% (find-LATEX "2024-1-C3-derivadas-parciais.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2024-1-C3-derivadas-parciais.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2024-1-C3-derivadas-parciais.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2024-1-C3-derivadas-parciais.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2024-1-C3-derivadas-parciais.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2024-1-C3-derivadas-parciais.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C3-derivadas-parciais.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2024-1-C3-derivadas-parciais"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2024-1-C3-derivadas-parciais.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
%          (code-eec-LATEX "2024-1-C3-derivadas-parciais")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2024-1-C3-derivadas-parciais.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-1-C3-derivadas-parciais.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-1-C3-derivadas-parciais.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2024-1-C3-derivadas-parciais.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2024-1-C3-derivadas-parciais.pdf
%               file:///tmp/2024-1-C3-derivadas-parciais.pdf
%           file:///tmp/pen/2024-1-C3-derivadas-parciais.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2024-1-C3-derivadas-parciais.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2024-1-C3-derivadas-parciais" "3" "c3m241dp" "c3dp")

% «.defs»		(to "defs")
% «.defs-T-and-B»	(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»	(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»	(to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima»	(to "defs-maxima")
% «.title»		(to "title")
% «.links»		(to "links")
% «.links-stewart»	(to "links-stewart")
% «.links-thompson»	(to "links-thompson")
% «.links-bortolossi»	(to "links-bortolossi")
% «.links-apex»		(to "links-apex")



\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2024-1-C3.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2024.1-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"}  % (find-LATEX "dednat6load.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua"           -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

% «defs-maxima»  (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")

\pu



%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c3m241dpp 1 "title")
% (c3m241dpa   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 3 - 2024.1}

\bsk

Aula 13: derivadas parciais

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2024.1-C3.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c3m241dpp 2 "links")
% (c3m241dpa   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

% 3hT69 (c3m232nfp 14 "derivadas-parciais-th")
%       (c3m232nfa    "derivadas-parciais-th")
% 3hT80 (c3m232nfp 25 "exercicio-11")
%       (c3m232nfa    "exercicio-11")

% 3hT77 Low poly


% (find-stewart72ptpage (+ -489  791) "14 Derivadas Parciais")
% (find-stewart72ptpage (+ -489  792) "14.1 Funções de Várias Variáveis")
% (find-stewart72ptpage (+ -489  796)   "Curvas de Nível")
% (find-stewart72pttext (+ -489  796)   "Curvas de Nível")

% «links-stewart»  (to ".links-stewart")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "791" "14 Derivadas Parciais")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "796"   "Curvas de Nível")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "821"   "10. Um mapa de contorno...")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "811" "14.3 Derivadas Parciais")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "820" "14.3 Exercícios")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "833" "A Regra da Cadeia (versão geral)")
\par \Ca{StewPtCap14p5} (p.791) 14 Derivadas Parciais
\par \Ca{StewPtCap14p10} (p.796) Curvas de nível
\par \Ca{StewPtCap14p25} (p.811) 14.3 Derivadas Parciais
\par \Ca{StewPtCap14p34} (p.820) 14.3 Exercícios
\par \Ca{StewPtCap14p47} (p.833) [4] A regra da cadeia (versão geral)

\ssk

% «links-thompson»  (to ".links-thompson")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson"  "66" "IX. Introducing a Useful Dodge")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson" "172" "XVI. Partial Differentiation")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson" "177" "Exercises XV")
\par \Ca{ThompsonP77} (p.66) IX. Introducing a useful dodge
\par \Ca{ThompsonP183} (p.172) XVI. Partial differentiation
\par \Ca{ThompsonP188} (p.177) Exercises

\ssk

% «links-bortolossi»  (to ".links-bortolossi")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "163" "5. Derivadas parciais")
\par \Ca{Bort5p1} (p.163) 5 Derivadas parciais

\ssk

% «links-apex»  (to ".links-apex")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus" "700" "12.3 Partial Derivatives")
\par \Ca{Apexcap12p23} (p.700) 12.3 Partial Derivatives

\bsk
\bsk

\standout{VERSÃO MUITO PRELIMINAR!!!}


% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thomas" "965" "14 Partial Derivatives")

% 3hT69 (c3m232nfp 14 "derivadas-parciais-th")
%       (c3m232nfa    "derivadas-parciais-th")
% 2hT80 (c3m232nfp 25 "exercicio-11")
%       (c3m232nfa    "exercicio-11")
% (c3m232nfp 20 "piramide")
% (c3m232nfa    "piramide")
% (c3m232nfp 22 "low-poly")
% (c3m232nfa    "low-poly")
% (c3m232mdp 3 "alguns-exemplos-defs")
% (c3m232mda   "alguns-exemplos-defs")

}\anothercol{
}}

\newpage

% «variaveis-novas»  (to ".variaveis-novas")
% «exercicios-5-e-6»  (to ".exercicios-5-e-6")
% (c3m221nfp 12 "variaveis-novas")
% (c3m221nfa    "variaveis-novas")
% (c3m221nfp 12 "exercicios-5-e-6")
% (c3m221nfa    "exercicios-5-e-6")
% (c3m212nfp 19 "variaveis-novas")
% (c3m212nfa    "variaveis-novas")

{\bf O truque das variáveis novas}

\scalebox{0.7}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson")
% (find-sthompsonpage (+ 11  34) "VI. Sums, Differences, Products and Quotients")

No capítulo VI o Thompson calcula $\ddx((x^2 + c) + (ax^4 + b))$

organizando as contas mais ou menos desta forma:

$$\begin{array}{rcl}
  y &=& (x^2 + c) + (ax^4 + b) \\
  \frac{dy}{dx} &=& \frac{d((x^2+c) + (ax^4+b))}{dx} \\
                &=& \frac{d(x^2+c)}{dx} + \frac{d(ax^4+b)}{dx} \\
                &=& 2x + 4ax^3 \\
  \end{array}
$$

% (find-sthompsonpage (+ 11  66) "IX. Introducing a Useful Dodge")
% (find-sthompsontext (+ 11  66)     "INTRODUCING A USEFUL DODGE")

No capítulo IX -- ``Introducing a useful dodge'' --

o Thompson mostra como a gente pode simplificar contas

como essa introduzindo ``variáveis dependentes'' novas.

\bsk

{\bf Exercício 5.}

Entenda os exemplos (1)--(4) das páginas 66--68 do Thompson.

\bsk

% (find-sthompsonpage (+ 11  72)   "Exercises VI")
% (find-sthompsontext (+ 11  72)   "Exercises VI")

{\bf Exercício 6.}

Faça os exercícios (1)--(4) da página 72 do Thompson.

% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ")
%
%T  (eepitch-maxima)
%T  (eepitch-kill)
%T  (eepitch-maxima)
%T  (find-sthompsonpage (+ 11  72) "(1)")
%T y : sqrt(x^2 + 1);
%T diff(y, x);
%T  (find-sthompsonpage (+ 11  72) "(2)")
%T y : sqrt(x^2 + a^2);
%T diff(y, x);
%T  (find-sthompsonpage (+ 11  72) "(3)")
%T y : 1 / sqrt(a + x);
%T diff(y, x);
%T  (find-sthompsonpage (+ 11  72) "(4)")
%T y : a / sqrt(a - x^2);
%T diff(y, x);


\bsk

Links:

{\footnotesize

% https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf#page=45
\url{https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf\#page=45}

% https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf#page=83
\url{https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf\#page=83}

}

}}


\newpage

% «derivadas-parciais-th»  (to ".derivadas-parciais-th")
% (c3m232nfp 14 "derivadas-parciais-th")
% (c3m232nfa    "derivadas-parciais-th")
% (c3m221nfp 13 "derivadas-parciais-th")
% (c3m221nfa    "derivadas-parciais-th")
% (c3m212nfp 21 "derivadas-parciais-th")
% (c3m212nfa    "derivadas-parciais-th")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson")
% (find-sthompsonpage (+ 11 172) "XVI. Partial Differentiation")

{\bf Derivadas parciais no Thompson}

Leia o início do capítulo XVI do Thompson ---

``XVI. Partial Differentiation'' --- da p.172 até p.174.

Entenda os exemplos (1) até (3) dele.

\bsk

{\bf Exercício 7.}

Faça os exercícios (1)--(5) das páginas 177 e 178 do Thompson.

Obs: o (6) precisa de gráficos 3D, vamos fazer ele depois.

\bsk

{\bf Exercício 8.}

\def\ppx{\frac{∂}{∂x}}
\def\ddt{\frac{d}{dt}}

Digamos que $F(x,y) = x^3y^4$, $g(t) = \sen t$, $h(t) = e^{2t}$.

Vamos usar esta notação aqui: $F_x = \frac{∂}{∂x}F$, $g_t=\frac{d}{dt}g$, etc.

\ssk

a) Calcule $\ddt F(g(t),h(t))$ usando ``notação de matemáticos''.

\ssk

b) Digamos que $x=g(t)$, $y=h(t)$, $z=F(x,y)$.

Calcule $\frac{d}{dt}z$ usando ``notação de físicos''.

\newpage

% «derivadas-totais»  (to ".derivadas-totais")
% (c3m221nfp 14 "derivadas-totais")
% (c3m221nfa    "derivadas-totais")
% (c3m212nfp 22 "derivadas-parciais-e-ts")
% (c3m212nfa    "derivadas-parciais-e-ts")

% (find-pdf-page "~/2022.1-C3/C3-quadros.pdf" 11)

{\bf Derivadas parciais e derivadas totais}

Digamos que $z = z(x,y)$ e $y = y(x)$.

\msk

Vamos começar com um caso bem concreto --- um que

eu usei em EDOs com variáveis separáveis em C2... link:
\ssk

{\footnotesize

% (c2m211edovsa "title")
% (c2m211edovsa "title" "Aula 25: EDOs com variáveis separáveis")
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-edovs.pdf}

}

\msk

O nosso caso bem concreto vai ser:

$z = z(x,y) = x^2 + y^2$,

$y = y(x) = \sqrt{1 - x^2}$.

quando nós \ColorRed{só} consideramos o $z = z(x,y) = x^2 + y^2$

as derivadas parciais de $z$ são $z_x = 2x$ e $z_y = 2y$,

mas quando \ColorRed{também} consideramos o $y = y(x) = \sqrt{1 - x^2}$

aí temos $z = z(x,y(x)) = x^2 + \sqrt{1-x^2}^2 = 1$, e $\frac{dz}{dx}=0$.

\msk

Esta derivada $\frac{dz}{dx} = \frac{d}{dx} z(x,y(x))$ é chamada de

\ColorRed{derivada total} de $z$ com relação a $y$.




\newpage

% «exercicio-9»  (to ".exercicio-9")
% (c3m212nfp 23 "exercicio-7")
% (c3m212nfa    "exercicio-7")

{\bf Exercício 9.}

Digamos que $z = z(x,y) = (x+2)(y+3)$

e que $y = y(x) = \sen x$.

a) Calcule $\frac{∂z}{∂x}$, $\frac{∂z}{∂y}$.

b) Calcule $\frac{dz}{dx}$.

c) Calcule $\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}z$.

\msk

\ColorRed{Convenção:} quando uma expressão como $z_x$ puder

ser interpretada tanto como uma derivada parcial quanto

como uma derivada total o default é interpretá-la

como derivada parcial.


\newpage

% «exercicio-10»  (to ".exercicio-10")
% (c3m221nfp 99 "exercicio-10")
% (c3m221nfa    "exercicio-10")

% (c3m212nfp 24 "exercicio-8")
% (c3m212nfa    "exercicio-8")

{\bf Exercício 10.}

Digamos que $z=z(x,y)$ e $y=y(x)$.

(Isto é uma versão mais geral do exercício 9).

\ssk

a) Calcule $\frac{d}{dx}z$.

\ssk

b) Calcule $\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}z$.

\bsk
\bsk

Dica: siga as dicas dos próximos dois slides,

e escreva as suas contas em várias notações

diferentes ``em paralelo''.


% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson-gardner")
% (find-fline "~/books/__analysis/" "thompson_gardner__calculus_made_easy.pdf")
% (find-sthompsongpage (+ 9  15)   "interval")
% (find-sthompsongtext (+ 9  15)   "interval")
% (find-sthompsongpage (+ 9  15)   "did not use the modern")
% (find-sthompsongtext (+ 9  15)   "did not use the modern")
% (find-sthompsongpage (+ 9 129)   "FIG. 30")
% (find-sthompsongtext (+ 9 129)   "FIG. 30")
% 24-26,138


\newpage

% «exercicio-10-dicas»  (to ".exercicio-10-dicas")
% (c3m221nfp 17 "exercicio-10-dicas")
% (c3m221nfa    "exercicio-10-dicas")

{\bf Dicas pro exercício 10}

\def\parenarl#1{\left(\begin{array}{l} #1 \end{array}\right)}
\def\aname#1{[\mathsf{A#1}]}

\scalebox{0.7}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Compare:
%
$$\begin{array}{rcll}
  \aname1 &=&
  \parenarl{
    \ddx f(g(h(x))) \\
    = f'(g(h(x))) \ddx g(h(x)) \\
    = f'(g(h(x))) g'(h(x)) h'(x) \\
  }
  \\[20pt]
  \aname2 &=&
  \parenarl{
    \ddx \sen(\cos(\tan(x))) \\
    = \sen'(\cos(\tan(x))) \ddx \cos(\tan(x)) \\
    = \sen'(\cos(\tan(x))) \cos'(\tan(x)) \tan'(x) \\
  }
  \\[20pt]
  \aname3 &=&
  \parenarl{
    \ddx w(z(y(x))) \\
    = w'(z(y(x))) \ddx z(y(x)) \\
    = w'(z(z(x))) z'(y(x)) y'(x) \\
  }
  \\[20pt]
  \aname4 &=&
  \parenarl{
    \ddx w(z(y(x))) \\
    = w_z(z(y(x))) \ddx z(y(x)) \\
    = w_z(z(z(x))) z_y(y(x)) y_x(x) \\
  }
  %
  \\[20pt]
  \aname5 &=&
  \parenarl{
    \ddx w \\
    = w_z \ddx z \\
    = w_z z_y y_x \\
  }
  &
  \hspace*{-2cm}
  \begin{array}{l}
  y = y(x) \\
  z = z(y) = z(y(x)) \\
  w = w(z) = w(z(y)) = w(z(y(z))) \\
  \end{array}
  \\
  \end{array}
$$

}\anothercol{
}}

\newpage

% «exercicio-10-dicas-2»  (to ".exercicio-10-dicas-2")
% (c3m221nfp 17 "exercicio-10-dicas")
% (c3m221nfa    "exercicio-10-dicas")

{\bf Dicas pro exercício 10 (cont.)}


\scalebox{0.65}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

O $\aname1$ é a versão em ``notação de matemáticos''.

O $\aname1$ é a versão mais geral.

O $\aname2$ é um caso particular do $\aname1$.

O $\aname3$ é uma ``versão renomeada'' do $\aname1$.

O $\aname4$ é uma ``versão abreviada'' do $\aname3$.

\msk

Toda vez que a gente tiver dúvidas sobre como fazer contas

numa notação como a do $\aname5$ a gente vai expandir

ele pra notação do $\aname4$, depois renomear as funções

``que têm nomes de variáveis'', como $y(x) \squigto f(x)$,

depois fazer as contas na ``notação de matemáticos'', e

depois voltar pra ``notação de físicos''...

\msk

Ou seja: se $y=y(x)$, $z=z(y)$ e $w=w(z)$,
%
$$\begin{array}{rl}
           & \ddx w = ? \\
  \squigto & \ddx w(z(y(x))) = ? \\
  \squigto & \ddx h(g(f(x))) = ? \\
  \end{array}
$$

}\anothercol{

e a gente tem que escrever os nomes

novos...por exemplo:
%
$$\hspace*{-2cm}
  \begin{array}{l}
  y=y(x)=h(x), \\
  z=z(y)=g(y), \\
  w=w(z)=f(z) \\
  \end{array}
$$

e aí a gente calcula $\ddx h(g(f(x)))$ e

depois traduz as contas de volta pra

``notação de físicos''.

\msk

Lembre que eu nunca vi esse método

de tradução explicado direito, então

o que está aqui é uma {\sl tentativa}

de explicá-lo...

\msk

Ah, e se a gente se perder nas contas

na notação do $\aname1$ a gente pode tentar

fazer um caso particular, como o $\aname2$,

e depois voltar pro $\aname1$...



}}



\newpage


%  ____  _                     _     _      
% |  _ \(_)_ __ __ _ _ __ ___ (_) __| | ___ 
% | |_) | | '__/ _` | '_ ` _ \| |/ _` |/ _ \
% |  __/| | | | (_| | | | | | | | (_| |  __/
% |_|   |_|_|  \__,_|_| |_| |_|_|\__,_|\___|
%                                           
% «piramide»  (to ".piramide")
% (c3m232nfp 20 "piramide")
% (c3m232nfa    "piramide")
% (c3m221nfp 19 "piramide")
% (c3m221nfa    "piramide")
% (find-pdf-page "~/2022.1-C3/C3-quadros.pdf" 15)

{\bf Uma pirâmide}

(A gente viu isto na aula de 2022may20.)

\ssk

O objetivo desta aula e das próximas é fazer vocês

aprenderem a olhar pra algo como isso aqui...

%L -- (find-angg "LUA/Pict2e1-1.lua" "Numerozinhos-test3")
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(-1,-1), v(9,9))
%L pyr = Numerozinhos.from(0, 0, [[
%L     0 0 0 0 0 0 0 0 0
%L     0 0 0 0 0 0 0 0 0
%L     0 0 1 1 1 1 1 0 0
%L     0 0 1 2 2 2 1 0 0
%L     0 0 1 2 3 2 1 0 0
%L     0 0 1 2 2 2 1 0 0
%L     0 0 1 1 1 1 1 0 0
%L     0 0 0 0 0 0 0 0 0
%L     0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]])
%L pyr_spec  =   "(1,1)--(7,1)--(7,7)--(1,7)--(1,1)--(7,7) (1,7)--(7,1)"
%L pyr_spec2 = [[ (1,7)--(7,7)--(7,1)--(1,1)--(1,7)--(7,1)
%L                (1,1)--(2,2)  (3,3)--(7,7)
%L                (2,2)--(2,3)--(3,3)--(3,2)--(2,2)
%L                (2,3)--(3,2)
%L             ]]
%L pyr:topict(         ):sa("piramide"             ):output()
%L pyr:topict(pyr_spec ):sa("piramide com linhas"  ):output()
%L pyr:topict(pyr_spec2):sa("piramide com linhas 2"):output()
\pu
%$$\ga{piramide}
%  \qquad
%  \ga{piramide com linhas}
%  \qquad
%  \ga{piramide com linhas 2}
%$$
%
$$\ga{piramide}
$$

...e verem uma pirâmide.

\newpage

% «piramide-2»  (to ".piramide-2")
% (c3m221nfp 20 "piramide-2")
% (c3m221nfa    "piramide-2")

{\bf Uma pirâmide (2)}

\ssk

Note que isto é {\sl muito} diferente da noção de função de Cálculo
1... não estamos dizendo o domínio da função $F(x,y)$ do slide
anterior, não estamos dando uma fórmula pra ela, e só estamos dando o
valor dela em alguns pontos...

\ssk

A figura do slide anterior só define uma função se 1) a gente diz que
ela representa a função mais simples possível que assume aqueles
valores, 2) se todo mundo tem a mesma noção de ``função mais simples
possível'', e 3) se não estamos num caso ambíguo.

\ssk

Releia isto aqui, sobre ``adivinhar trajetórias'':

\ssk

{\footnotesize

% (c3m212vtp 7 "sobre-adivinhar-trajetorias")
% (c3m212vta   "sobre-adivinhar-trajetorias")
%    http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3-vetor-tangente.pdf#page=7
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3-vetor-tangente.pdf\#page=7}

}

\msk

No diagrama de numerozinhos do slide anterior o leitor precisa
``adivinhar'' que a superfície $z=F(x,y)$ é feita de pedaços de
planos.

\newpage

%  _                    ____       _       
% | |    _____      __ |  _ \ ___ | |_   _ 
% | |   / _ \ \ /\ / / | |_) / _ \| | | | |
% | |__| (_) \ V  V /  |  __/ (_) | | |_| |
% |_____\___/ \_/\_/   |_|   \___/|_|\__, |
%                                    |___/ 
%
% «low-poly»  (to ".low-poly")
% (c3m232nfp 22 "low-poly")
% (c3m232nfa    "low-poly")
% (c3m221nfp 21 "low-poly")
% (c3m221nfa    "low-poly")

% https://en.wikipedia.org/wiki/Low_poly
% https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fb/Dolphin_triangle_mesh.png

{\bf Low Poly}


\scalebox{0.55}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{

Computadores preferem pensar que superfícies 3D são feitas de
triângulos --- veja o golfinho abaixo e a página da Wikipedia sobre
``Low Poly''--- mas humanos preferem imaginar que triângulos vizinhos
que estão no mesmo plano em $\R^3$ são grudados e viram polígonos mais
complicados... Além disso qualquer diagrama de numerozinhos pode ser
triangulado de vários jeitos, e humanos costumam achar que a
triangulação da pirâmide acima à direita é ``mais natural'' que a
triangulação de baixo...

\ssk

Assista o vídeo sobre ``funções quadráticas'' (a partir do 4:05) pra
entender como nós vamos usar diagramas de numerozinhos pra superfícies
que não precisam ser compostas de polígonos, e o vídeo sobre ``cabos
na diagonal'' pra entender essa história das triangulações ``mais
naturais''.

Links:

\ssk

{\scriptsize


\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Low_poly}

\ssk

% «video-quadraticas»  (to ".video-quadraticas")
% (c3m221nfp 21 "video-quadraticas")
% (c3m221nfa    "video-quadraticas")
% (c3m211qa "video-1")
% (find-ssr-links     "c3m211q" "2021-1-C3-funcoes-quadraticas" "2noSv8hyNIk")
% (code-eevvideo      "c3m211q" "2021-1-C3-funcoes-quadraticas" "2noSv8hyNIk")
% (code-eevlinksvideo "c3m211q" "2021-1-C3-funcoes-quadraticas" "2noSv8hyNIk")
% (find-c3m211qvideo "0:00")
\url{http://www.youtube.com/watch?v=2noSv8hyNIk}

\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-funcoes-quadraticas.mp4}

\ssk

% «video-cabos»  (to ".video-cabos")
% (c3m221nfp 21 "video-cabos")
% (c3m221nfa    "video-cabos")
% (c3m212dna          "video-diagonal")
% (find-ssr-links     "c3cd" "2021-2-c3-cabos-na-diagonal" "nxsIK0tPWAI")
% (code-eevvideo      "c3cd" "2021-2-c3-cabos-na-diagonal" "nxsIK0tPWAI")
% (code-eevlinksvideo "c3cd" "2021-2-c3-cabos-na-diagonal" "nxsIK0tPWAI")
% (find-c3cdvideo "0:00")
\url{http://www.youtube.com/watch?v=nxsIK0tPWAI}

\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-2-c3-cabos-na-diagonal.mp4}


}

\bsk

% (find-latexscan-links "C3" "Dolphin_triangle_mesh")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2022-1-C3/Dolphin_triangle_mesh.pdf")
$$\includegraphics[width=5cm]{2022-1-C3/Dolphin_triangle_mesh.pdf}$$


}\anothercol{

\vspace*{0cm}

$\hspace*{1cm}
 \scalebox{1.25}{$
 \begin{array}{c}
 \ga{piramide com linhas} \\ \\
 \ga{piramide com linhas 2}
 \end{array}
 $}
$

}}

% (find-pdf-page "~/2022.1-C3/C3-quadros.pdf" 15)

\newpage

%  ____            _                 
% |  _ \ ___  __ _(_) ___   ___  ___ 
% | |_) / _ \/ _` | |/ _ \ / _ \/ __|
% |  _ <  __/ (_| | | (_) |  __/\__ \
% |_| \_\___|\__, |_|\___/ \___||___/
%            |___/                   
%
% «regioes»  (to ".regioes")
{\bf Regiões}

No próximo exercício vamos considerar

que o plano está divido nestas 5 regiões,

que vamos chamar de $N$, $W$, $E$, $S$, e $B$ ---

faces Norte, Oeste, Leste, Sul e ``base''...

$$\ga{piramide com linhas}
$$

% (find-pdf-page "~/2022.1-C3/C3-quadros.pdf" 16)

\newpage

%  ____            _                   ____  
% |  _ \ ___  __ _(_) ___   ___  ___  |___ \ 
% | |_) / _ \/ _` | |/ _ \ / _ \/ __|   __) |
% |  _ <  __/ (_| | | (_) |  __/\__ \  / __/ 
% |_| \_\___|\__, |_|\___/ \___||___/ |_____|
%            |___/                           
%
% «regioes-2»  (to ".regioes-2")
{\bf Regiões (2)}

%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(6,6))
%L spec = "(0,2)--(2,2)--(4,4)--(6,4)"
%L linhas = PwSpec.from(spec):topict():prethickness("2pt")
%L linhas:pgat("pgatc"):preunitlength("7.5pt"):sa("Regioes 2"):output()
\pu

\def\fcases#1#2#3{
  \begin{cases}
     2 & \text{quando $#1$}, \\
     x & \text{quando $#2$}, \\
     4 & \text{quando $#3$} \\
  \end{cases}}

\def\pyrcases{
  \begin{cases}
     F_B(x,y) & \text{quando $(x,y)∈B$}, \\
     F_N(x,y) & \text{quando $(x,y)∈N$}, \\
     F_W(x,y) & \text{quando $(x,y)∈W$}, \\
     F_E(x,y) & \text{quando $(x,y)∈E$}, \\
     F_S(x,y) & \text{quando $(x,y)∈S$}, \\
  \end{cases}}


\scalebox{0.5}{\def\colwidth{13.5cm}\firstcol{

    As definições do $f_1, f_2, \ldots, f_5$ à direita definem a mesma
    função, e a definição do $f_5(x)$ é uma tradução ``pra notação com
    `$∈$'s\,'' da definição do $f_4(x)$...

    \msk

    Muitos matemáticos --- e livros, como por exemplo os do Guidorizzi
    --- consideram que as definições do $f_4(x)$ e do $f_5(x)$ são
    ruins porque as condições, ou ``regiões'', depois dos ``quando''s
    não são disjuntas, e aí essas definições ``só fazem sentido'' se a
    gente mostrar que quando $x∈(-∞,2]∩[2,4]$ temos $2=x$, e que
    quando $x∈[2,4]∩[4,-∞)$ temos $x=4$...

    \msk

    A definição $f_1(x)$ por um gráfico nos permite pular certos
    detalhes. É ``óbvio'' que ela corresponde a uma definição por
    casos com três casos diferentes, mas com a definição pelo gráfico
    a gente não precisa definir se o ponto $x=2$ pertence à primeira
    região ou à segunda, e nem se o ponto $x=4$ pertence à segunda
    região ou à terceira...

    \msk

    Dá pra gente definir a pirâmide do slide anterior ``de um jeito
    que deixaria o Guidorizzi feliz'' por uma definição por casos como
    a definição do $F_P(x)$ à direita, em que cada uma das funções
    $F_B, F_N, F_W, F_E, F_S$ é um ``plano'', isto é, é da forma
    $a + bx + cy$, e os conjuntos $B, N, W, E, S$ são descritos
    formalmente de jeitos como este aqui...
    %
    $$S \;\; = \;\; \setofxyst{x≥y, \; 1≤y, \; x+y≤8}$$

    Dê uma olhada nos slides 6 e 7 daqui:

    \ssk

    {\footnotesize

      % (c2m221isp 6 "exercicio-2")
      % (c2m221isa   "exercicio-2")
      % http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-infs-e-sups.pdf#page=6
      \url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-infs-e-sups.pdf\#page=6}

    }

    Daqui a algumas aulas nós vamos fazer um monte de exercícios de
    traduzir entre notação de conjuntos e representações gráficas ---
    nós vamos precisar disso pra entender conjuntos abertos em
    fechados em $\R^2$ --- mas por enquanto nós vamos definir regiões
    do plano por figuras.

}\anothercol{

\vspace*{0cm}

$
  \begin{array}{rcl}
  f_1(x) &=& \ga{Regioes 2} \\
  f_2(x) &=& \fcases{x<2}{2≤x≤4}{4<x} \\
  f_3(x) &=& \fcases{x≤2}{2<x<4}{4≤x} \\
  f_4(x) &=& \fcases{x≤2}{2≤x≤4}{4≤x} \\
  f_5(x) &=& \fcases{x∈(-∞,2]}{x∈[2,4]}{x∈[4,+∞)} \\
  \\
  F_P(x) &=& \pyrcases \\
  \end{array}
$

}}

\newpage

% «exercicio-11»  (to ".exercicio-11")
% (c3m232nfp 25 "exercicio-11")
% (c3m232nfa    "exercicio-11")
% (c3m221nfp 24 "exercicio-11")
% (c3m221nfa    "exercicio-11")
% (find-pdf-page "~/2022.1-C3/C3-quadros.pdf" 16)

{\bf Exercício 11.}

Faça o diagrama de numerozinhos de cada uma das superfícies

$z=F(x,y)$ abaixo. Desenhe os numerozinhos nos pontos com

$x,y∈\{0,1,2,3,4\}$ --- ou seja, 25 numerozinhos em cada item.

\msk

a) $F(x,y) = 2x$

b) $F(x,y) = 3y$

c) $F(x,y) = 2x + 3y$

d) $F(x,y) = 10 + 2x + 3y$

\bsk

% «exercicio-12»  (to ".exercicio-12")
% (c3m221nfp 24 "exercicio-12")
% (c3m221nfa    "exercicio-12")

{\bf Exercício 12.}

Mostre que se $z = F(x,y)$ é um plano com equação

$F(x,y) = a + bx + cy$ então isto aqui vale:
%
$$∀(x_0,y_0),(x_1,y_1)∈\R^2. \; Δz = bΔx + cΔy.$$

\newpage

% «exercicio-13»  (to ".exercicio-13")
% (c3m221nfp 25 "exercicio-13")
% (c3m221nfa    "exercicio-13")

{\bf Exercício 13.}


\scalebox{0.8}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

A pirâmide dos slides anteriores pode ser descrita formalmente

por uma definição por casos como esta aqui,
%
$$\scalebox{0.7}{$
  z \;\;=\;\;  F_P(x) \;\;=\;\; \pyrcases
  $}
$$

onde cada um dos $F_R(x,y)$, onde $R$ é $B, N, E, W$ ou $S$, é uma
equação de um plano --- ou seja, é ``da forma $a+bx+cy$''. Descubra
quais são estas equações de planos e escreva a sua resposta neste
formato aqui, mas com os números certos:
%
$$\scalebox{0.8}{$
  \begin{array}{rcl}
  F_B(x,y) &=& 2+3x+4y \\
  F_N(x,y) &=& 5+6x+7y \\
  F_W(x,y) &=& 8+9x+10y \\
  F_E(x,y) &=& 11+12x+13y \\
  F_S(x,y) &=& 14+15x+16y \\
  \end{array}
  $}
$$

}\anothercol{
}}


\newpage

% «barranco»  (to ".barranco")
% (c3m221nfp 26 "barranco")
% (c3m221nfa    "barranco")
% (find-angg "GNUPLOT/barranco.dem")

% «exercicio-14»  (to ".exercicio-14")
% (c3m221nfp 26 "exercicio-14")
% (c3m221nfa    "exercicio-14")

{\bf Exercício 14 (``barranco'').}

No exemplo da pirâmide a gente começou com um diagrama de numerozinhos
e aí encontrou um modo de dividir o plano em 5 regiões que fazia com
que todos os numerozinhos numa mesma região ficassem no mesmo plano.
Faça a mesma coisa com o diagrama de numerozinhos abaixo --- você vai
precisar de pelo menos 6 regiões.
%
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(-1,-1), v(9,9))
%L barranco = Numerozinhos.from(0, 0, [[
%L     4 4 4 4 4 4 4 4 4
%L     4 4 4 4 4 4 4 4 4
%L     3 3 3 3 4 4 4 4 4
%L     2 2 2 2 3 4 4 4 4
%L     1 1 1 1 2 3 4 4 4
%L     0 0 0 0 1 2 3 4 4
%L     0 0 0 0 0 1 2 2 2
%L     0 0 0 0 0 0 1 1 1
%L     0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]])
%L barranco_spec = [[
%L     (0,7)--(3,7)--(7,3)--(8,3)
%L     (3,7)--(3,3)  (7,3)--(6,2)  (6,0)--(6,2)--(8,2)
%L     (0,3)--(3,3)--(6,0)--(8,0)  ]]
%L barranco:topict(             ):sa("barranco"):output()
%L barranco:topict(barranco_spec):sa("barranco com linhas"):output()
\pu
$$\ga{barranco}
  %\quad
  %\ga{barranco com linhas}
$$


% «f_barranco»  (to ".f_barranco")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ")
%
%T  (eepitch-lua51)
%T  (eepitch-kill)
%T  (eepitch-lua51)
%T pr = function (f)
%T     for y=8,0,-1 do
%T       for x=0,8 do
%T         printf("%d ", f(x,y))
%T       end
%T       print()
%T     end
%T   end
%T MAX = function (f, g)
%T     return function (x,y) return max(f(x,y), g(x,y)) end
%T   end
%T MIN = function (f, g)
%T     return function (x,y) return min(f(x,y), g(x,y)) end
%T   end
%T trAF = function (f) return MAX(MIN(fA, f), fF) end
%T fA = Code.ve(" x,y => 4     ")
%T fB = Code.ve(" x,y => y-3   ")
%T fC = Code.ve(" x,y => x+y-6 ")
%T fD = Code.ve(" x,y => y     ")
%T fE = Code.ve(" x,y => 2*y-2 ")
%T fF = Code.ve(" x,y => 0     ")
%T pr(fA)
%T pr(fB)
%T pr(fF)
%T pr(trAF(fB))
%T pr(trAF(fC))
%T pr(trAF(fD))
%T pr(trAF(fE))
%T fDE   = trAF(MAX(fD,  fE))
%T fBC   = trAF(MAX(fB,  fC))
%T fBCDE = trAF(MIN(fBC, fDE))
%T pr(fDE)
%T pr(fBC)
%T pr(fBCDE)

$\def\B{\ga{barranco}}
  \scalebox{0.6}{$
  \begin{array}{cccc}
  \B & \B & \B & \B \\
  \B & \B & \B & \B \\
  \B & \B & \B & \B \\
  \end{array}
  $}
$




\newpage

% «exercicio-15»  (to ".exercicio-15")
% (c3m221nfp 28 "exercicio-15")
% (c3m221nfa    "exercicio-15")

{\bf Exercício 15.}

\scalebox{0.7}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

Lembre que em planos a fórmula da aproximação linear
%
$$\begin{array}{rcl}
  F(x_0+Δx,y_0+Δy) &≈& F(x_0,y_0) \\
                   &+& F_x(x_0,y_0) Δx \\
                   &+& F_y(x_0,y_0) Δy \\
  \end{array}
$$

dá resultados exatos...

\bsk
Seja $z=F(x,y)$ a função que dá a superfície da pirâmide da figura à
direita. Descubra os valores de:

\def\TC#1{\begin{tabular}[t]{c}#1\end{tabular}}

\TC{a) F(1.5, 3) \\
    b) F(1.1, 3) \\
    c) F(5.1, 3) \\
    d) F(5.1, 2) \\
   }
\quad
\TC{e) F(5.2, 2.3) \\
    f) F(5.2, 1.9) \\
    g) F(3.1, 2.1) \\
    h) F(2.9, 1.9) \\
   }

\msk

Tente fazer as contas de cabeça.

Se você se enrolar faça as contas todas explicitamente, e use os
``truques de tradução'' das páginas 6 e 7 pra fazer as contas da forma
mais clara possível... depois esconda as suas contas e tente obter
todos os resultados de novo de cabeça.



}\anothercol{

\vspace*{0.7cm}

$\ga{piramide com linhas}
$

}}





\newpage

% «exercicio-16»  (to ".exercicio-16")
% (c3m221nfp 29 "exercicio-16")
% (c3m221nfa    "exercicio-16")

{\bf Exercício 16.}

\scalebox{0.7}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

Seja $z=F(x,y)$ a função que dá a superfície da pirâmide com duas
faces extras da figura à direita. Descubra os valores de:

\msk

\def\TC#1{\begin{tabular}[t]{c}#1\end{tabular}}

\TC{a) F(2.1, 2.1) \\
    b) F(2.5, 2.5) \\
    c) F(2.6, 2.6) \\
   }

\msk

fazendo as contas de cabeça.



}\anothercol{

\vspace*{0.25cm}

$\ga{piramide com linhas 2}
$

}}



\newpage

% «derivada-direcional»  (to ".derivada-direcional")
% (c3m221nfp 30 "derivada-direcional")
% (c3m221nfa    "derivada-direcional")
% (c3m212qp 32 "derivada-direcional")
% (c3m212qa    "derivada-direcional")
% (find-LATEXgrep "grep --color=auto -niH --null -e direcional *.tex")

{\bf Derivada direcional (Bortolossi)}


\scalebox{0.7}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

% (find-bortolossi8page (+ -290 291) "8. Derivadas direcionais e o vetor gradiente")
% (find-bortolossi8page (+ -290 296)   "Definição 8.1. (Derivada direcional)")
% (find-bortolossi8page (+ -290 298) "8.2. O vetor gradiente")
% (find-bortolossi8page (+ -290 302)   "direção de maior crescimento")

O Bortolossi define a derivada direcional

deste jeito, na p.296 do capítulo 8 dele:

$$\frac{∂f}{∂𝐛v}(𝐛p) =
  \lim_{t→0} \frac{ f(𝐛p + t·𝐛v) - f(𝐛p) }{t}
$$

\msk

Digamos que $f:\R^2→\R$, que os argumentos da $f$

se chamem $x$ e $y$, que $𝐛p=(x_0,y_0)$, que o vetor $𝐛v$

seja $(α,β)$, e que $z=z(x,y)=f(x,y)$.


\bsk

{\bf Exercício 17.}

Seja $f(x,y) = z(x,y) = F(x,y)$, onde $F(x,y)$ é a pirâmide do
exercício 15 (figura à direita).

Sejam $𝐛p = (x_0,y_0) = (2,3)$ e $𝐛v = \VEC{α,β} = \VEC{2,0}$.

Calcule $\frac{ f(𝐛p + t·𝐛v) - f(𝐛p) }{t}$ para os seguintes valores
de $t$:

\msk

\def\TC#1{\begin{tabular}[t]{l}#1\end{tabular}}

\TC{a) $t=1$ \\
    b) $t=2$ \\
    c) $t=3$ \\
    d) $t=1/2$ \\
    }
\quad
\TC{e) $t=1/4$ \\
    f) $t=-1$ \\
    g) $t=-1/2$ \\
    h) $t=-1/4$ \\
   }



}\anothercol{

\vspace*{0.7cm}

$\ga{piramide com linhas}
$

\bsk

{\bf Exercício 18.}

A partir do que você obteve no

exercício 17, qual você acha que

deve ser o valor de $\frac{∂f}{∂\VEC{2,0}}((2,3))$?

\bsk

{\bf Exercício 19.}

...e o valor de $\frac{∂f}{∂\VEC{1,0}}((2,3))$?

}}


\newpage

% «gradiente»  (to ".gradiente")
% (c3m221nfp 31 "gradiente")
% (c3m221nfa    "gradiente")

{\bf O gradiente}

% (c3m221mt1p 2 "defs-miniteste")
% (c3m221mt1a   "defs-miniteste")
%
%L -- (find-angg "LUA/Pict2e1-1.lua" "Numerozinhos-test3")
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(-1,-1), v(11,11))
%L pyr = Numerozinhos.from(0, 0, [[
%L     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
%L     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
%L     0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
%L     0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0
%L     0 0 0 0 0 1 2 3 1 0 0 0
%L     0 0 0 0 1 2 3 4 2 0 0 0
%L     0 0 0 1 2 3 4 5 3 1 0 0
%L     0 0 1 2 3 4 5 6 4 2 0 0
%L     0 0 0 0 1 2 3 4 2 0 0 0
%L     0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0
%L     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
%L     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]])
%L pyr_spec  = "(1,4)--(7,10)--(10,4)--(7,1)--(1,4) (1,4)--(10,4) (7,1)--(7,10)"
%L pyr:topict(pyr_spec ):sa("piramide MT1 com linhas"):output()
\pu

\scalebox{0.65}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

Obs: esse exercício aqui vai ser totalmente reescrito depois!

Leia a definição de gradiente na página p.298 do capítulo 8

do Bortolossi. Tente entendê-la usando as dicas abaixo.

\msk

Se $F:\R^2→\R$, então:

\ssk

a) $\frac{∂F}{∂x_1}(x_0,y_0) = \frac{∂F}{∂x}(x_0,y_0) = F_x(x_0,y_0)$,

\ssk

b) $\frac{∂F}{∂x}(x_0,y_0) = \frac{∂F}{∂\VEC{1,0}}(x_0,y_0)$,

\ssk

c) $\frac{∂F}{∂y}(x_0,y_0) = \frac{∂F}{∂\VEC{0,1}}(x_0,y_0)$

\ssk

d) $∇F = \VEC{F_x, F_y}$

\bsk

{\bf Exercício 20.}

a) Usando a $F$ da pirâmide mais simples, calcule:

$∇F(2,4), ∇F(4,2), ∇F(6,4), ∇F(4,6)$.

\msk

b) Represente graficamente $(x_0,y_0) + ∇F(x_0,y_0)$ para

estes valores de $(x_0,y_0)$: $(2,4), (4,2), (6,4), (4,6)$.

\msk

c) Seja $G$ a função da pirâmide torta do mini-teste.

Calcule: $∇G(5,3), ∇G(8,3), ∇G(8,6), ∇G(5,6)$.

\msk

d) Represente graficamente $G(x,y)+∇G(x,y)$ para

cada um dos 4 pontos do item (c).

}\anothercol{

\vspace*{0.1cm}

\hspace*{-1cm}
$\begin{array}{l}
 \ga{piramide com linhas} \\ \\
 \ga{piramide MT1 com linhas} \\
 \end{array}
$

}}

\newpage

{\bf Exercício 21.}

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-bortolossi3page (+ -78  97) "3.3. Curvas de nível")
% (find-bortolossi3page (+ -78  98)   "O desenho da curva de nível deve ser feito no plano")

Leia a definição de curvas de nível nas páginas

97 e 98 do capítulo 3 do Bortolossi.

\msk

a) Seja $F(x,y) = 2x + y$.

\ssk

b) Faça o diagrama de numerozinhos da

$F(x,y)$ para os pontos com $x,y∈\{0,1,2,3\}$.

\ssk

c) Desenhe quatro curvas de nível diferentes

da $F(x,y)$ sobre o diagrama do item (b).

\ssk

d) Represente graficamente $F+∇F$ para cada

um destes 16 pontos do (b). Isto vai dar 16

vetores, cada um apoiado num dos numerozinhos.


\newpage


\scalebox{0.9}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

{\bf Exercício 22.}

Faça a mesma coisa que você fez no

exercício 21, mas agora para

$F(x,y) = 3x - 2y$.

\bsk


{\bf Exercício 23.}

Faça a mesma coisa que você fez nos

exercício 21 e 22, mas agora para

\ssk

$\D F(x,y) = \frac{x^2 + y^2}{10}$ \; e

\ssk

$x,y∈\{-2,-1,0,1,2\}$.

\bsk

{\bf Exercício 24.}

Faça a mesma coisa que você fez no

exercício 23, mas agora para

\ssk

$\D F(x,y) = \frac{xy}{10}$.

}\anothercol{
}}





\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}



% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3dp"
% ee-tla: "c3m241dp"
% End:
