% (find-LATEX "2025-1-C2-VRP2.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2025-1-C2-VRP2.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2025-1-C2-VRP2.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2025-1-C2-VRP2.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2025-1-C2-VRP2.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2025-1-C2-VRP2.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2025-1-C2-P2.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2024-1-C2-VRP2.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2025-1-C2-VRP2"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2025-1-C2-VRP2.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun oe () (interactive) (find-2a '(o) '(e)))
%          (code-eec-LATEX "2025-1-C2-VRP2")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2025-1-C2-VRP2.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2025-1-C2-VRP2.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2025-1-C2-VRP2.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2025-1-C2-VRP2.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2025-1-C2-VRP2.pdf
%               file:///tmp/2025-1-C2-VRP2.pdf
%           file:///tmp/pen/2025-1-C2-VRP2.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2025-1-C2-VRP2.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2025-1-C2-VRP2" "2" "c2m251vrp2" "c2vr2")

% «.defs»		(to "defs")
% «.defs-T-and-B»	(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»	(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»	(to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima»	(to "defs-maxima")
% «.defs-V»		(to "defs-V")
% «.defs-edovs»		(to "defs-edovs")
% «.defs-edoexs»	(to "defs-edoexs")
% «.title»		(to "title")
% «.links»		(to "links")
% «.questao-1»		(to "questao-1")
% «.questao-2»		(to "questao-2")
% «.questao-3»		(to "questao-3")
% «.lembre-que-mangas»	(to "lembre-que-mangas")



\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2025-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2025.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"}  % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()}         % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()}         % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua"           -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

% «defs-maxima»  (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu

% «defs-V»  (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu

% «defs-edovs»  (to ".defs-edovs")
\input 2023-2-C2-edovs-defs.tex % (find-LATEX "2023-2-C2-edovs-defs.tex")

% «defs-edoexs»  (to ".defs-edoexs")
\input 2023-2-C2-edos-exatas-defs.tex % (find-LATEX "2023-2-C2-edos-exatas-defs.tex")

% (c2m232edolsp 3 "defs-bodies")
% (c2m232edolsa   "defs-bodies")

\sa  {(**)}{\ensuremath{({*}{*})}}
\sa {(***)}{\ensuremath{({*}{*}{*})}}
\sa{(****)}{\ensuremath{({*}{*}{*}{*})}}
\def\mac{\mathsf{mac}}

\sa  {*1}{\ensuremath{(*_1)}}
\sa  {*2}{\ensuremath{(*_2)}}
\sa  {*3}{\ensuremath{(*_3)}}
\sa  {*4}{\ensuremath{(*_4)}}
\sa  {*5}{\ensuremath{(*_5)}}
\sa  {*6}{\ensuremath{(*_6)}}
\sa  {*7}{\ensuremath{(*_7)}}

\def\P#1{\left( #1 \right)}
\sa{[EL3]}{\CFname{EL}{_3}}
\sa{(EL3)}{
  \P{\begin{array}{rcl}
     f'+fg & = & h \\
        G' & = & g \\
         f & = & e^{-G}(\intx{e^Gh} + C) \\
     \end{array}
    }}

\pu


%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c2m251vrp2p 1 "title")
% (c2m251vrp2a   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 2 - 2025.1}

\bsk

Prova de reposição (VR)

pra quem perdeu a P2

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2025.1-C2.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c2m251vrp2p 2 "links")
% (c2m251vrp2a   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{
}\anothercol{
}}

\newpage

% «questao-1»  (to ".questao-1")
% (c2m251p2p 3 "questao-1")
% (c2m251p2a   "questao-1")
% 2jT272: (c2m242p2p 3 "questao-1")
%         (c2m242p2a   "questao-1")
%         (c2m241p2p 3 "questao-1")
%         (c2m241p2a   "questao-1")
% (find-angg "MAXIMA/2024-2-C2-EDOVS.mac")

{\bf Questão 1}

\scalebox{0.49}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

\vspace*{-0.4cm}

\T(Total: 5.0 pts)

Lembre que no curso eu mostrei que o meu modo preferido de escrever o
``método'' para resolver EDOs com variáveis separáveis --- ``EDOVSs''
--- é o ``método'' \ga{[M]} abaixo... eu pus o termo ``método'' entre
aspas porque alguns dos passos da \ga{[M]} são gambiarras nas quais a
gente não pode confiar totalmente, e aí a gente precisa sempre testar
as nossas soluções. O $\ga{[F3]}$ abaixo --- a ``fórmula'' --- é uma
versão resumida do \ga{[M]}.
%
$$\begin{array}{rcl}
  \ga{[M]} &=& \ga{(M)} \\\\[-5pt]
  \ga{[F3]} &=& \ga{(F3)} \\
  \end{array}
$$

\vspace*{-5cm}

}\anothercol{


Seja $\ga{*1}$ esta EDOVSs:
%
$$\begin{array}{rcll}
  \D \frac{dy}{dx} &=& \D \frac{-2(x+1)}{2(y-1)} & \qquad\ga{*1} \\
  \end{array}
$$

a) \B (1.0 pts) Desenhe os tracinhos do campo de direções da EDO (*)
nos pontos com $x,y∈\{-2,-1,0,1,2\}$. Aqui você vai ter que desenhar
25 tracinhos e vai ter que caprichar -- um tracinho com coeficiente
angular $\frac12$ tem que ser visualmente bem diferente de um com
coeficiente angular 1 e de um com coeficiente angular $2$.

\ssk

b) \B (0.5 pts) Encontre as duas soluções gerais explícitas da EDO
$(*)$ -- a solução ``positiva'' e a ``negativa'' -- e dê nomes para
elas.

\ssk

c) \B (0.5 pts) Teste a sua solução ``negativa''.

\ssk

d) \B (1.0 pts) Sejam $P_1=(-1,0)$ e $P_2=(3,4)$. Encontre a solução
particular explcita que passa pelo ponto $P_1$ e a que passa pelo
ponto $P_2$. Dê nomes pra elas e teste-as.

\ssk

e) \B (1.0 pts) Verifique que a solução que você encontrou que passa
por $P_1$ não passa por $P_2$ e que a solução que você encontrou que
passa por $P_2$ não passa por $P_1$.

\ssk

f) \B (1.0 pts) Faça os gráficos das soluções que você encontrou no
item (d). Dica: as funções que você deve ter encontrado passam por
vários pontos com coordenadas inteiras; comece desenhando esses
pontos.

\bsk

\standout{Muito importante:} leia a página do ``Lembre que...''!

% (find-es "maxima" "2022-2-C2-P2")

}}


\newpage

\scalebox{0.45}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{

% «questao-2»  (to ".questao-2")
% 2jT273: (c2m242p2p 4 "questao-2")
%         (c2m242p2a   "questao-2")
% (c2m241p2p 4 "questao-2")
% (c2m241p2a   "questao-2")
% (c2m232p2p 3 "questao-2")
% (c2m232p2a   "questao-2")

{\bf Questão 2}

\T(Total: 4.0 pts)

\msk

Sejam \ga{*2} e \ga{*3} as EDOs abaixo:
%
$$\begin{array}{rcll}
  y'' + 3y' - 10y &=& 0 & \qquad \ga{*2} \\
  y'' + 4y' + 13y &=& 0 & \qquad \ga{*3} \\
  \end{array}
$$

a) \B (0.5 pts) Encontre as soluções básicas e a solução geral da EDO
\ga{*2}. Dê um nome para cada uma delas.

\ssk

b) \B (1.0 pts) Encontre uma solução $g(x)$ da EDO \ga{*2} que
obedeça isto aqui: $g(0)=4$, $g'(0)=5$.

\ssk

c) \B (0.5 pts) Encontre as solução básicas complexas e as soluções
básicas reais da EDO \ga{*3}. Dê um nome para cada uma delas.

\ssk

d) \B (2.0 pts) Escolha uma das soluções básicas reais que você obteve
no item (c) e verifique que ela realmente é solução da EDO \ga{*3}.
Além disso verifique que $e^{4x}\cos(5x)$ não é solução da EDO
\ga{*3}. \standout{Importante:} {\sl O objetivo deste item é testar se
  você sabe definir funções intermediárias, como $s=\sen 10x$, e
  usá-las pra fazer as contas ficarem mais curtas e mais fáceis de
  revisar do que as contas feitas do jeito ``óbvio''. Se você definir
  funções intermediárias e fizer tudo direito -- inclusive o uso das
  partículas em português -- este item vale 2.0; se você quiser fazer
  as contas de outras formas este item vai valer no máximo 0.7}.



% \msk
% d) \B (0.5 pts) Teste a solução que você encontrou no item anterior.


\bsk
\bsk



}\anothercol{

% «questao-3»  (to ".questao-3")
% (c2m251p2p 4 "questao-3")
% (c2m251p2a   "questao-3")
% 2jT273: (c2m241p2p 4 "questao-4")
%         (c2m241p2a   "questao-4")
% (c2m241edosexatasp 5 "uma-questao-de-prova")
% (c2m241edosexatasa   "uma-questao-de-prova")


{\bf Questão 3}

\T(Total: 2.0 pts)

\msk

4) Sejam $\ga{*4}$, $\ga{*5}$ e $\ga{*6}$ estas EDOs:
%
$$\begin{array}{rl}
    20xy^3\,dx + 30x^2y^2\,dy = 0 & \ga{*5} \\
  20x^2y^3\,dx + 30x^3y^2\,dy = 0 & \ga{*6} \\
% (8xy^2+14x)\,dx + (8x^2y+5)\,dy = 0 & \ga{*7} \\
  \end{array}
$$

a) \B(0.1 pts) Mostre que a $\ga{*5}$ é exata.

b) \B(0.1 pts) Mostre que $\ga{*6}$ não é exata.

c) \B(0.4 pts) Encontre a solução geral explícita de $\ga{*5}$.

d) \B(0.4 pts) Teste a sua solução geral explícita da $\ga{*5}$.

e) \B(1.0 pts) Encontre a solução particular explícita da $\ga{*5}$
que passa pelo ponto $(-2,-5)$;

% e) \B(0.1 pts) Mostre que $\ga{*7}$ é exata.

% f) \B(0.9 pts) Encontre a solução geral {\sl implícita} da $\ga{*7}$.
% Aqui você não precisa encontrar a solução geral explícita -- as contas
% pra encontrar a solução geral explícita são grandes demais.

\ssk

Lembre que você pode usar este método:
%
$$\begin{array}[t]{rcl}
  \ga{[E5]} &=& \ga{(E5)} \\
  \end{array}
$$


\bsk

 
}}

\newpage

% «lembre-que-mangas»  (to ".lembre-que-mangas")
% (c2m251p2p 5 "lembre-que-mangas")
% (c2m251p2a   "lembre-que-mangas")

{\bf Lembre que... mangas}

%M (%i1) edo  : 'diff(y,x) = -x/y;
%M (%o1) {\frac{d}{d\,x}}\,y=-\left({\frac{x}{y}}\right)
%M (%i2) imp  : ode2(edo,y,x);
%M (%o2) -\left({\frac{y^2}{2}}\right)={\frac{x^2}{2}}+\mathrm{\%c}
%M (%i3) exps : solve(imp,y);
%M (%o3) \left[ y=-\sqrt{-x^2-2\,\mathrm{\%c}} , y=\sqrt{-x^2-2\,\mathrm{\%c}} \right] 
%M (%i4) exps : subst(%c=-C3/2, %);
%M (%o4) \left[ y=-\sqrt{\mathrm{C3}-x^2} , y=\sqrt{\mathrm{C3}-x^2} \right] 
%M (%i5) define(f1(x), rhs(exps[1]));
%M (%o5) \mathrm{f1}\left(x\right):=-\sqrt{\mathrm{C3}-x^2}
%M (%i6) define(f2(x), rhs(exps[2]));
%M (%o6) \mathrm{f2}\left(x\right):=\sqrt{\mathrm{C3}-x^2}
%M (%i7) define(f3(x), subst(C3=25, f2(x)));
%M (%o7) \mathrm{f3}\left(x\right):=\sqrt{25-x^2}
%M (%i8)    3=f3(4);
%M (%o8) 3=3
%M (%i9) is(3=f3(4));
%M (%o9) \mathbf{true}
%L maximahead:sa("manga", "")
\pu

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

{}

Lembre que:

\begin{itemize}

\item nós estamos usando o termo ``mangas'' pra palavras ou símbolos
  que podem ter vários significados diferentes,

\item o `$=$' é uma manga,

\item NO MEU CRITÉRIO DE CORREÇÃO distinguir os vários tipos de `$=$'
  vale boa parte dos pontos de cada questão,

\item a gente geralmente usa partículas em português pra distinguir os
  vários tipos de `$=$'s,

\item as partículas que nós usamos mais vezes no curso são ``então'',
  ``lembre que'', ``sabemos que'' -- sendo que estas às vezes são
  omitidas -- e ``seja'', ``queremos que'', ``vamos supor que'',
  ``vamos testar se'',

\item nós usamos testes e chutar-e-testar bastante no curso, mas nos
  livros eles aparecem pouquíssimo -- os livros costumam mostrar só o
  que dá certo,

\item no curso eu muitas vezes usava `$\smile$' e `$\frown$' pra
  indicar ``deu certo'' e ``deu errado''.

\item uma das minhas desculpas pra usar o Maxima no curso é que quando
  a gente traduz as contas de C2 pra Maxima os `$=$'s com significados
  diferentes têm traduções totalmente diferentes.

\end{itemize}

}\anothercol{

Um exemplo em Maxima:

\bsk

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {10cm}
$\scalebox{0.65}{\ga{manga}}$

}}




\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2025-1-C2-VRP2")


% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2vr2"
% ee-tla: "c2m251vrp2"
% End:
