% (find-LATEX "2024-2-C3-P2.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2024-2-C3-P2.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2024-2-C3-P2.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2024-2-C3-P2.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2024-2-C3-P2.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2024-2-C3-P2.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2024-1-C3-P2.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2024-2-C3-P2"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2024-2-C3-P2.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun oe () (interactive) (find-2a '(o) '(e)))
%          (code-eec-LATEX "2024-2-C3-P2")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2024-2-C3-P2.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-2-C3-P2.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-2-C3-P2.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2024-2-C3-P2.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2024-2-C3-P2.pdf
%               file:///tmp/2024-2-C3-P2.pdf
%           file:///tmp/pen/2024-2-C3-P2.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C3-P2.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2024-2-C3-P2" "3" "c3m242p2" "c3p2")

% «.defs»		(to "defs")
% «.defs-T-and-B»	(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»	(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»	(to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima»	(to "defs-maxima")
% «.defs-V»		(to "defs-V")
% «.title»		(to "title")
% «.links»		(to "links")
% «.questao-1»		(to "questao-1")
% «.lembre-que»		(to "lembre-que")



\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C3.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2024.2-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"}  % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()}         % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()}         % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua"           -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

% «defs-maxima»  (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu

% «defs-V»  (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu


%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c3m242p2p 1 "title")
% (c3m242p2a   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 3 - 2024.2}

\bsk

P2 (segunda prova)

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2024.2-C3.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c3m242p2p 2 "links")
% (c3m242p2a   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{

% (find-es "maxima" "2024.2-C3-P2")
{\footnotesize
\par \url{http://anggtwu.net/e/maxima.e.html\#2024.2-C3-P2}
\par \texttt{(find-es "maxima" "2024.2-C3-P2")}
\par
}

}\anothercol{
}}

\newpage

%L PictBounds.setbounds(v(-2,-2), v(2,2))
%L minidraw = function (spec, name)
%L     PwSpec.from(spec):topict():pgat("pgatc",{sa=name}):preunitlength("5pt")
%L       :output()
%L   end
%L minidraw("(-2,1)--(2,1)", "s 0 1")
%L minidraw("(-2,-1)--(1,2)", "s 1 1")
\pu

\newpage

%   ___                  _                _ 
%  / _ \ _   _  ___  ___| |_ __ _  ___   / |
% | | | | | | |/ _ \/ __| __/ _` |/ _ \  | |
% | |_| | |_| |  __/\__ \ || (_| | (_) | | |
%  \__\_\\__,_|\___||___/\__\__,_|\___/  |_|
%                                           
% «questao-1»  (to ".questao-1")
% (c3m242p2p 3 "questao-1")
% (c3m242p2a   "questao-1")
% (find-es "maxima" "2024.2-C3-P2")

\vspace*{-0.25cm}

\scalebox{0.43}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{

{\bf Questão 1}

\T(Total: 10.0 pts)

Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
  F(x,y) &=& x + y^2 \\
  G(x,y) &=& 2x + y \\
  r &=& G^{-1}(-2) \\
  A &=& \{-2,-1,0,1,2\}^2 \\
  B &=& [-2,2]^2 \\
  C &=& \setofst{(x,y)∈B}{G(x,y)≥-2} \\
  D &=& \setofst{(x,y)∈B}{G(x,y)=-2} \\
  \end{array}
$$

$$\begin{array}{rcccl}
  F_B &:&   B   &→&    \R \\
       && (x,y) &\mto& F(x,y) \\
  F_C &:&   C   &→&    \R \\
       && (x,y) &\mto& F(x,y) \\
  \end{array}
$$

\ssk a) \B (0.5 pts) Faça o diagrama de numerozinhos da função $F$.
Desenhe um numerozinho para cada ponto de $A$.

\ssk b) \B (0.5 pts) Idem, mas para a função $G$.

\ssk c) \B (0.5 pts) Desenhe as curvas de nível da $G$ para
$z=-2,-1,0,1,2$.

\ssk d) \B (0.5 pts) Desenhe os conjuntos $r,A,B,C,D$.

\ssk e) \B (0.5 pts) Desenhe as curvas de nível da $F$ para
$z=-1,0,1,2$.

\ssk f) \B (0.5 pts) Desenhe as curvas de nível da $F_B$ para
$z=-1,0,1,2$. Inclua a fronteira do domínio da $F_B$ no seu desenho
pra leitor conseguir ver até onde essas curvas de nível vão.

\ssk g) \B (1.0 pts) Desenhe as curvas de nível da $F_C$ para
$z=-1,0,1,2$. Inclua a fronteira do domínio da $F_C$ no seu desenho
pra leitor conseguir ver até onde essas curvas de nível vão.

\ssk h) \B (1.0 pts) Dê coordenadas {\sl aproximadas} para os máximos
e mínimos locais da função $F_C$.

\msk

Nos próximos itens você vai tentar fazer um truque que o Bortolossi
ensina no capítulo 12 dele, em que ele mostra como encontrar máximos e
mínimos locais na fronteira a partir de pontos na fronteira em que
dois vetores gradientes são paralelos -- e com isso você vai conseguir
fazer uma versão melhorada do seu item (h).


}\anothercol{

\vspace*{0cm}

Digamos que:
%
$$\begin{array}{rcl}
  d(x) &=& ax+b \\
  s &=& \setofxyst{y=d(x)} \\
  P(x) &=& (x,d(x)) \\
  \end{array}
$$

\standout{tais que} $s=r$.

\msk

Isso ($↑$) é uma {\sl definição indireta}. O autor -- no caso, eu -- não
está dizendo quais são os valores de $a$ e $b$, e o leitor -- no caso,
você -- vai ter que se virar pra descobrir.

\ssk i) \B (0.5 pts) Encontre $a$ e $b$ por chutar e testar. Você vai
começar fazendo vários chutes-e-testes assim:
%
$$\begin{array}{lcl}
  \text{Se $(a,b)=(0,1)$ então $s=\ga{s 0 1}$ e $s≠r$ \;\; \frown} \\
  \text{Se $(a,b)=(1,1)$ então $s=\ga{s 1 1}$ e $s≠r$ \;\; \frown} \\
  \end{array}
$$

\ssk j) \B (0.5 pts) Calcule $∇F(x,y)$, $∇G(x,y)$, $∇F(P(x))$ e
$∇G(P(x)).$

\ssk k) \B (1.0 pts) Faça uma cópia do seu desenho do item (g)
incluindo os vetores $P(x)+∇F(P(x))$ e $P(x)+∇G(P(x))$ para os
seguintes valores de $x$: $x=-1.5$, $x=-1$, $x=-0.5$.

\ssk l) \B (1.0 pts) Encontre o valor de $x$ que faz com que
$∇F(P(x))$ e $∇G(P(x))$ fiquem paralelos. Sugestão: faça uma tabela e
encontre ele por chutar e testar. Chame esse valor de $x$ de $x_m$.

\ssk m) \B (1.0 pts) Faça uma cópia do seu desenho do item (g)
incluindo os vetores $P(x)+∇F(P(x))$ e $P(x)+∇G(P(x))$ para $x=x_m$.
Faça ele BEM grande e capriche!

\ssk n) \B (1.0 pts) Calcule $F(D)$ e $F(C)$..

}}





\newpage

%  _                   _                                 
% | |    ___ _ __ ___ | |__  _ __ ___    __ _ _   _  ___ 
% | |   / _ \ '_ ` _ \| '_ \| '__/ _ \  / _` | | | |/ _ \
% | |__|  __/ | | | | | |_) | | |  __/ | (_| | |_| |  __/
% |_____\___|_| |_| |_|_.__/|_|  \___|  \__, |\__,_|\___|
%                                          |_|           
% «lembre-que»  (to ".lembre-que")
% (c3m242p2p 4 "lembre-que")
% (c3m242p2a   "lembre-que")

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

\vspace*{-0.5cm}

Lembre que se $F:\R^2→\R$, $A⊆\R^2$ e $B⊆\R$ então:
%
$$\begin{array}{rcl}
  F(A)    &=& \setofst{F(x,y)}{(x,y)∈A} \\
  F^{-1}(b) &=& \setofst{(x,y)∈\R^2}{F(x,y)=b} \\
  F^{-1}(B) &=& \setofst{(x,y)∈\R^2}{F(x,y)∈B} \\
  \end{array}
$$

e que quando a gente escreve
%
$$\begin{array}{rcccl}
  G &:&   A   &→&    \R \\
     && (x,y) &\mto& F(x,y) \\
  \end{array}
$$

isso define uma função $G$ que se comporta como a $F$ dentro do
conjunto $A$, mas o domínio dessa $G$ é só o conjunto $A$ -- quando a
$G$ recebe um ponto de $\R^2\bsl A$ ela dá um erro.

\msk

Lembre que dois vetores $\vv$ e $\ww$ não nulos são {\sl paralelos}
quando $∃λ∈\R.\,\vv=λ\ww$. Por exemplo, $\VEC{2,3}$ e $\VEC{20,30}$
são paralelos mas $\VEC{2,3}$ e $\VEC{5,4}$ não são paralelos.

% \ssk
% 
% Além disso eu vou usar essa abreviação aqui:
% %
% $$\begin{array}{rcl}
%   [\textit{condição}] &=& \setofst{(x,y)∈\R^2}{\textit{condição}} \\
%   \end{array}
% $$
% 
% por exemplo:
% %
% $$\begin{array}{rcl}
%   [y=2x] &=& \setofst{(x,y)∈\R^2}{y=2x}. \\
%   \end{array}
% $$

}\anothercol{
}}




\newpage

% (find-es "maxima" "2024.2-C3-P2")


%M (%i1) [xmin,xmax, ymin,ymax] : [-2,2, -2,2]$
%M (%i2) numsB(expr) :=
%M   apply(matrix,
%M         makelist(makelist(ev(expr), x,-2,2),
%M                  y, seqby(2,-2,-1)))$
%M 
%M (%i3) F : x + y^2$
%M (%i4) G : 2*x + y$
%M (%i5) define(F(x,y), F);
%M (%o5) F\left(x , y\right):=y^2+x
%M (%i6) define(G(x,y), G);
%M (%o6) G\left(x , y\right):=y+2\,x
%M (%i7) 
%M /* (a): 0.5 pts */
%M numsB(F);
%M (%o7) \begin{pmatrix}2&3&4&5&6\cr -1&0&1&2&3\cr -2&-1&0&1&2\cr -1&0&1&2&3\cr 2&3&4&5&6\cr \end{pmatrix}
%M (%i8) 
%M /* (b): 0.5 pts */
%M numsB(G);
%M (%o8) \begin{pmatrix}-2&0&2&4&6\cr -3&-1&1&3&5\cr -4&-2&0&2&4\cr -5&-3&-1&1&3\cr -6&-4&-2&0&2\cr \end{pmatrix}
%M (%i9) /* (c): 0.5 pts */
%M G_B : [myimp1(G=-2, lc(blue)),
%M        myimp1(G=-1, lc(forest_green)),
%M        myimp1(G=0,  lc(gold)),
%M        myimp1(G=1,  lc(orange)),
%M        myimp1(G=2,  lc(red))]$
%L maximahead:sa("Q1 ab", "")
\pu

%M (%i10) myqdrawp(xyrange(), G_B);
%M 
%M /* (d): 0.5 pts */
%M (%o10) \myvcenter{\includegraphics[height=5cm]{2024-2-C3/P2_001.pdf}}
%M (%i11) D_B : [myimp1(G=-2, lc(gray))]$
%M 
%M (%i12) myqdrawp(xyrange(), D_B);
%M (%o12) \myvcenter{\includegraphics[height=5cm]{2024-2-C3/P2_002.pdf}}
%M (%i13) 
%M /* (e): 0.5 pts */
%M /* (f): 0.5 pts */
%M F_B : [myimp1(F=-1, lc(blue)),
%M        myimp1(F=0,  lc(forest_green)),
%M        myimp1(F=1,  lc(orange)),
%M        myimp1(F=2,  lc(red))]$
%M (%i14) myqdrawp(xyrange(), F_B);
%M (%o14) \myvcenter{\includegraphics[height=5cm]{2024-2-C3/P2_003.pdf}}
%L maximahead:sa("Q1 cdef", "")
\pu

\scalebox{0.3}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{Q1 ab}

}\anothercol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{Q1 cdef}

}}

\newpage

%M (%i15) /* (g): 1.0 pts */
%M F_ys(z) := block([ys],
%M   ys : solve([G=-2,F=z],[x,y]),
%M   [rhs(ys[1][2]), rhs(ys[2][2])])$
%M (%i16) F_miny(z) := apply('min, F_ys(z))$
%M (%i17) F_maxy(z) := apply('max, F_ys(z))$
%M (%i18) F_C_z(z,color) := myapply_fl('imp1,
%M        F=z, x,-2,2, y,F_miny(z),F_maxy(z), lc(color))$
%M (%i19) F_C : [F_C_z(-1, blue),
%M        F_C_z( 0, forest_green),
%M        F_C_z( 1, orange),
%M        F_C_z( 2, red)]$
%M (%i20) myqdrawp(xyrange(), D_B, F_C);
%M (%o20) \myvcenter{\includegraphics[height=5cm]{2024-2-C3/P2_004.pdf}}
%M (%i21) /* (h): 1.0 pts */
%M [F(-1,0), F(2,-2), F(2,2)];
%M (%o21) \left[ -1 , 6 , 6 \right] 
%L maximahead:sa("Q1 gh", "")
\pu

%M (%i22) /* (i): 0.5 pts */
%M                        G=-2;
%M (%o22) y+2\,x=-2
%M (%i23)                  solve(G=-2, y);
%M (%o23) \left[ y=-\left(2\,x\right)-2 \right] 
%M (%i24)                  solve(G=-2, y)[1];
%M (%o24) y=-\left(2\,x\right)-2
%M (%i25)              rhs(solve(G=-2, y)[1]);
%M (%o25) -\left(2\,x\right)-2
%M (%i26) define(d(x), rhs(solve(G=-2, y)[1]));
%M (%o26) d\left(x\right):=-\left(2\,x\right)-2
%M (%i27) define(P(x), [x,d(x)]);
%M (%o27) P\left(x\right):=\left[ x , -\left(2\,x\right)-2 \right] 
%M (%i28) [a,b] : [-2,-2];
%M (%o28) \left[ -2 , -2 \right] 
%L maximahead:sa("Q1 i", "")
\pu

\scalebox{0.45}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{Q1 gh}

}\anothercol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{Q1 i}

}}

\newpage


%M (%i29) /* (j): 0.5 pts */
%M grad(F) := [diff(F,x), diff(F,y)]$
%M (%i30) define(gradF (x,y), grad(F));
%M (%o30) \mathrm{gradF}\left(x , y\right):=\left[ 1 , 2\,y \right] 
%M (%i31) define(gradG (x,y), grad(G));
%M (%o31) \mathrm{gradG}\left(x , y\right):=\left[ 2 , 1 \right] 
%M (%i32) define(gradFP(x), apply('gradF, P(x)));
%M (%o32) \mathrm{gradFP}\left(x\right):=\left[ 1 , 2\,\left(-\left(2\,x\right)-2\right) \right] 
%M (%i33) define(gradGP(x), apply('gradG, P(x)));
%M (%o33) \mathrm{gradGP}\left(x\right):=\left[ 2 , 1 \right] 
%M (%i34) /* (k): 1.0 pts */
%M gradsP(x) := [myPv_c(P(x),gradGP(x)/3, blue),
%M               myPv_c(P(x),gradFP(x)/3, dark_violet)]$
%M (%i35) gradsP_3  : [gradsP(-1.5), gradsP(-1), gradsP(-0.5)]$
%M (%i36) myqdrawp(xyrange(), D_B, F_C, gradsP_3);
%M (%o36) \myvcenter{\includegraphics[height=5cm]{2024-2-C3/P2_005.pdf}}
%L maximahead:sa("Q1 jk", "")
\pu

%M (%i37) /* (l): 1.0 pts */
%M eq1 : 2*gradFP(x)    = gradGP(x);
%M (%o37) \left[ 2 , 4\,\left(-\left(2\,x\right)-2\right) \right] =\left[ 2 , 1 \right] 
%M (%i38) eq2 : 2*gradFP(x)[2] = gradGP(x)[2];
%M (%o38) 4\,\left(-\left(2\,x\right)-2\right)=1
%M (%i39)          solve(eq2, x);
%M (%o39) \left[ x=-\left({\frac{9}{8}}\right) \right] 
%M (%i40)          solve(eq2, x)[1];
%M (%o40) x=-\left({\frac{9}{8}}\right)
%M (%i41) xm : rhs(solve(eq2, x)[1]);  /*  -9/8  */
%M (%o41) -\left({\frac{9}{8}}\right)
%M (%i42) ym : d(xm);                  /*   1/4  */
%M (%o42) {\frac{1}{4}}
%M (%i43) Fm : F(xm,ym);               /* -17/16 */
%M (%o43) -\left({\frac{17}{16}}\right)
%L maximahead:sa("Q1 l", "")
\pu

\scalebox{0.4}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{Q1 jk}

}\anothercol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{Q1 l}

}}


%M (%i44) /* (m): 1.0 pts */
%M (%i44) gradsP_xm : [gradsP(xm)]$
%M (%i45) myqdrawp(xyrange(), D_B, F_C, gradsP_xm);
%M (%o45) \myvcenter{\includegraphics[height=5cm]{2024-2-C3/P2_006.pdf}}
%L maximahead:sa("Q1 m", "")
\pu

%M (%i46) /* (n): 1.0 pts */
%M Fnw : F(-2,d(-2));
%M (%o46) 2
%M (%i47) Fsw : F(0,d(0));
%M (%o47) 4
%M (%i48) Fne : F(2,2);
%M (%o48) 6
%M (%i49) Fse : F(2,-2);
%M (%o49) 6
%M (%i50)      [Fm, Fnw, Fsw];
%M (%o50) \left[ -\left({\frac{17}{16}}\right) , 2 , 4 \right] 
%M (%i51) FD : [Fm, max(Fnw, Fsw)];
%M (%o51) \left[ -\left({\frac{17}{16}}\right) , 4 \right] 
%M (%i52) FC : [Fm, max(Fnw, Fsw, Fne, Fse)];
%M (%o52) \left[ -\left({\frac{17}{16}}\right) , 6 \right] 
%L maximahead:sa("Q1 n", "")
\pu

\scalebox{0.4}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{Q1 m}

}\anothercol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{Q1 n}

}}

\newpage


\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

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% ee-tla: "c3m242p2"
% End:
