% (find-LATEX "2024-2-C2-DFI.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2024-2-C2-DFI.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2024-2-C2-DFI.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2024-2-C2-DFI.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2024-2-C2-DFI.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2024-2-C2-DFI.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2024-1-C2-DFI.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2024-2-C2-DFI"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2024-2-C2-DFI.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun oe () (interactive) (find-2a '(o) '(e)))
%          (code-eec-LATEX "2024-2-C2-DFI")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2024-2-C2-DFI.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-2-C2-DFI.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-2-C2-DFI.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2024-2-C2-DFI.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2024-2-C2-DFI.pdf
%               file:///tmp/2024-2-C2-DFI.pdf
%           file:///tmp/pen/2024-2-C2-DFI.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C2-DFI.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2024-2-C2-DFI" "2" "c2m242dfi" "c2dfi")

% «.defs»		(to "defs")
% «.defs-T-and-B»	(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»	(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»	(to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima»	(to "defs-maxima")
% «.defs-V»		(to "defs-V")
% «.title»		(to "title")
% «.links»		(to "links")
% «.links-quadros»	(to "links-quadros")
% «.links-stewart»	(to "links-stewart")
% «.links-miranda»	(to "links-miranda")
% «.links-leithold»	(to "links-leithold")
% «.links-cederj»	(to "links-cederj")



\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2024.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"}  % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()}         % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()}         % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua"           -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

% «defs-maxima»  (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu

% «defs-V»  (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu

% «defs-mv»  (to ".defs-mv")
\input 2023-2-C2-mv-defs.tex % (find-LATEX "2023-2-C2-mv-defs.tex")



%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c2m242dfip 1 "title")
% (c2m242dfia   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 2 - 2024.2}

\bsk

Aula 20: derivada da função inversa

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2024.2-C2.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c2m242dfip 2 "links")
% (c2m242dfia   "links")
% (c2m241dfip 2 "links")
% (c2m241dfia   "links")
% (c2m232dfip 2 "links")
% (c2m232dfia   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{

% 2hT87: (c2m232dfip 3 "introducao")
%        (c2m232dfia   "introducao")
\par \Ca{2hT87} (2023.2) Versão anterior destes slides

% 2fT58: (c2m222strigp 4 "exercicio-2")
%        (c2m222striga   "exercicio-2")

\msk

% «links-quadros»  (to ".links-quadros")
% 2jQ43: (find-angg ".emacs" "c2q242" "05/11: DFI")
% 2hQ29: (find-angg ".emacs" "c2q232" "sep18: Derivada da função inversa")
% 2gQ26: (find-angg ".emacs" "c2q231" "may12: Substituição trigonométrica e DFI")
% 2eQ42: (find-angg ".emacs" "c2q221" "jun30" "DFI")
%        (find-angg ".emacs" "c2q182" "20180903" "Derivada da função inversa")
\par Quadros:
\par \Ca{2jQ43} (2024.2)
\par \Ca{2hQ29} (2023.2)
\par \Ca{2gQ26} (2023.1)
\par \Ca{2eQ42} (2022.1)

\msk

% «links-stewart»  (to ".links-stewart")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "188" "3.5 Derivação Implícita")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "192" "Trigonométricas Inversas")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "195" "Exercício 77")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "196" "3.6 Derivadas de Funções Logarítmicas")
\par \Ca{StewPtCap3p35} (p.188) 3.5 Derivação Implícita
\par \Ca{StewPtCap3p39} (p.192) Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas
\par \Ca{StewPtCap3p42} (p.195) Exercício 77
\par \Ca{StewPtCap3p43} (p.196) 3.6 Derivadas de Funções Logarítmicas

\ssk

% «links-miranda»  (to ".links-miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "90" "3.6 Derivada da Função Inversa")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "97" "4.1 Derivação Implícita")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "101" "4.2" "Exponencial e Logaritmo")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "104" "4.3" "Trigonométricas Inversas")
\par \Ca{MirandaP90} 3.6 Derivada da Função Inversa
\par \Ca{MirandaP97} 4.1 Derivação Implícita
\par \Ca{MirandaP101} 4.2 Derivadas das Funções Exponencial e Logaritmo
\par \Ca{MirandaP104} 4.3 Derivação das Funções Trigonométricas Inversas

\ssk

% «links-leithold»  (to ".links-leithold")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "195" "3.8. Derivação implícita")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "421" "7. Funções inversas, logarítmicas e")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "422" "7.1. Funções inversas")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "431" "Exercícios 19 a 40")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "431" "7.2. Teoremas da função inversa e")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "433" "7.2.2. derivada da função inversa")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "496" "8.1. Funções Trigonométricas Inversas")
\par \Ca{Leit3p59} (p.195) 3.8 Derivação implícita
\par \Ca{Leit7p3} (p.421) 7 Funções inversas, logarítmicas e exponenciais
\par \Ca{Leit7p4} (p.422) 7.1 Funções inversas
\par \Ca{Leit7p13} (p.431) Exercícios 19 a 40
\par \Ca{Leit7p13} (p.431) 7.2 Teoremas da função inversa e a derivada da inversa de uma função
\par \Ca{Leit7p15} (p.433) 7.2.3 Teorema: derivada da função inversa
\par \Ca{Leit8p2} (p.496) 8.1. Funções Trigonométricas Inversas

\ssk

% «links-cederj»  (to ".links-cederj")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "cederj" "123" "13. Derivação implícita")
\par \Ca{CederjC1V1p125} (p.123) 13. Derivação implícita
\par \Ca{CederjC1V1p125} (p.123) $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a}$ indicará $f'(a)$
\ssk
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "cederj" "107" "27. O Teorema da função inversa")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "cederj" "115" "28. Funções trigonométricas inversas")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "cederj" "123" "29. Funções trigonométricas inversas. Cont")
\par \Ca{CederjC1V2p109} (p.107) 27. O Teorema da função inversa
\par \Ca{CederjC1V2p117} (p.115) 28. Funções trigonométricas inversas
\par \Ca{CederjC1V2p125} (p.123) 29. Funções trigonométricas inversas. Continuação

% (c2m232edovsp 7 "inversas-chutar-testar")
% (c2m232edovsa   "inversas-chutar-testar")

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus" "122" "2.7 Derivatives of Inverse Functions")

}\anothercol{
}}

\newpage


% (find-angggrep "grep --color=auto -nH --null -e DFI .emacs")

% «introducao»  (to ".introducao")
% (c2m232dfip 3 "introducao")
% (c2m232dfia   "introducao")

{\bf Introdução}

\scalebox{0.55}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

Pra mim a ``fórmula da derivada da função inversa'' e a ``demonstração
da fórmula da derivada da função inversa'' são essas séries de
igualdades aqui, que eu vou chamar de \ga{[DFI2]} e \ga{[DFI6]}, onde
o 2 e o 6 dizem o número de igualdades em cada uma:
%
$$\begin{array}{lcl}
  \ga{[DFI2]} &=& \P{\ga{DFI2}} \\ \\[-9pt]
  \ga{[DFI6]} &=& \P{\ga{DFI6}} \\
  \end{array}
$$

Você já viu algo assim em Cálculo 1 quando mostraram pra você que
$\ddx \ln x=1$... mas agora nós vamos reusar essa demonstração pra
provar várias outras coisas diferentes.

}\anothercol{

{\bf Exercício 0.}

Calcule o resultado das substituições abaixo.

\msk

a) $\ga{[DFI6]} \bmat{
      g(x) := \ln x \\
      g'(x) := \ln' x \\
      f(x) := \exp x \\
      f'(x) := \exp' x \\
    } = \Rq $

\ssk

b) $\ga{[DFI6]}
   \bmat{
     g(x) := \ln x \\
     g'(x) := \ln' x \\
     f(x) := e^x \\
     f'(x) := e^x \\
   } = \Rq
  $

\ssk

c) $\ga{[DFI2]}
   \bmat{
     g(x) := \ln x \\
     g'(x) := \ln' x \\
     f(x) := e^x \\
     f'(x) := e^x \\
   } = \Rq
  $

\ssk

d) $\ga{[DFI2]}
   \bmat{
      g(x) := \arcsen x \\
     g'(x) := \arcsen' x \\
      f(x) := \sen x \\
     f'(x) := \cos x \\
   } = \Rq
  $

\ssk

e) $\ga{[DFI2]}
    \bmat{
      g(x) := \arcsen x \\
     g'(x) := \arcsen' x \\
      f(x) := \sen x \\
     f'(x) := \sqrt{1-(\sen x)^2} \\
    } = \Rq
   $

}}

\newpage

% «sec-e-tan»  (to ".sec-e-tan")
% (c2m232dfip 4 "sec-e-tan")
% (c2m232dfia   "sec-e-tan")

{\bf Secante e tangente}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Lembre que $\tan x = \frac{\sen x}{\cos x}$ e
$\sec x = \frac{1}{\cos x}$. Vou definir estas abreviações -- que vão
ser temporárias, essas letras vão ter outros significados em outros
lugares...
%
$$\begin{array}{rcl}
  s &=& \sen x \\
  c &=& \cos x \\
  t &=& \tan x \\
  z &=& \sec x \\
  \end{array}
$$

Então temos:
%
$$\begin{array}{l}
  \D z^2
  = \frac{1}{c^2}
  = \frac{s^2+c^2}{c^2}
  = \frac{s^2}{c^2} + \frac{c^2}{c^2}
  = t^2 + 1
  \\ \\[-9pt]
  \D \P{\frac fg}' = \frac{f'g - fg'}{g^2} \\
  \D \P{\frac 1g}' = \frac{1'g - 1g'}{g^2} = \frac{-g'}{g^2} \\
  \D z' = \P{\frac 1c}' = \frac{-c'}{c^2} = \frac{s}{c^2} = \frac{1}{c} \frac{s}{c} = zt \\
  \D t' = \P{\frac sc}' = \frac{s'c-sc'}{c^2} = \frac{c^2+s^2}{c^2} = \frac{1}{c^2} = z^2 \\
  \end{array}
$$

}\anothercol{

{\bf Exercício 1.}

Leia com cuidado todos os passos do ``Então temos:'' à esquerda e veja
quais são os passos que você não acha óbvios. Expanda cada uma das
igualdades que você achou complicadas em uma série de igualdades bem
fáceis de justificar.

\bsk

{\bf Exercício 2.}

No item (e) do Exercício 0 eu usei que:
%
$$\sen'x = \sqrt{1-(\sen x)^2}$$

ou seja, eu ``expressei $\sen'x$ em termos de $\sen x$''. Se você
nunca viu essa expressão ``expressar blá em termos de outro blá'' veja
como ela é usada nesta página do Stewart:

\ssk
\par \Ca{StewPtCap3p35} (p.188) 3.5 Derivação Implícita
\ssk

Expresse:

a) $\sec x$ em termos de $\tan x$

b) $\tan x$ em termos de $\sec x$

c) $\tan' x$ em termos de $\tan x$

d) $\sec' x$ em termos de $\sec x$

}}

\newpage

% «sec-e-tan-2»  (to ".sec-e-tan-2")
% (c2m232dfip 5 "sec-e-tan-2")
% (c2m232dfia   "sec-e-tan-2")

{\bf Secante e tangente (2)}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

No final do exercício (0e) você obteve isto aqui,
%
$$\arcsen' x = \frac{1}{\sqrt{1-(\sen \arcsen x)^2}}
$$

ou seja, você agora sabe justificar a primeira igualdade daqui,
%
$$\begin{array}{rcl}
  \arcsen' x &=& \D \frac{1}{\sqrt{1-(\sen \arcsen x)^2}} \\
             &=& \D \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
  \end{array}
$$

e imagino que a segunda também, porque ela é relativamente fácil...

\bsk

{\bf Exercício 3.}

a) Expresse $\arctan x$ em termos de $x$.

b) Expresse $\arcsec x$ em termos de $x$.

Aqui você vai ter que combinar idéias dos exercícios 0 e 2.

}\anothercol{

{\bf Dica 1:} todas as idéias principais estão aqui:

\par \Ca{StewPtCap3p39} (p.192)

\bsk

{\bf Dica 2:} releia estes dois trechos das legendas de um dos vídeos
sobre didática que eu preparei no início do ano:

\ssk

\par \Ca{Visaud01:25} até 03:00
\par \Ca{Visaud50:43} até 52:24

\ssk

Você não quer (só) virar a pessoa que lê demonstrações complicadas e
acha elas óbvias. O que vai ser mais útil pra você no futuro vai ser
você virar a pessoa que sabe expandir demonstrações complicadas e
transformar elas em demonstrações que os seus colegas entendam! Lembre
da Dica 7 daqui:

\ssk

\Ca{2gT4} ``Releia a Dica 7''


}}




\newpage


% (find-angg ".emacs" "c2q222")
% (find-angg ".emacs" "c2q222" "22" "set28: substituição trigonométrica")
% http://angg.twu.net/2022.2-C2/C2-quadros.pdf#page=23


\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2024-2-C2-DFI")


% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2dfi"
% ee-tla: "c2m242dfi"
% End:
