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% (find-LATEX "2024-2-C3-topologia.tex") % (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2024-2-C3-topologia.tex" :end)) % (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2024-2-C3-topologia.tex" "Success!!!")) % (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2024-2-C3-topologia.pdf")) % (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2024-2-C3-topologia.pdf")) % (defun e () (interactive) (find-LATEX "2024-2-C3-topologia.tex")) % (defun o () (interactive) (find-LATEX "2024-1-C3-topologia.tex")) % (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2024-2-C3-topologia")) % (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d))) % (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2024-2-C3-topologia.pdf")) % (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g)) % (defun oe () (interactive) (find-2a '(o) '(e))) % (code-eec-LATEX "2024-2-C3-topologia") % (find-pdf-page "~/LATEX/2024-2-C3-topologia.pdf") % (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2024-2-C3-topologia.pdf /tmp/") % (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2024-2-C3-topologia.pdf /tmp/pen/") % (find-xournalpp "/tmp/2024-2-C3-topologia.pdf") % file:///home/edrx/LATEX/2024-2-C3-topologia.pdf % file:///tmp/2024-2-C3-topologia.pdf % file:///tmp/pen/2024-2-C3-topologia.pdf % http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C3-topologia.pdf % (find-LATEX "2019.mk") % (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2") % (find-Deps1-cps "Caepro5 Piecewise2 Maxima2") % (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2") % (find-MM-aula-links "2024-2-C3-topologia" "3" "c3m242to" "c3to") % «.defs» (to "defs") % «.defs-T-and-B» (to "defs-T-and-B") % «.defs-caepro» (to "defs-caepro") % «.defs-pict2e» (to "defs-pict2e") % «.defs-maxima» (to "defs-maxima") % «.defs-V» (to "defs-V") % «.title» (to "title") % «.links» (to "links") % % «.interior» (to "interior") % «.infinitas-bob» (to "infinitas-bob") % «.exercicio-5» (to "exercicio-5") % «.algumas-traducoes» (to "algumas-traducoes") % «.algumas-traducoes-2» (to "algumas-traducoes-2") % «.exercicio-6» (to "exercicio-6") % «.fecho» (to "fecho") % «.exercicio-7» (to "exercicio-7") % «.aviso-sobre-a-p2» (to "aviso-sobre-a-p2") % «.algumas-nots-novas» (to "algumas-nots-novas") % «.maximos-numa-elipse» (to "maximos-numa-elipse") \documentclass[oneside,12pt]{article} \usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref") \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{pict2e} \usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor") \usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb") %\usepackage{tikz} % % (find-LATEX "dednat7-test1.tex") %\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines) %\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines) %\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams % \usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty") \input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex") \input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex") \input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex") \input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex") % % (find-es "tex" "geometry") \usepackage[a6paper, landscape, top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot ]{geometry} % \begin{document} % «defs» (to ".defs") % (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors") % (find-LATEX "edrx21.sty") \def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C3.pdf} \def\drafturl{http://anggtwu.net/2024.2-C3.html} \def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}} % (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro") % (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e") \catcode`\^^J=10 \directlua{dofile "dednat7load.lua"} % (find-LATEX "dednat7load.lua") \directlua{dednat7preamble()} % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua") \directlua{dednat7oldheads()} % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua") % «defs-T-and-B» (to ".defs-T-and-B") \long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}} \def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}} \def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}} \def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}} \def\B (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}} % «defs-caepro» (to ".defs-caepro") %L dofile "Caepro5.lua" -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX") \def\Caurl #1{\expr{Caurl("#1")}} \def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}} \def\Ca #1{\Cahref{#1}{#1}} % «defs-pict2e» (to ".defs-pict2e") %L dofile "Piecewise2.lua" -- (find-LATEX "Piecewise2.lua") %L --dofile "Escadas1.lua" -- (find-LATEX "Escadas1.lua") \def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}} \def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}} \def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}} \celllower=2.5pt % «defs-maxima» (to ".defs-maxima") %L dofile "Maxima2.lua" -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua") \pu % «defs-V» (to ".defs-V") %L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V") %L V = MiniV %L v = V.fromab \pu \def\BA{\mathsf{B}} \def\BF{\overline{\mathsf{B}}} % _____ _ _ _ % |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___ % | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \ % | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/ % |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___| % |_| |___/ % % «title» (to ".title") % (c3m242top 1 "title") % (c3m242toa "title") \thispagestyle{empty} \begin{center} \vspace*{1.2cm} {\bf \Large Cálculo 3 - 2024.2} \bsk Aulas 24 a 26: abertos e fechados em $\R^2$ \bsk Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF \url{http://anggtwu.net/2024.2-C3.html} \end{center} \newpage % «links» (to ".links") % (c3m242top 2 "links") % (c3m242toa "links") {\bf Links} \scalebox{0.6}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{ % 3fT86: (c3m222topp 1 "title") % (c3m222topa "title") % 3hT150: (c3m232top 1 "title") % (c3m232toa "title") \par \Ca{3hT150} (2023.2) Versão anterior destes slides \ssk % «links-bortolossi» (to ".links-bortolossi") % (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "121" "4. Continuidade, noções de topologia...") % (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "121" "4.1. Porque contínuas são importantes") % (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "129" "4.3. Weierstrass em n variáveis") % (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "139" "distância euclidiana") % (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "142" "bola aberta") % (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "148" "conjunto aberto") \par \Ca{Bort4p1} (p.121) 4 Continuidade, noções de topologia e o teorema de Weierstrass \par \Ca{Bort4p1} (p.121) 4.1 Porque funções contínuas são importantes? \par \Ca{Bort4p9} (p.129) 4.3 O teorema de Weierstrass no caso com $n$ variáveis \par \Ca{Bort4p19} (p.139) Distância euclidiana \par \Ca{Bort4p22} (p.142) definição de bola aberta \par \Ca{Bort4p28} (p.148) definição de conjunto aberto }\anothercol{ }} \newpage {\bf Introdução} Dê uma olhada no capítulo 4 do Bortolossi... Comece pela seção 4.1, ``Por que funções contínuas são importantes'', depois leia a seção 4.3, sobre o Teorema de Weirstrass em $n$ variáveis, e relembre a definição de distância euclidiana na p.139. \msk Nós vamos começar entendendo as definições das páginas 142 até 148, e vamos reescrevê-las de um jeito bem mais curto. \msk Nós vamos ver como fazer hipóteses sobre os exercícios dos próximos dois slides, como testar essas hipóteses, e como descartar as hipóteses erradas. \newpage % «nove-subconjuntos» (to ".nove-subconjuntos") % (c3m211afp 3 "nove-subconjuntos") % (c3m211afa "nove-subconjuntos") {\bf Nove subconjuntos de $\R^2$} (Compare com a p.130 do Bortolossi...) \msk \def\eee{\text{\; e \;}} Sejam: % $$\begin{array}{rcl} C_1 &=& \setofxyst{ 2<y≤3 }, \\ C_2 &=& \setofxyst{ 2<y≤3 \eee 1≤x<4 }, \\ C_3 &=& \setofxyst{ d((x,y),(1,2))≤2 }, \\ C_4 &=& \setofxyst{ 1<d((x,y),(1,2))≤2 }, \\ C_5 &=& \setofxyst{ d((x,y),(1,2))≤2 \eee 1<x }, \\ C_6 &=& \setofxyst{ y>x }, \\ \end{array} $$ \def\vc#1{\myvcenter{#1}} $$ % (find-latexscan-links "C3" "20210908_C_6") % (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210908_C_6.pdf") C_7 \;=\; \vc{\includegraphics[height=2cm]{2021-1-C3/20210908_C_6.pdf}}, % \quad % % (find-latexscan-links "C3" "20210908_C_7") % (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210908_C_7.pdf") C_8 \;=\; \vc{\includegraphics[height=2cm]{2021-1-C3/20210908_C_7.pdf}}, % \quad % % (find-latexscan-links "C3" "20210908_C_9") % (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210908_C_9.pdf") C_9 \;=\; \vc{\includegraphics[height=2cm]{2021-1-C3/20210908_C_9.pdf}}. $$ \newpage % «exercicios-1-e-2» (to ".exercicios-1-e-2") % (c3m222topp 4 "exercicios-1-e-2") % (c3m222topa "exercicios-1-e-2") % (c3m211afp 4 "exercicios-1-e-2") % (c3m211afa "exercicios-1-e-2") {\bf Exercício 1.} %\msk Represente graficamente os conjuntos $C_1, \ldots, C_6$. \bsk {\bf Exercício 2.} %\msk Represente os conjuntos $C_7$, $C_8$, $C_9$ em ``notação de conjuntos'' --- isto é, na forma $\setofxyst{\ldots}$. \newpage % «bolas» (to ".bolas") % (c3m211afp 5 "bolas") % (c3m211afa "bolas") {\bf Bolas abertas e fechadas} Se $P$ é um ponto de $\R^n$ então a {\sl bola fechada de raio $ε$ em torno de $P$}, $\BF_ε(P)$, e a {\sl bola aberta de raio $ε$ em torno de $P$}, $\BA_ε(P)$, são definidas assim: % $$\begin{array}{rcl} \BF_ε(P) &=& \setofst{Q∈\R^n}{d(P,Q)≤ε} \\ \BA_ε(P) &=& \setofst{Q∈\R^n}{d(P,Q)<ε} \\ \end{array} $$ \msk Por exemplo, se $P=6∈\R^1$ então: % $$\scalebox{0.85}{$ \begin{array}{rcl} \BF_2(6) &=& \setofst{Q∈\R^1}{d(6,Q)≤2} \\ &=& \setofst{x∈\R}{d(6,x)≤2} \\ &=& \setofst{x∈\R}{\sqrt{(6-x)^2}≤2} \\ &=& \setofst{x∈\R}{ |x-6| ≤2} \\ &=& \setofst{x∈\R}{-2 ≤ x-6 ≤2} \\ &=& \setofst{x∈\R}{-2+6 ≤ x ≤2+6} \\ &=& [4,8] \\ \end{array} $} $$ \newpage % «exercicio-3» (to ".exercicio-3") % (c3m211afp 6 "exercicio-3") % (c3m211afa "exercicio-3") {\bf Exercício 3.} Represente graficamente: \msk a) $\BF_1((2,2))$, b) $\BA_1((2,2))$. \msk Dica: estes conjuntos vão parecer muito mais com ``bolas de verdade'' do que o conjunto $\BF_2(6)$ do slide anterior. \bsk Lembre que a gente desenha a fronteira de um conjunto tracejada quando a gente quer indicar que os pontos da fronteira não pertencem ao conjunto e a gente desenha ela sólida quando quer indicar que os pontos dela pertencem ao conjunto. Veja os desenhos dos conjuntos $C_8$ e $C_9$. \newpage % «exercicio-4» (to ".exercicio-4") % (c3m211afp 7 "exercicio-4") % (c3m211afa "exercicio-4") {\bf Exercício 4.} Aqui você vai ter que ser capaz de visualizar bolas sobrepostas a conjuntos que você já desenhou sem desenhar estas bolas. Diga se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. \msk a) $\BA_{0.1} ((0, 2.5))⊆C_1$ b) $\BA_{0.5} ((0, 2.5))⊆C_1$ c) $\BF_{0.5} ((0, 2.5))⊆C_1$ d) $\BA_{0.1} ((1, 3))⊆C_2$ e) $\BA_{0.1} ((2.5, 2.5))⊆C_2$ f) $\BA_{1} ((2, 2))⊆C_3$ g) $\BF_{1} ((2, 2))⊆C_3$ h) $\BA_{0.5} ((1, 0.5))⊆C_4$ i) $\BA_{0.1} ((0.5, 2))⊆C_5$ j) $\BA_{0.001} ((1.1, 1.01))⊆C_8$ \newpage % «interior» (to ".interior") % (c3m242top 9 "interior") % (c3m242toa "interior") % (c3m222topp 9 "interior") % (c3m222topa "interior") % (c3m211afp 8 "interior") % (c3m211afa "interior") {\bf O interior de um conjunto (e conjuntos abertos)} Def: o {\sl interior} de um conjunto $A⊂\R^n$, $\Int(A)$, é definido como: % $$\Int(A) \;\;=\;\; \setofst{P∈A}{∃ε>0.\, \BA_ε(P)⊆A}.$$ Note que isto sempre é verdade: $\Int(A)⊂A$. Dizemos que um conjunto $A$ é {\sl aberto} quando $A⊂\Int(A)$. \newpage % «infinitas-bob» (to ".infinitas-bob") % (c3m242top 10 "infinitas-bob") % (c3m242toa "infinitas-bob") % (c3m222topp 10 "infinitas-bob") % (c3m222topa "infinitas-bob") {\bf Infinitas operações / seja com o Bob} Pra entender a definição de interior e as próximas você vai precisar fazer um número infinito de operações pra chegar no resultado, e pra isso você vai ter que usar algumas técnicas que nós vimos em Cálculo 2 no semestre passado. Os links abaixo vão pras versões deste semestre do material sobre essas técnicas, que ficou bem melhor do que o do semestre passado. \msk Veja este PDF, a partir da página 11 dele: {\footnotesize % (c2m222srp 11 "set-comprehensions") % (c2m222sra "set-comprehensions") % http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C2-somas-de-riemann.pdf \url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C2-somas-de-riemann.pdf} % 2fT70: (c2m222srp 11 "set-comprehensions") % (c2m222sra "set-comprehensions") % 2hT130: (c2m232srp 20 "um-jogo-2") % (c2m232sra "um-jogo-2") % 2hT134: (c2m232srp 24 "def-inf-e-sup") % (c2m232sra "def-inf-e-sup") %\par \Ca{2fT70} ``Set comprehensions'' %\par \Ca{2hT130} Um jogo colaborativo (2) } \ssk e relembre as definições de inf e sup daqui: {\footnotesize % (c2m222tfcsp 1) % http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C2-TFC1-e-TFC2.pdf \url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-2-C2-TFC1-e-TFC2.pdf} } % (c2m222tfcsp 1 "title") % (c2m222tfcsa "title") \newpage % «exercicio-5» (to ".exercicio-5") % (c3m242top 11 "exercicio-5") % (c3m242toa "exercicio-5") % (c3m211afp 9 "exercicio-5") % (c3m211afa "exercicio-5") {\bf Exercício 5.} Seja $A = [2,4] ⊂ \R^1$. Verifique que $A$ não é aberto usando a definição do slide anterior. Dica: como $A = [2,4]$, dá pra começar por: % \def\iff{\Leftrightarrow} % $$\begin{array}{lrcl} & A & \multicolumn{2}{l}{\text{não é aberto}} \\ \iff \ph{m} & A & \not⊂ & \Int(A) \\ \iff & A & \not⊂ & \setofst{P∈A}{∃ε>0.\, \BA_ε(P)⊆A} \\ \iff & [2,4] & \not⊂ & \setofst{P∈[2,4]}{∃ε>0.\, \BA_ε(P)⊆[2,4]} \\ \end{array} $$ \msk Pros passos seguintes você vai precisar usar muitas das ``traduções'' dos próximos dois slides. \newpage % «algumas-traducoes» (to ".algumas-traducoes") % (c3m242top 12 "algumas-traducoes") % (c3m242toa "algumas-traducoes") % (c3m211afp 14 "algumas-traducoes") % (c3m211afa "algumas-traducoes") {\bf Algumas traduções} \def\iff{\Leftrigharrow} $$\begin{array}{rcl} A⊂B &=& ∀a∈A. a∈B \\ A=B &=& (A⊂B)∧(B⊂A) \\ ¬(P∧Q) &=& ¬P∨¬Q \\ ¬(P∨Q) &=& ¬P∧¬Q \\ ¬(∀a∈A.P(a)) &=& ∃a∈A.¬P(a) \\ ¬(∃a∈A.P(a)) &=& ∀a∈A.¬P(a) \\ x∈\setofst{a∈A}{P(a)} &=& x∈A∧P(x) \\ ¬(P→Q) &=& P∧¬Q \\ \relax [20,42) &=& \setofst{x∈\R}{20≤x<42} \\ 20≤x<42 &=& 20≤x ∧ x<42 \\ \end{array} $$ \bsk Lembre que `$∧$' é ``e'', `$∨$' é ``ou'', `$¬$' é ``não'', `$→$' é ``implica''. \newpage % «algumas-traducoes-2» (to ".algumas-traducoes-2") % (c3m242top 13 "algumas-traducoes-2") % (c3m242toa "algumas-traducoes-2") % (c3m211afp 15 "algumas-traducoes-2") % (c3m211afa "algumas-traducoes-2") {\bf Alguns exemplos de traduções} $$\begin{array}{l} [a,b] ⊂ [20, 42) \\ = \;\; ∀x∈[a,b]. x∈[20, 42) \\ = \;\; ∀x∈[a,b]. 20≤x<42 \\ = \;\; ∀x∈\R. x∈[a,b] → 20≤x<42 \\ = \;\; ∀x∈\R. a≤x≤b → 20≤x<42 \\[10pt] % ¬([a,b] ⊂ [20, 42)) \\ = \;\; ¬(∀x∈\R. a≤x≤b → 20≤x<42) \\ = \;\; ∃x∈\R. ¬(a≤x≤b → 20≤x<42) \\ = \;\; ∃x∈\R. ¬(a≤x≤b)∧(20≤x<42) \\ = \;\; ∃x∈\R. ¬(a≤x ∧ x≤b)∧(20≤x<42) \\ = \;\; ∃x∈\R. (¬(a≤x) ∨ ¬(x≤b))∧(20≤x<42) \\ = \;\; ∃x∈\R. (x<a ∨ b<x)∧(20≤x<42) \\ \end{array} $$ % (c3q192 18 "20190920" "Subconjuntos de R2; fecho e interior") % (c3q192 19 "20190926" "Abertos e fechados; imagem inversa; Teorema de Weierstrass; triangulo e xy") % (c3q192 20 "20190927" "Mais imagem inversa e Teorema de Weierstrass") \newpage % «exercicio-6» (to ".exercicio-6") % (c3m242top 14 "exercicio-6") % (c3m242toa "exercicio-6") % (c3m211afp 10 "exercicio-6") % (c3m211afa "exercicio-6") {\bf Exercício 6.} \ssk Represente graficamente: \ssk a) $\Int(C_8)$, b) $\Int(C_4)$, c) $\Int(C_5)$, d) $\Int(\BA_1((2,2)))$. \newpage % «fecho» (to ".fecho") % (c3m242top 15 "fecho") % (c3m242toa "fecho") % (c3m211afp 11 "fecho") % (c3m211afa "fecho") {\bf O fecho de um conjunto (e conjuntos fechados)} Def: o {\sl fecho} de um conjunto $A⊂\R^2$, $\ovl{A}$, é definido como: % $$\ovl{A} \;\;=\;\; \setofst{P∈\R^2}{∀ε>0.\, \BA_ε(P)∩A \neq ∅}$$ Compare com a definição do interior: % $$\Int(A) \;\;=\;\; \setofst{P∈A}{∃ε>0.\, \BA_ε(P)⊆A}.$$ Isto aqui sempre é verdade: $A ⊂ \ovl{A}$. Quando $\ovl{A} ⊂ A$ dizemos que $A$ é um conjunto {\sl fechado}. \newpage % «exercicio-7» (to ".exercicio-7") % (c3m242top 16 "exercicio-7") % (c3m242toa "exercicio-7") % (c3m211afp 12 "exercicio-7") % (c3m211afa "exercicio-7") % (find-LATEXgrep "grep --color=auto -niH --null -e bounds 2022*.tex") %L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(3,2)) %L spec = "(1,1)o--(2,1)c" %L pws = PwSpec.from(spec) %L curve = pws:topict() %L p = Pict { curve:prethickness("2pt") } %L p:pgat("pgatc"):preunitlength("15pt"):sa("Exercicio 7"):output() \pu {\bf Exercício 7.} \unitlength=20pt Digamos que: % $$D_1 \;\;=\;\; \ga{Exercicio 7} $$ \msk Represente graficamente: a) $\ovl{C_8}$ b) $\ovl{D_1}$ c) $\Int(D_1)$ \newpage % «aviso-sobre-a-p2» (to ".aviso-sobre-a-p2") % (c3m242top 17 "aviso-sobre-a-p2") % (c3m242toa "aviso-sobre-a-p2") {\bf Um aviso sobre a P2 (de 2021.2)} Em quase todos os problemas deste PDF é muito mais fácil mostrar que uma resposta está errada do que mostrar que ela está certa... e o método pra mostrar que uma resposta está errada vai ser um dos assuntos principais da P2. \msk % (Vou explicar ele daqui a pouco!) % (find-bortolossi4page) % (find-bortolossi4page (+ -120 121) "Cap 4") % (find-bortolossi4page (+ -120 121) "4.1. Porque contínuas são importantes") % (find-bortolossi4page (+ -120 123) "4.2. Continuidade em várias variáveis") % (find-bortolossi4page (+ -120 129) "4.3. Weierstrass em n variáveis") % (find-bortolossi4page (+ -120 139) "distância euclidiana") % (find-bortolossi4page (+ -120 142) "bola aberta") % (find-bortolossi4page (+ -120 142) "bola fechada") % (find-bortolossi4page (+ -120 143) "conjunto limitado") % (find-bortolossi4page (+ -120 143) "ponto de fronteira") % (find-bortolossi4page (+ -120 144) "fronteira de um conjunto") % (find-bortolossi4page (+ -120 145) "conjunto fechado") % (find-bortolossi4page (+ -120 146) "conjunto compacto") % (find-bortolossi4page (+ -120 147) "o teorema de Weierstrass") % (find-bortolossi4page (+ -120 148) "ponto interior") % (find-bortolossi4page (+ -120 148) "conjunto aberto") % (find-bortolossi4page (+ -120 151) "4.4. Exercícios") \newpage % «algumas-nots-novas» (to ".algumas-nots-novas") % (c3m242top 18 "algumas-nots-novas") % (c3m242toa "algumas-nots-novas") % (c3m222topp 10 "algumas-nots-novas") % (c3m222topa "algumas-nots-novas") {\bf Imagem inversa} \scalebox{0.55}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{ Algumas das igualdades abaixo são definições, as outras são exemplos. % $$\begin{array}{rcl} H(x,y) &=& xy \\ H_I &=& \setofxyst{H(x,y)∈I} \\ H_{[a,b]} &=& \setofxyst{H(x,y)∈[a,b]} \\ H_{[0,1]} &=& \setofxyst{H(x,y)∈[0,1]} \\ H^{-1}(a) &=& \setofxyst{H(x,y)=a} \\ H^{-1}(I) &=& \setofxyst{H(x,y)∈I} \\ H^{-1}([0,1]) &=& \setofxyst{H(x,y)∈[0,1]} \\ &=& H_{[0,1]} \\ \end{array} $$ \bsk {\bf Exercício 8.} Represente graficamente: % $$\begin{array}{rcl} C_{1} &=& H^{-1}(0) \\ C_{2} &=& H^{-1}(1) \\ C_{3} &=& H^{-1}([0,1]) \\ C_{4} &=& H^{-1}((0,1))\\ C_{5} &=& \Int(C_3)\\ C_{6} &=& \overline{C_4} \\ C_{7} &=& H^{-1}(4) \\ C_{8} &=& H^{-1}([0,4]) \\ C_{9} &=& \setofxyst{1≤x \text{ e } 1≤y} \\ C_{10} &=& C_8∩C_9 \\ \end{array} $$ }\anothercol{ {\bf Conjuntos limitados e compactos} Um conjunto $C∈\R^2$ é {\sl limitado} quando ele obedece isto: % $$∃r∈\R.\,C⊂B_r((0,0))$$. Um conjunto $C∈\R^2$ é {\sl compacto} quando ele é fechado e limitado. \bsk \bsk \bsk {\bf Exercício 9.} Preencha a tabela abaixo com `$\True$'s e `$\False$'s. \bsk $\begin{array}{lcccccccccc} & C_1 & C_2 & C_3 & C_4 & C_5 & C_6 & C_7 & C_8 & C_{10} \\ \text{é aberto} \\ \text{é fechado} \\ \text{é limitado} \\ \text{é compacto} \\ \end{array} $ }} \newpage % «maximos-numa-elipse» (to ".maximos-numa-elipse") % (c3m242top 19 "maximos-numa-elipse") % (c3m242toa "maximos-numa-elipse") % (c3m222topp 19 "maximos-numa-elipse") % (c3m222topa "maximos-numa-elipse") {\bf Máximos numa elipse} \scalebox{0.52}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{ Dê uma olhada nas figuras das páginas 355 e 356 do Bortolossi, no capítulo 10 dele: \ssk {\scriptsize % (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi") % (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "na borda da elipse") % (find-bortolossi10page (+ -350 355) "máximos de x^2+y^2 numa elipse") % (find-bortolossi10page (+ -350 356) "máximos de x^2+y^2 na borda da elipse") % http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-10.pdf \url{http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-10.pdf\#page=5} \url{http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-10.pdf\#page=6} } Ele usa: % $$\begin{array}{rcl} f(x,y) &=& x^2+y^2 \\ g(x,y) &=& \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9} \\ D_2 &=& \setofxyst{g(x,y)≤1} \\ D_3 &=& \setofxyst{g(x,y)=1} \\ \end{array} $$ $D_2$ é uma elipse ``cheia'' incluindo o interior dela, e $D_3$ é só a fronteira de $D_2$. Note que $(-2,0),(2,0),(0,3),(0,-3)∈D_3$. \bsk {\bf Exercício 10.} a) Desenhe algumas curvas de nível de $f(x,y)$. \msk b) Na página 354 o Bortolossi desenha curvas de nível dentro de um quadrado. Desenhe algumas curvas de nível de $f(x,y)$ dentro da ``elipse cheia'' $D_2$. \msk c) Tente descobrir {\sl no olhômetro} quais são os máximos e mínimos de $f(x,y)$ em $D_2$. Dica: o Bortolossi leva várias páginas fazendo isso --- leia o texto dele! }\anothercol{ {\bf Dica:} o objetivo do item (c) é você aprender a resolver só com curvas de nível as idéias que o Bortolossi apresenta usando figuras em 3D. Se você não conseguir fazer a tradução das figuras 3D pra curvas de nível direto você pode começar desenhando ``cortes'' sobre as figuras 3D, como na questão do mini-teste 1 de 2020.2: \ssk {\scriptsize % (c3m202tudop 83 "title") % (c3m202tudoa "title") % http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C3-tudo.pdf#page=83 \url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C3-tudo.pdf\#page=83} } \bsk ...e repare que quando o Bortolossi chega no capítulo 12 ele passa a usar quase só curvas de nível e gradientes --- ele praticamente abandona as figuras 3D: \ssk {\scriptsize % (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi") % (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "12. Otimização com") % http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-12.pdf \url{http://angg.twu.net/2019.2-C3/Bortolossi/bortolossi-cap-12.pdf} } }} \GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv' \end{document} % (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2024-2-C3-topologia") % Local Variables: % coding: utf-8-unix % ee-tla: "c3to" % ee-tla: "c3m242to" % End: