% (find-LATEX "2024-2-C3-trajetorias.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2024-2-C3-trajetorias.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2024-2-C3-trajetorias.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2024-2-C3-trajetorias.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2024-2-C3-trajetorias.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2024-2-C3-trajetorias.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2024-1-C3-trajetorias.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2024-2-C3-trajetorias"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2024-2-C3-trajetorias.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
%          (code-eec-LATEX "2024-2-C3-trajetorias")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2024-2-C3-trajetorias.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-2-C3-trajetorias.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2024-2-C3-trajetorias.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2024-2-C3-trajetorias.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2024-2-C3-trajetorias.pdf
%               file:///tmp/2024-2-C3-trajetorias.pdf
%           file:///tmp/pen/2024-2-C3-trajetorias.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C3-trajetorias.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2024-2-C3-trajetorias" "3" "c3m242traj" "c3tr")

% «.defs»		(to "defs")
% «.defs-T-and-B»	(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»	(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»	(to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima»	(to "defs-maxima")
% «.defs-V»		(to "defs-V")
% «.title»		(to "title")
% «.links»		(to "links")
%
% «.introducao-2021.2»		(to "introducao-2021.2")
% «.vetores»			(to "vetores")
% «.primeiros-objetivos»	(to "primeiros-objetivos")
% «.convencao-de-GA-e-de-AL»	(to "convencao-de-GA-e-de-AL")
% «.vetores-como-setas»		(to "vetores-como-setas")
% «.convencao-temporaria»	(to "convencao-temporaria")
% «.convencao-temporaria-2»	(to "convencao-temporaria-2")
% «.parabolas-intro»		(to "parabolas-intro")
% «.exercicio-1»		(to "exercicio-1")
% «.exercicio-2»		(to "exercicio-2")
% «.exercicio-3»		(to "exercicio-3")
% «.exercicio-4»		(to "exercicio-4")
% «.introducao-2022.2»		(to "introducao-2022.2")
% «.video-splines»		(to "video-splines")
% «.traco»			(to "traco")
%   «.exercicio-5»		(to "exercicio-5")
% «.exercicio-6»		(to "exercicio-6")
% «.adivinhar-trajetorias»	(to "adivinhar-trajetorias")
% «.lissajous»			(to "lissajous")
% «.exercicio-7»		(to "exercicio-7")
% «.exercicio-8»		(to "exercicio-8")
% «.orbita»			(to "orbita")
%   «.exercicio-9»		(to "exercicio-9")
% «.orbita-2»			(to "orbita-2")
% «.bico-e-teleporte»		(to "bico-e-teleporte")



\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2024-2-C3.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2024.2-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"}  % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()}         % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()}         % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua"           -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

% «defs-maxima»  (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu

% «defs-V»  (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu


%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c3m242trajp 1 "title")
% (c3m242traja   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 3 - 2024.2}

\bsk

Aulas 2 a 9: trajetórias

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2024.2-C3.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c3m242trajp 2 "links")
% (c3m242traja   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "acker")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "acker" "37" "9 Equações paramétricas")
Felipe Acker:
\par \Ca{AckerGA1p53} 9. Equações paramétricas
\ssk
\par \Ca{AckerGA1},
     \Ca{AckerGA2},
     \Ca{AckerGA3},
     \Ca{AckerGA4}
\par \url{http://anggtwu.net/acker/README.html}

\msk

Bortolossi:
\par \Ca{Bort6} 6. curvas parametrizadas

\msk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "576" "10.1 Curvas Definidas por")
Stewart:
\par \Ca{StewPtCap10p5} 10. Equações paramétricas e coordenadas polares
\par \Ca{StewPtCap10p9} (p.579) Figuras 10, 11 e 12

\msk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "17 618" "Limaçon")
Leithold:
\par \Ca{Leit10} 10. Seções cônicas e coordenadas polares
\par \Ca{Leit10p43} (p.618) Limaçon

\bsk
\bsk
\bsk

% (c3m222introp 1 "title")
% (c3m222introa   "title")
%\par \Ca{3fT1} Versão anterior destes slides

% (c3m211vtp 3 "exercicio-1")
% (c3m211vta   "exercicio-1")

}\anothercol{
}}

\newpage

% «introducao-2021.2»  (to ".introducao-2021.2")
% (c3m242trajp 3 "introducao-2021.2")
% (c3m242traja   "introducao-2021.2")
% (c3m241trajp 3 "introducao-2021.2")
% (c3m241traja   "introducao-2021.2")
% (c3m212introp 2 "neste-semestre")
% (c3m212introa   "neste-semestre")

{\bf Introdução antiga (2021.2)}

\scalebox{0.55}{\def\colwidth{9.5cm}\firstcol{

Desta vez um dos objetivos principais do curso vai ser a gente
aprender a visualizar muitas coisas em 3D ou de cabeça ou fazendo umas
pouquinhas contas e desenhos no papel. Pra isso a gente vai treinar
fazer ``desenhos tortos que todo mundo entenda'' -- porque fazer
desenhos à mão livre medindo tudo no olhômetro costuma ser bem mais
rápido do que fazer desenhos com régua -- e em TODOS os exercícios que
eu vou passar durante o curso as contas são simples o suficiente pra
poderem ser feitas meio de cabeça e meio no papel.

\msk

Em Cálculo 2 você muitas vezes teve que desenhar figuras feitas de 4,
8, ou 16 retângulos, e aí você levava 5 minutos pra entender como
desenhar o primeiro retângulo, depois só um minuto pra desenhar o
segundo, e aos poucos você entendia o padrão, e no final você
desenhava cada retângulo em menos de 5 segundos -- e aí você conseguia
{\sl visualizar} como seria a figura correspondente com 256, 512 ou
1024 retângulos, e você passava a conseguir visualizar certos
somatórios a partir das fórmulas deles, sem precisar desenhar as
figuras correspondentes a eles.

\ssk


}\anothercol{

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "113" "[24] Faça a associação destas curvas")

Nos exercícios deste PDF você vai desenhar parábolas a partir de 5
pontos delas, e você vai tentar ``adivinhar'' o resto da parábola a
partir destes poucos pontos. O modo matematicamente correto de fazer
isto seria como o Bortolossi faz em alguns exercícios; dê uma olhada
nas páginas 113 e 114 dele. O exercício [24] da página 113 dá seis
fórmulas e seis gráficos -- os gráficos estão na página seguinte -- e
ele pede pra você descobrir qual fórmula corresponde a qual gráfico...

\ssk

\par \Ca{Bort3p35} (p.113) Exercício [24]
\par \Ca{Bort3p37} (p.114) Figuras pro exercício 24

\msk

Neste curso eu vou passar um monte de exercícios com enunciados como
``tente adivinhar o gráfico da equação tal''. Eu vou usar a expressão
``\ColorRed{tente adivinhar}'' pra enfatizar que o que a gente vai
fazer não é totalmente formal: a partir de 5 pontos a gente consegue
fazer uma ``hipótese razoável'' de como é o formato de uma parábola, a
partir de 20 pontos dessa parábola a gente conseguiria fazer uma
hipótese melhor de como ela é, e calculando um milhão de pontos dela a
gente conseguiria fazer um desenho bem mais preciso dela... só que a
gente quer aprender a fazer desenhos bons o suficiente a partir de
contas que a gente possa fazer na mão!...

  % (find-bortolossi3page (+ -78 113)   "[24] Faça a associação destas curvas")


    % (c3m211vtp 6 "sobre-adivinhar-trajetorias")
    % (c3m211vta   "sobre-adivinhar-trajetorias")


}}



\newpage

% «vetores»  (to ".vetores")
% (c3m242trajp 4 "vetores")
% (c3m242traja    "vetores")
% (c3m241trajp 4 "vetores")
% (c3m241traja    "vetores")
% (c3m212introp 3 "introducao")
% (c3m212introa   "introducao")


\newpage


{\bf Introdução ao curso}

Cálculo 3 é principalmente sobre:

\begin{enumerate}

\item funções de $\R$ em $\R^2$ -- que o Bortolossi costuma chamar de
  \ColorRed{curvas parametrizadas}, mas nós vamos chamar de
  \ColorRed{trajetórias}, e

\item funções de $\R^2$ em $\R$, que vão gerar \ColorRed{superfícies}.

\end{enumerate}

Depois que nós aprendermos o suficiente sobre (1) e (2) nós vamos
poder lidar com coisas um pouco mais gerais, como funções $F:A→\R^n$,
onde $A⊆\R^n$ é um \ColorRed{conjunto aberto}.

\newpage

% «primeiros-objetivos»  (to ".primeiros-objetivos")
% (c3m242trajp 5 "primeiros-objetivos")
% (c3m242traja    "primeiros-objetivos")
% (c3m212introp 3 "primeiros-objetivos")
% (c3m212introa   "primeiros-objetivos")

{\bf Nossos primeiros objetivos vão ser:}

\begin{enumerate}

\item Aprender a representar graficamente algumas trajetórias, usando
  a idéia de \ColorRed{traço} do Bortolossi (cap.6, p.188), mas
  escrevendo algumas informações a mais, como ``$t=0$'' e ``$t=1$'' em
  alguns pontos,

\item Calcular e representar graficamente \ColorRed{vetores tangentes}
  a trajetórias (``\ColorRed{vetores velocidade}''),

\item Entender \ColorRed{vetores secantes} (cap.6, p.199),

\item Entender \ColorRed{aproximações de primeira ordem} pra
  trajetórias, que dão \ColorRed{retas parametrizadas}, e depois
  \ColorRed{aproximações de segunda ordem}, que vão dar
  \ColorRed{parábolas parametrizadas}.

\end{enumerate}

...mas hoje nós vamos fazer uma revisão de algumas idéias de GA.

\newpage

% «convencao-de-GA-e-de-AL»  (to ".convencao-de-GA-e-de-AL")
% (c3m242trajp 6 "convencao-de-GA-e-de-AL")
% (c3m242traja   "convencao-de-GA-e-de-AL")
% (c3m241trajp 6 "convencao-de-GA-e-de-AL")
% (c3m241traja   "convencao-de-GA-e-de-AL")
% (c3m212introp 5 "convencao-de-GA-e-de-AL")
% (c3m212introa   "convencao-de-GA-e-de-AL")
% (c3m202introp 4 "convencao-de-GA-e-de-AL")
% (c3m202intro    "convencao-de-GA-e-de-AL")
% (c3m201introp 4 "convencao-de-GA-e-de-AL")
% (c3m201intro    "convencao-de-GA-e-de-AL")

Você já deve ter visto estas duas convenções diferentes para
representar pontos e vetores... am \ColorRed{Álgebra Linear} tanto
pontos quanto vetores em $\R^2$ são representados como matrizes-coluna
de altura 2:
%
$$\pmat{2\\3} + \pmat{40\\50} = \pmat{42\\53}$$
%
e em \ColorRed{Geometria Analítica} pontos e vetores são escritos de
forma diferente -- vetores têm uma seta em cima -- e representados
graficamente de formas diferentes...
%
$$(2,3) + \VEC{40,50} = (42,53)$$
%


\newpage

% «vetores-como-setas»  (to ".vetores-como-setas")
% (c3m242trajp 7 "vetores-como-setas")
% (c3m242traja   "vetores-como-setas")
% (c3m241trajp 7 "vetores-como-setas")
% (c3m241traja   "vetores-como-setas")
% (c3m212introp 6 "vetores-como-setas")
% (c3m212introa   "vetores-como-setas")
% (c3m211introp 5 "vetores-como-setas")
% (c3m211introa   "vetores-como-setas")

{\bf Vetores como setas}

Um \ColorRed{ponto} $(a,b)$ é interpretado graficamente como um ponto
$(a,b)$ de $\R^2$, e um \ColorRed{vetor} $\VEC{c,d}$ é interpretado
como um \ColorRed{deslocamento}, e desenhado como uma \ColorRed{seta}.

Se o vetor $\VEC{c,d}$ aparece sozinho a representação gráfica dele é
\ColorRed{qualquer} seta que anda $c$ unidades pra direita e $d$
unidades pra cima. Às vezes a gente pensa que $\VEC{c,d}$ é o conjunto
de {\sl todas} as setas assim -- o conjunto de todas as setas
``equipolentes'' a esta; veja a p.9 do livro do CEDERJ.

\bsk

Link:

\ssk

\Ca{DFES1p10} CEDERJ, Geometria Analítica 1 (p.9)

\newpage

% «convencao-temporaria»  (to ".convencao-temporaria")
% (c3m242trajp 8 "convencao-temporaria")
% (c3m242traja   "convencao-temporaria")
% (c3m212introp 7 "convencao-temporaria")
% (c3m212introa   "convencao-temporaria")
% (c3m211introp 6 "convencao-temporaria")
% (c3m211introa   "convencao-temporaria")

{\bf Uma convenção (temporária)}

O \ColorRed{resultado} da expressão $(a,b)+\VEC{c,d}$ é o ponto
$(a+c,b+d)$,

mas a representação gráfica dele vai ser:

1) o ponto $(a,b)$,

2) uma seta indo de $(a,b)$ para $(a+c,b+d)$,

3) o ponto $(a+c,b+d)$,

4) anotações dos lados dos pontos $(a,b)$ e $(a+c,b+d)$ dizendo os
``nomes'' destes pontos e uma anotação do lado da seta $\VEC{c,d}$
dizendo o seu ``nome'' --- como nos dois exemplos abaixo (oops! Falta
fazer os desenhos!):

\msk

(pôr o desenho aqui)

\msk

Nesta aula vai ser obrigatório pôr todos os nomes, mas nas outras não.

\newpage

% «convencao-temporaria-2»  (to ".convencao-temporaria-2")
% (c3m242trajp 9 "convencao-temporaria-2")
% (c3m242traja   "convencao-temporaria-2")

A representação gráfica de

\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{\textstyle#2}}
\def\Red#1{\ColorRed{#1}}

$$((1,1) + \VEC{2,0}) + \VEC{1,2} = (1,1) + (\VEC{2,0} + \VEC{1,2})$$

Vai ser um triângulo feito de três pontos e três setas -- os que estão
em vermelho aqui:

$$\und{(\und{\Red{(1,1)} + \Red{\VEC{2,0}}}{\Red{(3,1)}}) + \Red{\VEC{1,2}}}{\Red{(4,3)}} =
  \und{\Red{(1,1)} + (\und{\VEC{2,0} + \VEC{1,2}}{\Red{\VEC{3,2}}})}{\Red{(4,3)}}
$$

O objetivo do próximo exercício é você relembrar como representar
graficamente certas expressões com pontos e vetores usando quase só o
olhômetro, quase sem fazer contas.

% \fbox{Veja o vídeo!}

\newpage

% «parabolas-intro»  (to ".parabolas-intro")
% (c3m242trajp 10 "parabolas-intro")
% (c3m242traja    "parabolas-intro")
% (c3m241trajp 10 "parabolas-intro")
% (c3m241traja    "parabolas-intro")
% (c3m212introp 9 "parabolas-intro")
% (c3m212introa   "parabolas-intro")

{\bf Desenhando parábolas (quase) no olhômetro}

\scalebox{1.0}{\def\colwidth{10.5cm}\firstcol{

Digamos que conhecemos $A$, $\vv$, e $\ww$. Então a trajetória
%
$$P(t) = A + t\vv + t^2\ww$$
%
é uma parábola -- e queremos aprender a desenhar os 5 pontos mais
fáceis dela, que são $P(0)$, $P(1)$, $P(-1)$, $P(2)$, $P(-2)$, usando
o máximo de olhômetro e o mínimo possível de contas...

}\anothercol{
}}



% \msk
% \fbox{Veja o vídeo!}

\newpage

% «exercicio-1»  (to ".exercicio-1")
% (c3m242trajp 11 "exercicio-1")
% (c3m242traja    "exercicio-1")
% (c3m241trajp 11 "exercicio-1")
% (c3m241traja    "exercicio-1")
% (c3m212introp 10 "exercicio-1")
% (c3m212introa    "exercicio-1")
% (c3m211introp 9 "exercicio-1")
% (c3m211introa   "exercicio-1")

{\bf Exercício 1: desenhando parábolas (quase) no olhômetro}

1) Sejam $A=(3,1)$, $\vv = \VEC{1,0}$, $\ww = \VEC{0,1}$.

Represente graficamente \ColorRed{num gráfico só}:

a) $A$

b) $(A+\vv)+\ww$

c) $(A+\ww)+\vv$

d) $(A+2\vv)+4\ww$

e) $(A+4\ww)+2\vv$

f) $(A-\vv)+\ww$

g) $(A+\ww)-\vv$

h) $(A-2\vv)+4\ww$

i) $(A+4\ww)-2\vv$


\newpage

% «exercicio-2»  (to ".exercicio-2")
% (c3m242trajp 12 "exercicio-2")
% (c3m242traja    "exercicio-2")
% (c3m212introp 11 "exercicio-2")
% (c3m212introa    "exercicio-2")
% (c3m211introp 10 "exercicio-2")
% (c3m211introa    "exercicio-2")

{\bf Exercício 2: desenhando parábolas (quase) no olhômetro, 2}

2) Sejam $A=(1,1)$, $\vv = \VEC{1,-1}$, $\ww = \VEC{1,1}$.

Represente graficamente \ColorRed{num gráfico só}:

a) $A$

b) $(A+\vv)+\ww$

c) $(A+\ww)+\vv$

d) $(A+2\vv)+4\ww$

e) $(A+4\ww)+2\vv$

f) $(A-\vv)+\ww$

g) $(A+\ww)-\vv$

h) $(A-2\vv)+4\ww$

i) $(A+4\ww)-2\vv$

\newpage

% «exercicio-3»  (to ".exercicio-3")
% (c3m242trajp 13 "exercicio-3")
% (c3m242traja    "exercicio-3")
% (c3m241trajp 13 "exercicio-3")
% (c3m241traja    "exercicio-3")
% (c3m212introp 12 "exercicio-3")
% (c3m212introa    "exercicio-3")
% (c3m211introp 11 "exercicio-3")
% (c3m211introa    "exercicio-3")

{\bf Exercício 3: desenhando parábolas (quase) no olhômetro, 3}

3) Sejam $A=(1,1)$, $\vv = \VEC{1,-1}$, $\ww = \VEC{-1,1}$.

Represente graficamente \ColorRed{num gráfico só}:

a) $A$

b) $(A+\vv)+\ww$

c) $(A+\ww)+\vv$

d) $(A+2\vv)+4\ww$

e) $(A+4\ww)+2\vv$

f) $(A-\vv)+\ww$

g) $(A+\ww)-\vv$

h) $(A-2\vv)+4\ww$

i) $(A+4\ww)-2\vv$


\newpage

% «exercicio-4»  (to ".exercicio-4")
% (c3m242trajp 14 "exercicio-4")
% (c3m242traja    "exercicio-4")
% (c3m241trajp 14 "exercicio-4")
% (c3m241traja    "exercicio-4")
% (c3m212introp 13 "exercicio-4")
% (c3m212introa    "exercicio-4")
% (c3m211introp 12 "exercicio-4")
% (c3m211introa    "exercicio-4")

{\bf Exercício 4: desenhando parábolas (quase) no olhômetro, 4}

4) Sejam $A=(2,6)$, $\vv = \VEC{1,1}$, $\ww = \VEC{2,-1}$.

Represente graficamente \ColorRed{num gráfico só}:

a) $A$

b) $(A+\vv)+\ww$

c) $(A+\ww)+\vv$

d) $(A+2\vv)+4\ww$

e) $(A+4\ww)+2\vv$

f) $(A-\vv)+\ww$

g) $(A+\ww)-\vv$

h) $(A-2\vv)+4\ww$

i) $(A+4\ww)-2\vv$

\msk

Obs: você vai precisar de um gráfico que contenha os pontos

(0,0) e (12,8).





\newpage

% «introducao-2022.2»  (to ".introducao-2022.2")
% (c3m242trajp 15 "introducao-2022.2")
% (c3m242traja    "introducao-2022.2")
% (c3m241trajp 15 "introducao-2022.2")
% (c3m241traja    "introducao-2022.2")
% 3fT3: (c3m222introp 2 "aula-1")
%       (c3m222introa   "aula-1")

{\bf Introdução (2022.2)}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

% (c3m222introp 2 "aula-1")
% (c3m222introa   "aula-1")

{\bf Sobre a aula 1}

Na aula 1 nós usamos as idéias dos 8 primeiros slides daqui,

\ssk

% (c3m212introp 1 "title")
% (c3m212introa   "title")
\Ca{3dT2} Aulas 4 e 5: introdução ao curso

\ssk

e do slide 10 daqui,

\ssk

% (c3m202planotangp 10 "geral-e-particular")
% (c3m202planotanga    "geral-e-particular")
\Ca{3bT93} ...usam um caso particular disfarçado

\ssk

...pra desenhar casos particulares das figuras das seções 7.4 e 7.5 do
``GA1'' do Felipe Acker:

\ssk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "acker")
% (find-ackerGA1page (+ 16 27) "7.4 Soma de vetores")
% (find-ackerGA1page (+ 16 29) "7.5 Somando vetores a pontos")
\Ca{AckerGA1p43} (p.27) 7.4 Soma de vetores

\bsk

{\bf Introdução ao vetor velocidade}

Em cursos de Cálculo 3 ``pra matemáticos'' a gente normalmente
começa definindo o vetor velocidade como um limite. O Felipe
Acker faz isso muito bem nos capítulos 2 e 3 do ``GA4'',

\ssk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "acker")
% (find-ackerGA4page (+ 8 13) "2" "Velocidade")
% (find-ackerGA4text (+ 8 13) "2" "Velocidade")
% (find-ackerGA4page (+ 8 19) "3" "Aceleracao")
% (find-ackerGA4text (+ 8 19) "3" "Aceleracao")
\par \Ca{AckerGA4p21} (p.13) Capítulo 2: Velocidade
\par \Ca{AckerGA4p27} (p.19) Capítulo 3: Aceleração

\ssk

Eu costumava fazer mais ou menos isso no curso de Cálculo 3,
e a gente gastava uma aula inteira aprendendo a decifrar a
fórmula daquele limite e visualizar o que ela queria dizer.

}\anothercol{

Dessa vez vamos tentar fazer algo diferente.

Vamos começar com exemplos e animações.

Assista este vídeo aqui até o 9:00,

\msk

% (c3m212bezierp 1)
% (c3m212bezier 1)
\Ca{3dT25} Aula 7: um vídeo sobre curvas de Bézier

{\footnotesize

% «video-splines»  (to ".video-splines")
% (c3m242trajp 15 "video-splines")
% (c3m242traja    "video-splines")
% (c3m241trajp 15 "video-splines")
% (c3m241traja    "video-splines")
%    https://www.youtube.com/watch?v=aVwxzDHniEw
\url{https://www.youtube.com/watch?v=aVwxzDHniEw}
% (code-video "beziervideo" "/home/videos/Math/The_Beauty_of_Bezier_Curves-aVwxzDHniEw.mp4")
% (find-beziervideo "0:00")
% (find-beziervideo "7:00")

}


\msk

...mas considere que tudo no vídeo até o 6:34 são idéias avançadas que
a gente só vai entender nuns exercícios que a gente vai fazer daqui a
algumas aulas. Por enquanto reserve praticamente toda a sua atenção
pro trecho entre 6:34 e 9:00, que é o trecho que a Freya Holmér mostra
os vetores velocidade e aceleração pra algumas curvas de Bézier.

\msk

A gente vai fazer o seguinte. Nós vamos acreditar que {\sl em geral}
quando temos uma trajetória $P(t) = (x(t),y(t))$ o vetor velocidade
dessa trajetória é $P'(t) = (x'(t),y'(t))$. Nós vamos ver vários
exemplos disso, e vamos deixar pra entender os detalhes desse ``em
geral'' quando formos entender a definição ``pra matemáticos'' do
vetor velocidade.


}}


\newpage

% «traco»  (to ".traco")
% (c3m242trajp 16 "traco")
% (c3m242traja    "traco")
% (c3m241trajp 16 "traco")
% (c3m241traja    "traco")
% (c3m232trp 3 "traco")
% (c3m232tra   "traco")

{\bf Exercício 5: Traço}

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

%a

Comece entendendo a definição de traço de uma curva parametrizada do
Bortolossi:

\Ca{Bort6p2} (p.188) Definição 6.1


Agora sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
  P(t) &=& (4,0) + t\VEC{0,1}, \\
  Q(u) &=& (0,3) + u\VEC{2,0}. \\
  \end{array}
$$

% «exercicio-5»  (to ".exercicio-5")
% (c3m242trajp 16 "exercicio-5")
% (c3m242traja    "exercicio-5")
% (find-bortolossi6page (+ -186 188) "traço")
% (find-bortolossi6page (+ -186 199) "limite de vetores secantes")

{\bf Exercício 5}

a) Represente num gráfico só o traço de $P(t)$ e o de $Q(u)$.

\msk

b) Marque o ponto $P(0)$ e escreva `$t=0$' do lado dele.

\msk

c) Faça o mesmo para os pontos $P(1)$ (`$t=1$') e $Q(0)$ e $Q(1)$ (`$u=0$' e `$u=1$'). 

\msk

d) Seja $r$ o traço de $P(t)$ e $s$ o traço de $Q(u)$.

Seja $X$ o ponto de interseção de $r$ e $s$.

Quais são as coordenadas de $X$?

\msk

e) Cada ponto de $r$ está ``associado'' a um valor de $t$ e cada ponto
de $s$ a um valor de $u$. Quais são os valores de $t$ e $u$ associados
ao ponto $X$? Chame-os de $t_0$ e $u_0$ e indique-os no seu gráfico --
por exemplo, se $t_0=99$ e $u_0=200$ você vai escrever `$t=99$' e
`$u=200$' do lado do ponto $X$. Note que ``$t_0=99$'' e ``$t_{99}$''
são coisas totalmente diferentes!

\msk

{\bf Dica:}

\Ca{MpgP17}

% Faça o desenho sozinho -- talvez você gaste alguns minutos pra
% decifrar todas as instruções -- e depois compare o seu desenho com o
% dos seus colegas.

}\anothercol{

Agora releia as dicas 1, 2 e 7 daqui:

\Ca{2gT4} ``Releia a dica 7''

e entenda a notação de ``set comprehensions'' daqui:

\Ca{MpgP8} ``Set comprehensions''

\bsk

Se você aprender a definir os seus objetos em linguagem matemática
você vai conseguir aprender (e fazer!) muitas coisas do curso
\standout{MUITO} mais rápido, e vai ter muito mais facilidade pra
escrever elas de um jeito legível. Então:

\bsk
\bsk

{\bf Exercício 5 (cont.)}

\ssk

f) No item (d) a gente definiu $r$, $s$ e $X$ usando muitas palavras
em português. Dá pra definir $r$, $s$ e $X$ com bem menos português se
a gente usar a notação de ``set comprehensions''. Aprenda a usar essa
notação e complete as lacunas abaixo:
%
\begin{quote}

Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
  P(t) &=& (4,0) + t\VEC{0,1}, \\
  Q(u) &=& (0,3) + u\VEC{2,0}. \\
  r &=& \setofst{\_\_\_}{\_\_\_}, \\
  s &=& \setofst{\_\_\_}{\_\_\_}, \\
  X &=& r∩s \\
  \end{array}
$$

\end{quote}


}}




\newpage

% «exercicio-6»  (to ".exercicio-6")
% (c3m242trajp 17 "exercicio-6")
% (c3m242traja    "exercicio-6")
% (c3m211vtp 3 "exercicio-2")
% (c3m211vta   "exercicio-2")
% (c3m202vtp 5 "exercicio-2")
% (c3m202vt    "exercicio-2")

{\bf Exercício 6: um círculo}


\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Seja:
%
$$P(t) = (\cos t, \sen t).$$

{\bf Exercício 6.}

Represente num gráfico só:

\ssk

a) o traço de $P(t)$,

\msk

b) $P(\frac{π}{2}) + P'(\frac{π}{2})$, escrevendo `$P(\frac{π}{2})$'
ao lado do ponto e `$P'(\frac{π}{2})$' ao lado da seta,

\msk

c) Idem para estes outros valores de $t$: $0, \frac14π, \frac34π, π$.

\msk

d) Seja $Q(u) = P(π) + uP'(π)$. Desenhe o traço de $Q(u)$ e anote
`$Q(0)$' e `$Q(1)$' nos pontos adequados.

\msk

e) O traço de $Q(u)$ é uma reta tangente ao traço de $P(t)$ no ponto
$P(π)$? Encontre no livro ou no resto da internet uma definição formal
de reta tangente e descubra se isto é verdade ou não.

}\anothercol{
}}


\newpage

% «adivinhar-trajetorias»  (to ".adivinhar-trajetorias")
% (c3m242trajp 18 "adivinhar-trajetorias")
% (c3m242traja    "adivinhar-trajetorias")
% (c3m232trp 9 "adivinhar-trajetorias")
% (c3m232tra   "adivinhar-trajetorias")
% (c3m211vtp 6 "sobre-adivinhar-trajetorias")
% (c3m211vta   "sobre-adivinhar-trajetorias")

{\bf Sobre ``adivinhar trajetórias''}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Nos próximos dois exercícios nós vamos {\sl começar} a fazer uma coisa
que vai ser muito comum aqui nesse curso de Cálculo 3, e que
geralmente é inadmissível nos cursos de Cálculo 1: nós vamos tentar
``advinhar'' como certas trajetórias são a partir de umas poucas
informações sobre elas.

\msk

Esse ``adivinhar'' na verdade é ``fazer hipóteses razoáveis'', e às
vezes a gente precisa de mais informações pra descobrir qual hipótese
é mais razoável. Na figura do próximo slide eu desenhei à esquerda
$P(t)+P'(t)$ para a trajetória de um personagem de videogame em
$t=0,1,3,4$, mas existem muitas trajetórias que se passam por esses
pontos com essas velocidades. Na primeira figura à direita eu desenhei
uma trajetória de uma nave no espaço; na segunda eu desenhei a
trajetória de um personagem de um videogame do meu tempo --- naquela
época nada nos videogames obedecia as leis da Física, e nos meus jogos
preferidos o meu personagem era um quadradinho --- e na terceira o
personagem é atingido por um raio em $t=1.05$ e ele adquire
superpoderes.

\bsk

}\anothercol{

\vspace*{2cm}

% (find-latexscan-links "C3" "20210618_trajetorias")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2021-1-C3/20210618_trajetorias.pdf")
\includegraphics[height=5cm]{2021-1-C3/20210618_trajetorias.pdf}

}}

\newpage



% «lissajous»  (to ".lissajous")
% (c3m242trajp 19 "lissajous")
% (c3m242traja    "lissajous")
% (c3m232trp 8 "lissajous")
% (c3m232tra   "lissajous")
% (c3m211vtp 8 "exercicio-3")
% (c3m211vta   "exercicio-3")
% (c3m202vtp 6 "exercicio-3")
% (c3m202vt    "exercicio-3")


{\bf Exercícios 7 e 8: Lissajous}

% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ?")
%
%T  (eepitch-maxima)
%T  (eepitch-kill)
%T  (eepitch-maxima)
%T load_qdraw();
%T x(t) := cos(  t);
%T y(t) := sin(2*t);
%T qdraw(para(x(t),y(t), t, 0,2*%pi));
%T x(t) := cos(2*t);
%T y(t) := sin(  t);
%T qdraw(para(x(t),y(t), t, 0,2*%pi));


\scalebox{0.55}{\def\colwidth{9.5cm}\firstcol{

Os exercícios desta página vão dar curvas de Lissajous, como as daqui:

{\footnotesize

\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve}

}

\msk

% «exercicio-7»  (to ".exercicio-7")
% (c3m242trajp 19 "exercicio-7")
% (c3m242traja    "exercicio-7")

{\bf Exercício 7}

Seja $P(t) = (\cos t, \sen \ColorRed{2}t)$.

Represente graficamente $P(t)+P'(t)$ para os seguintes valores de $t$:

$0, \frac14π, \frac24π, \frac34π, \ldots, 2π$.

Faça as anotações adequadas nos seu pontos e vetores pra lembrar qual
é o $t$ associado a cada um.

\msk

\ColorRed{Tente} usar as informações deste gráfico pra desenhar o
traço de $P(t)$. Isto não é nada óbvio -- se inspire nas figuras das
páginas 208 e 209 do capítulo 6 do Bortolossi e tente conseguir uma
hipótese razoável.

\msk

Você pode pensar que $P(t)$ é a posição do Super Mario Kart no
instante $t$ e $P'(t)$ é o {\sl vetor velocidade} dele no instante $t$
(lembre que um vetor tem ``direção'', ``orientação'' e ``módulo''!)...
você só sabe a posição e a velocidade dele em alguns instantes, isto
é, em alguns valores de $t$, e você vai ter que encontrar uma
aproximação razoável, olhométrica, pra pista onde ele está correndo.

}\anothercol{

% «exercicio-8»  (to ".exercicio-8")
% (c3m242trajp 19 "exercicio-8")
% (c3m242traja    "exercicio-8")

{\bf Exercício 8}

Seja $P(t) = (\cos \ColorRed{2}t, \sen t)$.

Represente graficamente $P(t)+P'(t)$ para os seguintes valores de $t$:

$0, \frac14π, \frac24π, \frac34π, \ldots, 2π$.

Faça as anotações adequadas nos seu pontos e vetores pra lembrar qual
é o $t$ associado a cada um.

\msk

\ColorRed{Tente} usar as informações deste gráfico pra desenhar o
traço de $P(t)$. Isto não é nada óbvio -- se inspire nas figuras das
páginas 208 e 209 do capítulo 6 do Bortolossi e tente conseguir uma
hipótese razoável.

\bsk

Links:
\par \Ca{Bort6p22} Bortolossi, cap.6, p.208
\par \Ca{Bort6p23} Bortolossi, cap.6, p.209


}}



\newpage

% (c3m211vtp 9 "exercicio-4")
% (c3m211vta   "exercicio-4")
% (c3m201vtp 8 "exercicio-4")
% (c3m201vt    "exercicio-4")



\newpage

% «orbita»  (to ".orbita")
% (c3m242trajp 20 "orbita")
% (c3m242traja    "orbita")
% (c3m241trajp 20 "orbita")
% (c3m241traja    "orbita")
% (c3m232trp 9 "orbita")
% (c3m232tra   "orbita")
% (c3m222introp 8 "orbita")
% (c3m222introa   "orbita")

{\bf Exercício 9: órbita}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Este exercício vai dar uma figura que é a órbita de uma lua.

O resultado vai ser algo como a figura da última página daqui,

\ssk

{\footnotesize

% (c3m221orbitap 2 "links")
% (c3m221orbitaa   "links")
%    http://anggtwu.net/LATEX/2022-1-C3-orbita.pdf
\url{http://anggtwu.net/LATEX/2022-1-C3-orbita.pdf}

}

\ssk

mas olhe pra essa figura durante só uns poucos segundos.

\msk

Neste exercício você vai tentar redescobrir essa figura sozinho, e
você vai tentar descobrir como desenhar uma aproximação bem razoável
pra ela só somando uns vetores no olhômetro e sem fazer nenhuma conta
complicada --- por exemplo, você vai evitar usar uma aproximação
numérica pra $(\cos(\frac{1}{12}·2π), \sen(\frac{1}{12}·2π))$; ao
invés disso você vai usar a representação gráfica deste ponto no
$\R^2$.

}\anothercol{

Seja $h = \frac{1}{12}·2π$.

Esse $h$ vai ser uma ``hora''. Vou explicar isso no quadro.

Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
  P(t) &=& (\cos t, \sen t), \\
  Q(t) &=& (\cos 4t, \sen 4t), \\
  R(t) &=& \frac{1}{2}(\cos 4t, \sen 4t)  = (\frac{1}{2}\cos 4t, \frac{1}{2}\sen 4t), \\
  S(t) &=& P(t) + R(t). \\
  \end{array}
$$

\ssk

% «exercicio-9»  (to ".exercicio-9")
% (c3m242trajp 20 "exercicio-9")
% (c3m242traja    "exercicio-9")

{\bf Exercício 9.}

Represente graficamente:

\ssk

a) $P(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.

b) $P(t) + P'(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.

\ssk

c) $Q(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.

d) $Q(t) + Q'(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.

\ssk

e) $R(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.

f) $R(t) + R'(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.

\ssk

g) $S(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.

h) $S(t) + S'(t)$ para $t=0h, 1h, 2h, \ldots, 12h$.

\bsk

(Continua...)


}}



\newpage

% «orbita-2»  (to ".orbita-2")
% (c3m242trajp 20 "orbita-2")
% (c3m242traja    "orbita-2")
% (c3m222introp 8 "orbita-2")
% (c3m222introa   "orbita-2")
% (c3m222introp 9 "orbita-3")
% (c3m222introa   "orbita-3")
% (find-es "maxima" "plot2d-parametric")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "Limaçon")

{\bf Exercício 9: órbita (cont.)}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Nos itens a até f você deve ter obtido pontos sobre círculos e vetores
tangentes aos círculos apoiados nestes pontos. Nos itens g e h você
deve ter obtido algo bem mais complicado: pontos e vetores apoiados
nestes pontos, mas você ainda não sabe direito sobre que curva eles
estão.

Reveja o trecho entre 6:34 e 9:00 do vídeo da Freya Holmér. A
trajetória que ela analisa é bem ``suave'', no sentido de que ela não
bicos ou teleportes, e a derivada da aceleração dela é constante.

No item h você obteve alguns pontos e vetores velocidade {\sl de uma
  trajetória que você não sabe direito qual é}... você só tem uma
lembrança vaga do ``traço'' dessa trajetória, porque você viu a
figura-spoiler durante uns poucos segundos.

}\anothercol{

i) Desenhe uma trajetória bem suave que nos instantes $t=0h$, $1h$,
$\ldots$, $12h$ passe pelos pontos que você obteve no item g. Aqui
você vai conseguir uma aproximação bem tosca pro ``traço'' da
trajetória $S(t)$.

\msk

j) Desenhe uma trajetória bem suave que nos instantes $t=0h$, $1h$,
$\ldots$, $12h$ passe pelos pontos que você obteve no item h, e que
naqueles instantes tenha exatamente os vetores velocidade que você
também desenhou no item h. Aqui você provavelmente vai conseguir uma
aproximação bastante boa pro ``traço'' da trajetória $S(t)$.

\msk

k) Refaça o desenho do item j pra ele ficar mais caprichado e
simétrico e tal. Quando você achar que conseguiu fazer uma versão
caprichada boa olhe de novo a figura-spoiler e compare o seu desenho
com ela.

}}


\newpage

% «bico-e-teleporte»  (to ".bico-e-teleporte")
% (c3m242trajp 22 "bico-e-teleporte")
% (c3m242traja    "bico-e-teleporte")
% (c3m241trajp 22 "bico-e-teleporte")
% (c3m241traja    "bico-e-teleporte")
% (c3m232trp 7 "bico-e-teleporte")
% (c3m232tra   "bico-e-teleporte")
% (c3m222introp 5 "exercicios-1-e-2")
% (c3m222introa   "exercicios-1-e-2")

{\bf Exercícios 10 e 11: bico e teleporte}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

{\bf Exercício 10: uma trajetória com um bico}

Dê uma olhada no item 1e daqui:

\ssk

% 3eT66 (c3m221vsp 2 "questao-1")
%       (c3m221vsa   "questao-1")
% 3eT70 (c3m221vsbp 2 "questao-1")
%       (c3m221vsba   "questao-1")
\Ca{3eT70} VS extra de 2022.1 - questão 1

%{\footnotesize
%
%%    http://anggtwu.net/LATEX/2022-1-C3-VS.pdf#page=2
%\url{http://anggtwu.net/LATEX/2022-1-C3-VS.pdf\#page=2}
%
%}

\ssk

Faça o que essa questão pede e represente graficamente $Q(t)+Q'(t)$
pra um monte de outros valores de $t$ também --- até você entender
como essa trajetória se comporta. {\sl Dica:} ela é um movimento
retilíneo uniforme até um determinado instante, aí ela muda de vetor
velocidade subitamente e vira um outro movimento retilíneo uniforme.

\msk

{\bf Exercício 11: um trajetória com teleporte}

Represente graficamente a trajetória abaixo. Ela é parecida com a
anterior, mas nessa tem um momento em que a partícula desaparece do
ponto em que em estava e se teleporta pra outro lugar.
%
$$\scalebox{0.9}{$
  R(t) \;=\;
  \begin{cases}
    (t,4)    & \text{quando $t≤6$}, \\
    (5,11-t) & \text{quando $6<t$}. \\
  \end{cases}
  $}
$$

}\anothercol{

% (c3m222introp 6 "exs-1-e-2-dicas")
% (c3m222introa   "exs-1-e-2-dicas")

{\bf Dicas pro exercícios 10 e 11}

Este vídeo aqui tem algumas figuras sobre como desenhar trajetórias:

\ssk

{\footnotesize

% (c3m202introa "video-1")
% (find-extra-file-links "$S/http/anggtwu.net/eev-videos/2020.2-C3-intro.mp4" "c3intro")
% (code-video "c3introvideo" "$S/http/anggtwu.net/eev-videos/2020.2-C3-intro.mp4")
% (find-c3introvideo "0:00")

\url{http://www.youtube.com/watch?v=3yWLubqHsic}

\url{http://anggtwu.net/eev-videos/2020.2-C3-intro.mp4}

}

\bsk

% (c3m222introp 6 "VT")
% (c3m222introa   "VT")
% (c3m211vtp 3 "exercicio-1")
% (c3m211vta   "exercicio-1")
% (c3m211vtp 5 "exercicio-2")
% (c3m211vta   "exercicio-2")

Quase todo mundo achou muito difícil desenhar a trajetória do
exercício 11 --- se a gente calcula $R(t)$ só pra valores inteiros de
$t$ a gente não consegue descobrir como a $R(t)$ se comporta entre
$t=6$ e $t=7$...

\ssk

Um jeito de resolver isso é calcular $R(t)$ para $t=6.1$, $t=6.2$,
$\ldots$, $t=6.9$, desenhar esses pontos no gráfico, e aí tentar
descobrir qual é o comportamento da $R(t)$ pra todos os valores em
$[6,7]$.

\ssk

Um outro jeito é considerar que $R(t)=(x(t),y(t))$ e tentar entender
as funções $x(t)$ e $y(t)$, que são funções de $\R$ em $\R$.


}}



\newpage

% (c3m222introp 10 "orbita-4")
% (c3m222introa    "orbita-4")


\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2024-2-C3-trajetorias")


% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3tr"
% ee-tla: "c3m242traj"
% End:

