% (find-LATEX "2024-2-C2-VS.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2024-2-C2-VS.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2024-2-C2-VS.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2024-2-C2-VS.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2024-2-C2-VS.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2024-2-C2-VS.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2024-1-C2-VS.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2024-2-C2-VS"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2024-2-C2-VS.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun oe () (interactive) (find-2a '(o) '(e)))
%          (code-eec-LATEX "2024-2-C2-VS")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2024-2-C2-VS.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-2-C2-VS.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-2-C2-VS.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2024-2-C2-VS.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2024-2-C2-VS.pdf
%               file:///tmp/2024-2-C2-VS.pdf
%           file:///tmp/pen/2024-2-C2-VS.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C2-VS.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2024-2-C2-VS" "2" "c2m242vs" "c2vs")

% «.defs»		(to "defs")
% «.defs-T-and-B»	(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»	(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»	(to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima»	(to "defs-maxima")
% «.defs-V»		(to "defs-V")
% «.title»		(to "title")
% «.links»		(to "links")



\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2024.2-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"}  % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()}         % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()}         % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua"           -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

% «defs-maxima»  (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu

% «defs-V»  (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu

% «defs-edovs»  (to ".defs-edovs")
\input 2023-2-C2-edovs-defs.tex % (find-LATEX "2023-2-C2-edovs-defs.tex")

% «defs-edoexs»  (to ".defs-edoexs")
\input 2023-2-C2-edos-exatas-defs.tex % (find-LATEX "2023-2-C2-edos-exatas-defs.tex")

% (c2m232edolsp 3 "defs-bodies")
% (c2m232edolsa   "defs-bodies")

\sa  {(**)}{\ensuremath{({*}{*})}}
\sa {(***)}{\ensuremath{({*}{*}{*})}}
\sa{(****)}{\ensuremath{({*}{*}{*}{*})}}
\def\mac{\mathsf{mac}}

\sa  {*1}{\ensuremath{(*_1)}}
\sa  {*2}{\ensuremath{(*_2)}}
\sa  {*3}{\ensuremath{(*_3)}}
\sa  {*4}{\ensuremath{(*_4)}}
\sa  {*5}{\ensuremath{(*_5)}}
\sa  {*6}{\ensuremath{(*_6)}}
\sa  {*7}{\ensuremath{(*_7)}}

\def\P#1{\left( #1 \right)}
\sa{[EL3]}{\CFname{EL}{_3}}
\sa{(EL3)}{
  \P{\begin{array}{rcl}
     f'+fg & = & h \\
        G' & = & g \\
         f & = & e^{-G}(\intx{e^Gh} + C) \\
     \end{array}
    }}

\pu




%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c2m242vsp 1 "title")
% (c2m242vsa   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 2 - 2024.2}

\bsk

Prova suplementar (VS)

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2024.2-C2.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c2m242vsp 2 "links")
% (c2m242vsa   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{
}\anothercol{
}}

\newpage

% «questao-1»  (to ".questao-1")
% 2jT219: (c2m242p2p 3 "questao-1")
%         (c2m242p2a   "questao-1")
%         (c2m241p2p 3 "questao-1")
%         (c2m241p2a   "questao-1")
% (find-angg "MAXIMA/2024-2-C2-EDOVS.mac")

{\bf Questão 1}

\scalebox{0.47}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

\vspace*{-0.4cm}

\T(Total: 4.0 pts)

Lembre que no curso eu mostrei que o meu modo preferido de escrever o
``método'' para resolver EDOs com variáveis separáveis --- ``EDOVSs''
--- é o ``método'' \ga{[M]} abaixo... eu pus o termo ``método'' entre
aspas porque alguns dos passos da \ga{[M]} são gambiarras nas quais a
gente não pode confiar totalmente, e aí a gente precisa sempre testar
as nossas soluções. O $\ga{[F3]}$ abaixo --- a ``fórmula'' --- é uma
versão resumida do \ga{[M]}.
%
$$\begin{array}{rcl}
  \ga{[M]} &=& \ga{(M)} \\\\[-5pt]
  \ga{[F3]} &=& \ga{(F3)} \\
  \end{array}
$$

\vspace*{-5cm}

}\anothercol{


Seja $\ga{*1}$ esta EDOVSs:
%
$$\begin{array}{rcll}
  \D \frac{dy}{dx} &=& \D   \frac{-2(x-1)}{2(y+1)} \\
 %\D \frac{dy}{dx} &=& \D   \frac{-8x}{2y} & \qquad\ga{*1} \\
 %\D \frac{dy}{dx} &=& \D - \frac{2(x-1)}{2(y-1)} & \qquad\ga{*1} \\
 %\D \frac{dy}{dx} &=& \D \frac{1}{-2(y-1)} & \ga{*2} \\
  \end{array}
$$

a) \B (1.0 pts) Desenhe os tracinhos do campo de direções da EDO (*)
nos pontos com $x,y∈\{-2,-1,0,1,2\}$. Aqui você vai ter que desenhar
25 tracinhos e vai ter que caprichar -- um tracinho com coeficiente
angular $\frac12$ tem que ser visualmente bem diferente de um com
coeficiente angular 1 e de um com coeficiente angular $2$.

\ssk

b) \B (1.0 pts) Encontre a solução particular que passa pelo ponto
$(1,2)$ e a solução particular que passa pelo ponto $(1,-2)$ e dê
nomes para elas. Dica: pessoas que entenderam muito bem como
visualizar EDOs vão preferir fazer o item (c) antes do (b), e pessoas
que são muito boas de conta vão preferir fazer o (b) antes do (c).

\ssk

c) \B (2.0 pts) Faça os gráficos das duas soluções particulares do
item anterior. Dica: comece calculando elas para alguns valores
inteiros de $x$.

\bsk

\standout{Muito importante:} em todas as questões desta prova eu vou
corrigir as respostas de vocês como se eu fosse o ``colega menos seu
amigo e sem paciência pra adivinhar nada'' da Dica 7 e do slide sobre
contextos... por exemplo, se você escrever só ``$a=42$'' eu vou
interpretar isso como ``aqui essa pessoa tá dizendo que é óbvio que
`$a=42$' é sempre verdade -- e isso é falso!!!'', e aí babau. Ou seja,
a parte em português das questões de vocês vai ser MUUUUITO
importante!

% (find-es "maxima" "2022-2-C2-P2")

}}

\newpage

% (c2m242vrp1p  "questao-1")
% (c2m242p1a   "questao-1")



\scalebox{0.55}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

% (c2m242vrp1p 6 "questao-1")
% (c2m242vrp1a   "questao-1")

{}

{\bf Questão 2}

\T(Total: 4.0 pts)

Sabemos que:
%
$$\def\s{\sqrt{1-x^2}}
  \intx{x^3 \s^3} \;=\; \frac{\s^7}{7} - \frac{\s^5}{5}\;.
$$

Integre:
%
$$\intx{x^3 \sqrt{4-25x^2}^3}$$

Dicas: 1) dá pra resolver esta questões ou por várias mudanças de
variável ``simples'' ou por uma mudança de variável só
(``complicada''); 2) comece montando as caixinhas de anotações das
mudanças de variável e só depois resolva a integral; 3) teste várias
mudanças de variável até você descobrir quais vão funcionar; 4) aqui é
muito fácil errar nas contas, então faça tudo bem passo a passo.

% a) \B (2.0 pts) Suponha que a gente sabe integrar \ga{(*)}. Transforme
% a \ga{(**)} em algo que a gente sabe integrar.


}\anothercol{

{}

{\bf Questão 3}

\T(Total: 2.0 pts)

Seja $\ga{*2}$ esta EDO exata:
%
$$(12 x y^2 + 10 y + 6 x^3)dy+(4y^3+18x^2y+14x)dx=0$$

Encontre uma solução implícita pra ela.

\ssk

Lembre que o meu jeito preferido de escrever o método pra resolver
EDOs exatas é esse aqui,
%
$$\begin{array}[t]{rcl}
  \ga{[E5]} &=& \ga{(E5)} \\
  \end{array}
$$

mas você pode usar outros métodos se preferir.


}}




\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2024-2-C2-VS")
# (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2024-2-C2-VS" "-pp" "pages=3,4,fitpaper,landscape=true")




% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2vs"
% ee-tla: "c2m242vs"
% End:
