas à esquerda se $x+3≥0$ nós temos que seguir o
caminho da esquerda, e se $x+3≤0$ nós temos que seguir o caminho da
direita.

\ssk

O melhor modo da gente entender essas duas inversas é esse aqui.
Considere estes três conjuntos de $\R^2$:
%
$$\begin{array}{rcl}
  A_1 &=& \setofxyst{y=(x+3)^4+5}\\
  A_2 &=& \setofxyst{y=(x+3)^4+5, \; x+3≥0}\\
  A_3 &=& \setofxyst{y=(x+3)^4+5, \; x+3≤0}\\
  \end{array}
$$

Os conjuntos $A_2$ e $A_3$ são gráficos de funções inversíveis e $A_1$
é o gráfico de uma função não-inversível. Os domínios dessas funções
são relativamente fáceis de calcular -- eles são $\R$,
$\setofst{x∈\R}{x+3≥0}$ e $\setofst{x∈\R}{x+3≤0}$ respectivamente --
mas as imagens são um pouco mais complicadas...

\msk

...mas lembre que em C2 a gente costuma fazer as contas em duas
etapas: na primeira etapa a gente finge que as hipóteses vão ser todas
obedecidas e a gente nem escreve quais são essas hipóteses, e só na
segunda etapa a gente escreve explicitamente quais são essas hipóteses
e a gente vê se tudo realmente dá certo quando elas são obedecidas.
{\sl E neste curso a gente raramente vai ter tempo pra segunda etapa.}

}}



\newpage

% «4-inversas-fig»  (to ".4-inversas-fig")
% (c2m232edovsp 12 "4-inversas-fig")
% (c2m232edovsa    "4-inversas-fig")

% (find-latexscan-links "C2" "4_inversas")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2023-2-C2/4_inversas.pdf")
\includegraphics[height=8cm]{2023-2-C2/4_inversas.pdf}

\newpage

% «4-inversas-maxima»  (to ".4-inversas-maxima")
% (c2m232edovsp 13 "4-inversas-maxima")
% (c2m232edovsa    "4-inversas-maxima")
% (find-es "maxima" "qdraw-4-inverses")

%M (%i1) f(x) := (x^2-1)^2;
%M (%o1) f\left(x\right):=\left(x^2-1\right)^2
%M (%i2) sols : solve(y=f(x), x);
%M (%o2) \left[ x=-\sqrt{\sqrt{y}+1} , x=\sqrt{\sqrt{y}+1} , x=-\sqrt{1-\sqrt{y}} , x=\sqrt{1-\sqrt{y}} \right] 
%M (%i3) define(g1(y), rhs(sols[1]));
%M (%o3) \mathrm{g1}\left(y\right):=-\sqrt{\sqrt{y}+1}
%M (%i4) define(g2(y), rhs(sols[3]));
%M (%o4) \mathrm{g2}\left(y\right):=-\sqrt{1-\sqrt{y}}
%M (%i5) define(g3(y), rhs(sols[4]));
%M (%o5) \mathrm{g3}\left(y\right):=\sqrt{1-\sqrt{y}}
%M (%i6) define(g4(y), rhs(sols[2]));
%M (%o6) \mathrm{g4}\left(y\right):=\sqrt{\sqrt{y}+1}
%M (%i7)
%L maximahead:sa("4 inversas 1", "")

%M (%i7) f(g1(y));
%M (%o7) y
%M (%i8) f(g2(y));
%M (%o8) y
%M (%i9) f(g3(y));
%M (%o9) y
%M (%i10) f(g4(y));
%M (%o10) y
%M (%i11)
%L maximahead:sa("4 inversas 2", "")
\pu

\scalebox{0.55}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{
\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{4 inversas 1}
}\anothercol{
\ga{4 inversas 2}
}}

\newpage

% «assume»  (to ".assume")
% (c2m232edovsp 14 "assume")
% (c2m232edovsa    "assume")

%T  (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ?")
%T  (eepitch-maxima)
%T  (eepitch-kill)
%T  (eepitch-maxima)
%T f(x)  := (x^2-1)^2;
%T e1 : y = (x^2-1)^2;
%T e2 : sqrt(e1);
%T      assume(x^2-1 >= 0);
%T e2 : sqrt(e1);
%T e3 : e2 + 1;
%T e4 : sqrt(e3);
%T      assume(x <= 0);
%T e4 : sqrt(e3);
%T e5 : - e4;
%T e6 : rhs(e5) = lhs(e5);
%T define(g1(y), rhs(e6));
%T g1(u);
%T simp : false;
%T g1(f(x));
%T simp : true;
%T g1(f(x));

%M (%i1) f(x)  := (x^2-1)^2;
%M (%o1) f\left(x\right):=\left(x^2-1\right)^2
%M (%i2) e1 : y = (x^2-1)^2;
%M (%o2) y=\left(x^2-1\right)^2
%M (%i3) e2 : sqrt(e1);
%M (%o3) \sqrt{y}=\left| x^2-1\right| 
%M (%i4)      assume(x^2-1 >= 0);
%M (%o4) \left[ x^2\geq 1 \right] 
%M (%i5) e2 : sqrt(e1);
%M (%o5) \sqrt{y}=x^2-1
%M (%i6) e3 : e2 + 1;
%M (%o6) \sqrt{y}+1=x^2
%M (%i7) e4 : sqrt(e3);
%M (%o7) \sqrt{\sqrt{y}+1}=\left| x\right| 
%M (%i8)      assume(x <= 0);
%M (%o8) \left[ x\leq 0 \right] 
%M (%i9) e4 : sqrt(e3);
%M (%o9) \sqrt{\sqrt{y}+1}=-x
%L maximahead:sa("g1 a", "")
\pu

%M (%i10) e5 : - e4;
%M (%o10) -\sqrt{\sqrt{y}+1}=x
%M (%i11) e6 : rhs(e5) = lhs(e5);
%M (%o11) x=-\sqrt{\sqrt{y}+1}
%M (%i12) define(g1(y), rhs(e6));
%M (%o12) \mathrm{g1}\left(y\right):=-\sqrt{\sqrt{y}+1}
%M (%i13) g1(u);
%M (%o13) -\sqrt{\sqrt{u}+1}
%M (%i14) simp : false;
%M (%o14) \mathbf{false}
%M (%i15) g1(f(x));
%M (%o15) -1\,\left(1+\left(\left(x^2-1\right)^2\right)^{{{1}\over{2}}}\right)^{{{1}\over{2}}}
%M (%i16) simp : true;
%M (%o16) \mathbf{true}
%M (%i17) g1(f(x));
%M (%o17) x
%M (%i18)
%L maximahead:sa("g1 b", "")
\pu

\scalebox{0.4}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{g1 a}

}\anothercol{

\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{g1 b}

}}



\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}



% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2ev"
% ee-tla: "c2m241edovs"
% End:
