% (find-LATEX "2025-1-C2-carro.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2025-1-C2-carro.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2025-1-C2-carro.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2025-1-C2-carro.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2025-1-C2-carro.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2025-1-C2-carro.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2024-2-C2-carro.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2025-1-C2-carro"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2025-1-C2-carro.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun oe () (interactive) (find-2a '(o) '(e)))
%          (code-eec-LATEX "2025-1-C2-carro")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2025-1-C2-carro.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2025-1-C2-carro.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2025-1-C2-carro.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2025-1-C2-carro.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2025-1-C2-carro.pdf
%               file:///tmp/2025-1-C2-carro.pdf
%           file:///tmp/pen/2025-1-C2-carro.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2025-1-C2-carro.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2025-1-C2-carro" "2" "c2m251carro" "c2ca")

% «.defs»			(to "defs")
% «.defs-T-and-B»		(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»		(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»		(to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima»		(to "defs-maxima")
% «.defs-V»			(to "defs-V")
% «.title»			(to "title")
% «.links»			(to "links")
% «.links-quadros»		(to "links-quadros")
%
% «.introducao»			(to "introducao")
% «.caso-particular-fig»	(to "caso-particular-fig")
% «.exercicio-0»		(to "exercicio-0")



\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2025-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2025.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"}  % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()}         % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()}         % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L dofile "Escadas1.lua"             -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

% «defs-maxima»  (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu

% «defs-V»  (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu


%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c2m251carrop 1 "title")
% (c2m251carroa   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 2 - 2025.1}

\bsk

Aulas 2 a 4: integração e derivação

com o mathologermóvel

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2025.1-C2.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c2m251carrop 2 "links")
% (c2m251carroa   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.55}{\def\colwidth{10.5cm}\firstcol{

% Versão anterior destes slides:
%   (c2m241carrop 1 "title")
%   (c2m241carroa   "title")
% Ainda não fiz o Tudo.pdf...

% 2fT63: (c2m222srp 4 "somas-de-retangulos")
%        (c2m222sra   "somas-de-retangulos")
% 2fT64: (c2m222srp 5 "exercicio-1")
%        (c2m222sra   "exercicio-1")
\par \Ca{2fT63} $y·(x_d-x_e)$ e ``áreas negativas não existem''

% 2cT185: (c2m211prp 35 "retangulos-degenerados")
%         (c2m211pra    "retangulos-degenerados")
\par \Ca{2cT185} Retângulos degenerados

\msk

% «links-quadros»  (to ".links-quadros")
\par Quadros de algumas aulas:
% 2jQ3: (find-angg ".emacs" "c2q242" "24/09: exercício de coeficientes angulares")
% 2iQ9: (find-angg ".emacs" "c2q241" "mar25: integração e derivação com o mathologermóvel")
% 2hQ1: (find-angg ".emacs" "c2q232" "ago28: Introdução, mathologermóvel")
% 2gQ1: (find-angg ".emacs" "c2q231" "apr04: O carro")
% 2fQ2: (find-angg ".emacs" "c2q222" "ago25: diferenciação e integração com o Mathologermóvel")
\par \Ca{2jQ3} (2024.2) 24/set/2024
\par \Ca{2iQ9} (2024.1) 25/mar/2024
\par \Ca{2hQ1} (2023.2) 28/ago/2023
\par \Ca{2gQ1} (2023.1) 04/abr/2023
\par \Ca{2fQ2} (2022.2) 25/ago/2022

\msk

Links da aula 1:
\par \Ca{2gT4} Releia a dica 7
\par \Ca{2gT11} Atirei o pau no gato
\par \Ca{2gT19} Retas reversas
\par \Ca{2gT24} Integração e derivação com o Mathologermóvel
\par \Ca{2gT27} (p.4) Exercício 1
\par \Ca{2gT28} (p.5) Dicas pro exercício 1
\par \Ca{CalcEasy03:19} até 12:47

\msk

Links da aula 2:
\par \Ca{CalcEasy11:35} até 12:47
\par \Ca{2gT37} (p.5) O macaco substituidor: EDOs, RC, TFC2
\par \Ca{StewPtCap5p9} (p.330) Figuras 11 e 12
\par \Ca{StewPtCap5p16} (p.337) A integral definida
\par \Ca{StewPtCap5p33} (p.354) TFC, parte 2
\par \Ca{StewPtCap5p36} (p.357) Exercícios 19 a 26 (sobre o TFC2)
\par \Ca{2fT91} até \Ca{2fT93} (p.3 até p.5): A definição da integral


% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "32" "conjunto de pares ordenados")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "14" "Teste da Reta Vertical")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "15" "Funções Definidas por Partes")

}\anothercol{

Os slides das próximas páginas são versões ligeiramente

reescritas destes slides de outros semestres:

\ssk

%\par \Ca{2fT17} (mathologermovel, p.3) Item 3
%\par \Ca{2fT18} (mathologermovel, p.4) Item 4
%\par \Ca{2eT62} (TFC1, p.3) Algumas propriedades da integral
%\par \Ca{2eT66} (TFC1, p.7) Exercício 1
%\par \Ca{2eT69} (TFC1, p.10) A função G(x) é esta aqui
\par \Ca{2dT225} (p.4) Gabarito do mini-teste 3 de 2021.2
\par \Ca{2eT199} (P1, p.7) eu defini as funções f e g desta forma
\par \Ca{2eT200} (P1, p.8) gabarito

}}

\newpage

% «introducao»  (to ".introducao")
% (c2m251carrop 3 "introducao")
% (c2m251carroa   "introducao")
% (c2m232carrop 2 "introducao")
% (c2m232carroa   "introducao")
% (c2m231carrop 2 "introducao")
% (c2m231carroa   "introducao")

{\bf Introdução}

\scalebox{0.7}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

Nesta parte do curso nós vamos tentar entender

este trecho do vídeo do Mathologer,

\ssk

\Ca{CalcEasy03:19} até 12:47

\bsk

e vamos fazer alguns exercícios --

que podem ser feitos em vários níveis de detalhe.

Leia estes trechos das legendas de uns vídeos meus:

\ssk

\par \Ca{Slogans01:10} até 08:51: sobre chutar e testar
\par \Ca{Slogans07:17} até 07:48: ...do tamanho de um apartamento
\par \Ca{Visaud45:14} até 52:24: ajustar o nível de detalhe
\par \Ca{Slogans1:11:02} até 1:17:42: seja o seu prório Geogebra
\par \Ca{Slogans1:39:46} até 1:45:02: ...com quem vale a pena estudar

\bsk

Leia também estes slides:

\par \Ca{2gT4}  (intro, p.3) ``Releia a Dica 7''
\par \Ca{2gT13} (intro, p.12) Sobre Português
\par \Ca{2gT14} (intro, p.13) Sobre Português (2)
\par \Ca{2gT16} (intro, p.15) Unexpected end of input
\par \Ca{2gT19} (intro, p.18) Retas reversas

}\anothercol{
}}



\newpage

% «caso-particular-fig»  (to ".caso-particular-fig")
% (c2m251carrop 4 "caso-particular-fig")
% (c2m251carroa   "caso-particular-fig")

{\bf O que é um caso particular de uma figura?}

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

{}

Vou considerar que as cinco figuras da coluna da direita são numeradas
assim: $\psm{ 1 \\ 2\;3 \\ 4\;5 }$.

\ssk

O Leithold usa duas figuras pra explicar o que é o coeficiente angular
-- ou a inclinação -- de uma reta, a figura que á a minha figura 1 é a
mais simples das duas figuras dele. Confira:

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "16" "retas em R2")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "17" "inclinação")
% (find-es "qdraw" "2025.1-leithold-reta")
% (find-angg "MAXIMA/2025-1-leithold-reta.mac")

\ssk

\Ca{Leit1p17} (p.16) Discutiremos agora {\sl retas} em $\R^2$

\ssk

Ele usa uma notação que eu detesto e que eu vou evitar: ele escreve
``$P_1(x_1,y_2)$'' ao invés de ``$P_1=(x_1,y_2)$''.

\bsk

O Leithold não põe tracinhos nos eixos, e aí a gente não tem como
descobrir quais são os valores de $x_1$, $y_1$, $x_2$ e $y_2$. Isso é
de propósito -- é pra obrigar a gente a tratar essa figura como um
{\sl caso geral}.

\msk

A gente pode transformar esse caso geral em casos particulares
escolhendo valores para $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$. Por exemplo, se
$(x_1,y_1)=(3,2)$ e $(x_2,y_2)=(7,8)$ a gente obtém as figuras 2 e 3
-- na figura 3 eu substituí os $x_1,y_1,x_2,y_2$ nos labels pelos seus
valores, e na figura 2 não -- e se $(x_1,y_1)=(4,3)$ e
$(x_2,y_2)=(8,6)$ a gente obtém as figuras 4 e 5.

}\anothercol{

\sa{fig1}{\includegraphics[height=4cm]{2025-1-C2/leithold_p16_fig11.pdf}}
\sa{fig2}{\includegraphics[height=3cm]{2025-1-C2/ict_001.pdf}}
\sa{fig3}{\includegraphics[height=3cm]{2025-1-C2/ict_002.pdf}}
\sa{fig4}{\includegraphics[height=3cm]{2025-1-C2/ict_003.pdf}}
\sa{fig5}{\includegraphics[height=3cm]{2025-1-C2/ict_004.pdf}}

$$\begin{array}{cc}
    \ga{fig1} \\
    \ga{fig2} \ga{fig3} \\ 
    \ga{fig4} \ga{fig5} \\
  \end{array}
$$

}}


\newpage

% «exercicio-0»  (to ".exercicio-0")
% (c2m251carrop 5 "exercicio-0")
% (c2m251carroa   "exercicio-0")

{\bf Exercício 0.}

\sa{fig1}{\myvcenter{\includegraphics[height=4cm]{2025-1-C2/leithold_p16_fig11.pdf}}}
\sa{fig2}{\myvcenter{\includegraphics[height=3cm]{2025-1-C2/ict_001.pdf}}}
\sa{fig3}{\myvcenter{\includegraphics[height=3cm]{2025-1-C2/ict_002.pdf}}}
\sa{fig4}{\myvcenter{\includegraphics[height=3cm]{2025-1-C2/ict_003.pdf}}}
\sa{fig5}{\myvcenter{\includegraphics[height=3cm]{2025-1-C2/ict_004.pdf}}}
\sa{fig6}{\myvcenter{\includegraphics[height=3cm]{2025-1-C2/ict_005.pdf}}}
\sa{[Fig6]}{\CFname{Fig6}{}}

\scalebox{0.55}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

Seja:
%
$$\ga{[Fig6]} \;=\; \ga{fig6}$$

Então:
%
$$\ga{[Fig6]} \bmat{(x_1,y_1):=(3,2) \\ (x_2,y_2):=(7,8)} \;=\; \ga{fig2}$$

ou:
%
$$\ga{[Fig6]} \bmat{(x_1,y_1):=(3,2) \\ (x_2,y_2):=(7,8)} \;=\; \ga{fig3}$$

}\anothercol{

{}

Represente graficamente e calcule $m=\frac{Δy}{Δx}$

em cada um dos casos abaixo:

\msk

a) $\ga{[Fig6]} \bmat{(x_1,y_1):=(1,2) \\ (x_2,y_2):=(3,4)}$

\ssk

b) $\ga{[Fig6]} \bmat{(x_1,y_1):=(3,4) \\ (x_2,y_2):=(1,2)}$

\ssk

c) $\ga{[Fig6]} \bmat{(x_1,y_1):=(1,5) \\ (x_2,y_2):=(3,2)}$



}}




\newpage

% «exercicio-1»  (to ".exercicio-1")
% (c2m241carrop 4 "exercicio-1")
% (c2m241carroa   "exercicio-1")
% (c2m232carrop 4 "exercicio-1")
% (c2m232carroa   "exercicio-1")
% (c2m231carrop 4 "exercicio-1")
% (c2m231carroa   "exercicio-1")
% (c2m221tfc1p 10 "exercicio-4")
% (c2m221tfc1a    "exercicio-4")

{\bf Exercício 1.}

\scalebox{1.0}{\def\colwidth{10.5cm}\firstcol{

Seja $G(x)$ esta função:
%
%L putcellat = function (xy, str) return pformat("\\put%s{\\cell{%s}}", xy, str) end
%L PictBounds.setbounds(v(0,-2), v(15,5))
%L spec =
%L   "(0,-1)--(1,-1)--(2,0)--(3,-1)--(3.5,0)--" ..
%L   "(4,1)--(5,0)--(6,1)--(8,1)--(9,5)--(10,2)--(11,4)--(12,3)--(13,4)--(15,2)"
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L p = Pict {
%L   pws:topict():prethickness("1.5pt"),
%L   putcellat(v(5, -0.7), "5"),
%L   putcellat(v(10,-0.7), "10")
%L }
%L p:pgat("pgatc"):sa("Ex 4"):output()
\pu
%
$$G(x) \;\;=\;\;\,
    \unitlength=15pt
    \scalebox{0.7}{$\ga{Ex 4}$}
$$

Relembre como calcular coeficientes angulares e derivadas

no olhômetro e faça um gráfico da função $G'(x)$.

\ssk

Dica 1: $G'(3.5)=2$.

Dica 2: $G'(4)$ não existe --- use uma bolinha

vazia pra representar isso no seu gráfico.

}\anothercol{
}}

\newpage

% «exercicio-1-dicas»  (to ".exercicio-1-dicas")
% (c2m232carrop 5 "exercicio-1-dicas")
% (c2m232carroa   "exercicio-1-dicas")
% (c2m231carrop 5 "exercicio-1-dicas")
% (c2m231carroa   "exercicio-1-dicas")
% (c2m221tfc1p 11 "exercicio-4-dicas")
% (c2m221tfc1a    "exercicio-4-dicas")

{\bf Exercício 1: mais dicas}

\scalebox{1.0}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

Pra fazer o exercício 1 você provavelmente vai ter que relembrar
algumas coisas sobre inclinação, coeficiente angular, limites
laterais, derivadas laterais, e sobre o significado das bolinhas
cheias e das bolinhas vazias nos gráficos... links:

\msk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "círculo cheio")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "em todos os números exceto 3")

\par \Ca{Leit1p18} (p.17: inclinação)
\par \Ca{Leit1p42} (p.41: bolinhas, domínio, imagem)
\par \Ca{StewPtCap1p10} (p.15: círculo cheio e círculo vazio)
\par \Ca{Miranda66} (Capítulo 3: Derivadas)
\par \Ca{Miranda22} (Seção 1.4: Limites laterais)
\par \Ca{Miranda74} (Seção 3.2.3: Derivadas laterais)

\msk

\par \Ca{2eT70} (p.11) Dicas que eu preparei em 2022.1

}\anothercol{
}}

\newpage

% «exercicio-2»  (to ".exercicio-2")
% (c2m232carrop 6 "exercicio-2")
% (c2m232carroa   "exercicio-2")
% (c2m231carrop 6 "exercicio-2")
% (c2m231carroa   "exercicio-2")
% (c2m221tfc1p 7 "exercicio-1")
% (c2m221tfc1a   "exercicio-1")

{\bf Exercício 2.}

%L PictBounds.setbounds(v(0,-2), v(7,4))
%L spec = "(0,0)--(1,0)o (1,2)c--(2,2)o (2,3)c--(4,3)c (4,-1)o--(6,-1)o (6,0)c--(7,0)"
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L pws:topict():prethickness("1.5pt"):pgat("pgatc"):sa("Ex 1"):output()
\pu

\unitlength=7.5pt

\ssk

Seja $f(x) \; = \;\; \ga{Ex 1}$ \; .

Note que:

$\Intx{1}{2}{f(x)} = 2·(2-1)$,

$\Intx{3}{4}{f(x)} = 3·(4-3)$,

$\Intx{4}{6}{f(x)} = -1·(6-4)$,

\msk

Calcule:

a) $\Intx{1.5}{2}{f(x)}$

b) $\Intx{2}{4}{f(x)}$

c) $\Intx{1.5}{4}{f(x)}$

d) $\Intx{1.5}{6}{f(x)}$




\newpage

% «exercicio-3»  (to ".exercicio-3")
% (c2m232carrop 7 "exercicio-3")
% (c2m232carroa   "exercicio-3")

{\bf Exercício 3.}

\msk

Sejam $f(x) \; = \;\; \ga{Ex 1}$

e $F(β) = \Intx{2}{β}{f(x)}$.

\msk

a) Calcule $F(2), F(2.5), F(3), \ldots, F(6)$.

b) Calcule $F(1.5), F(1), F(0.5), F(0)$.


\newpage

% «exercicio-4»  (to ".exercicio-4")
% (c2m232carrop 8 "exercicio-4")
% (c2m232carroa   "exercicio-4")
% (c2m221tfc1p 9 "exercicio-3")
% (c2m221tfc1a   "exercicio-3")

{\bf Exercício 4.}

No exercício 3 você obteve alguns valores da função $F(β)$,

mas não todos... por exemplo, você {\sl ainda} não calculou $F(2.1)$.

\msk

a) Desenhe num gráfico só todos os pontos $(x,F(x))$

que você calculou nos itens (a) e (b) do exercício 3.

Dica: o conjunto que você quer desenhar é este aqui:

$\{(0,F(0)), \, (0.5,F(0.5)), \ldots, (6,F(6))\}$.

\msk

b) Tente descobrir --- lendo os próximos slides, assitindo

o vídeo, e discutindo com os seus colegas --- qual é o jeito

certo de ligar os pontos do item (a).



\newpage

% «exercicio-5»  (to ".exercicio-5")
% (c2m241carrop 9 "exercicio-5")
% (c2m241carroa   "exercicio-5")
% (c2m232carrop 9 "exercicio-5")
% (c2m232carroa   "exercicio-5")
% (find-angg "LUA/Escadas1.lua" "FromYs-test-2")


{\bf Exercício 5.}

%L fry = FromYs.from {ys={1,0,1,2,1},      Y0=-2} :setall()
%L fry:ypict():prethickness("2pt"):sa("fig f"):output()
\pu


\scalebox{0.65}{\def\colwidth{6.5cm}\firstcol{

\unitlength=20pt

Seja
%
$$\begin{array}{lcl}
  f(x) &=& \ga{fig f}.
  \end{array}
$$

Faça os gráficos destas funções:

\ssk

a) $\D F(x) = \Intt{2}{x}{f(t)}$

\msk

b) $\D G(x) = \Intt{3}{x}{f(t)}$


}\def\colwidth{10.5cm}\anothercol{

Dica: comece fazendo uma tabela como esta aqui,
%
$$\begin{array}{cc}
  x & F(x) \\\hline
  2 \\
  3 \\
  4 \\
  5 \\
  2.5 \\
  3.5 \\
  2.1 \\
  3.1 \\
  \end{array}
$$

com um monte de pontos pros quais você consegue calcular o $F(x)$
deles de cabeça só olhando pro gráfico, e depois plote estes pontos.
Depois faça a mesma coisa pra $G(x)$ {\sl sem fazer a tabela} --
desenhe um monte de ``pontos fáceis de calcular'' direto no seu
gráfico.

\msk

Eu comecei o curso de Cálculo 3 de 2024.1 discutindo algumas técnicas
pra descobrir ``pontos fáceis de calcular''. Veja se os primeiros
slides de C3 te ajudam:

\ssk

\Ca{3iT4} Pontos mais fáceis de calcular




}}



\newpage

% «exercicio-6»  (to ".exercicio-6")
% (c2m241carrop 10 "exercicio-6")
% (c2m241carroa    "exercicio-6")

{\bf Exercício 6.}

% 2fT18 (c2m222mmp 4 "item-4")
%       (c2m222mma   "item-4")
% (c2m221p1p 7 "escadas")
% (c2m221p1a   "escadas")

%L fry = FromYs.from {ys={1,2,1,0,-1,-2,-1,0,1,2,1,0},      Y0=-2} :setall()
%L fry:ypict() :sa("fig f"):output()
%L fry = FromYs.from {ys={0,1,2,3, -2,-1,0,-1,-2, 3,2,1,0}, Y0=-2} :setall()
%L fry:ypict() :sa("fig g"):output()
\pu


\unitlength=9pt

Sejam:

\msk

$\begin{array}{lcc}
  f(x) = \ga{fig f} \; , \\
  g(x) = \ga{fig g} \; .\\
  \end{array}
$

\msk

Faça os gráficos destas funções:

\ssk

a) $\D F(x) = \Intt{0}{x}{f(t)}$

\ssk

b) $\D G(x) = \Intt{3}{x}{g(t)}$



\newpage

%  ____                       _          _           _             _
% |  _ \ _ __ ___  _ __  _ __(_) ___  __| | __ _  __| | ___  ___  / |
% | |_) | '__/ _ \| '_ \| '__| |/ _ \/ _` |/ _` |/ _` |/ _ \/ __| | |
% |  __/| | | (_) | |_) | |  | |  __/ (_| | (_| | (_| |  __/\__ \ | |
% |_|   |_|  \___/| .__/|_|  |_|\___|\__,_|\__,_|\__,_|\___||___/ |_|
%                 |_|
%
% «algumas-propriedades»  (to ".algumas-propriedades")
% (c2m232carrop 10 "algumas-propriedades")
% (c2m232carroa    "algumas-propriedades")
% (c2m232carrop 3 "algumas-propriedades")
% (c2m232carroa   "algumas-propriedades")
% (c2m221tfc1p 3 "algumas-propriedades")
% (c2m221tfc1a   "algumas-propriedades")

{\bf Algumas propriedades da integral}

%L para = function (x) return 4*x - x^2 end
%L vex  = function (str) return Code.ve("x => "..str) end
%L rievex = function (str) return Riemann.fromf(vex(str), seq(0, 4, 0.125)) end
%L rievexa = function (str, a, b)
%L     local rie = rievex(str)
%L     return Pict {
%L       rie.pwf:areaify(a, b):Color("Orange"),
%L       rie:lineify(0, 4),
%L     }
%L   end
%L rievexaout = function (str, a, b, name)
%L     local p = rievexa(str, a, b)
%L     p:pgat("pgatc"):sa(name):output()
%L   end
%L
%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(4,4))
%L rievexaout("para(x)/2", 0, 4, "Fig 1a 1")
%L rievexaout("para(x)",   0, 4, "Fig 1a 2")
%L
%L PictBounds.setbounds(v(0,-2), v(4,2))
%L rievexaout(" para(x)/2", 0, 4, "Fig 1b 1")
%L rievexaout("-para(x)/2", 0, 4, "Fig 1b 2")
%L
%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(4,2))
%L rievexaout("para(x)/2", 0, 3, "Fig 2a 1")
%L rievexaout("para(x)/2", 3, 4, "Fig 2a 2")
%L rievexaout("para(x)/2", 0, 4, "Fig 2a 3")
%L
%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(4,2))
%L rievexaout("para(x)/2", 0, 4, "Fig 2b 1")
%L rievexaout("para(x)/2", 3, 4, "Fig 2b 2")
%L rievexaout("para(x)/2", 0, 3, "Fig 2b 3")
\pu

\unitlength=10pt
\unitlength=7.5pt

\def\undga#1#2{\underbrace{\textstyle #2}_{\ga{#1}}}
\def\undqq#1#2{\underbrace{\textstyle #2}_{???}}
\def\und  #1#2{\underbrace{\textstyle #1}_{#2}}


\scalebox{0.5}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

As três propriedades mais básicas da integral definida são estas:
%
$$\begin{array}{rclc}
  k\Intx{a}{b}{f(x)} &=& \Intx{a}{b}{kf(x)} & (*) \\[5pt]
  \Intx{a}{b}{f(x)} + \Intx{b}{c}{f(x)} &=& \Intx{a}{c}{f(x)} & (**) \\[5pt]
  \Intx{a}{b}{f(x)} &=& -\Intx{b}{a}{f(x)} & ({*}{*}{*}) \\[5pt]
  \Intx{a}{b}{k} &=& k(b-a) & ({*}{*}{*}{*}) \\
  \end{array}
$$

O melhor modo da gente visualizar o que esses propriedades ``querem
dizer'' é comparando a fórmula pro caso geral com casos particulares.
Olhe pra figura à direita; ela compara a $(*)$ com dois casos
particulares dela -- primeiro um caso ``normal'', em que $k=2$, e
depois um caso ``estranho'' em que $k=-1$...

\msk

No caso ``estranho'' aparecem uns números negativos, ó:

$$\begin{array}{rclc}
  \und{(-1)· \und{\Intx{0}{4}{f(x)}}{>\,0}}{<\,0}
  &=& \und{\Intx{0}{4}{(-1)· f(x)}}{<\,0} \\
  \end{array}
$$

...e uma figura que tem ``área negativa''!!!

\msk

Eu acho a abordagem do Mathologer genial -- ele começa dizendo que a
distância percorrida é a área (ou a integral) da velocidade, e com
isso vários casos estranhos em que aparecem números negativos {\sl
  começam} a fazer sentido.

\bsk

\standout{Slogan:} a gente quer que as quatro propriedades acima
valham sempre -- tanto nos casos ``normais'' quanto nos casos
``estranhos''.

}\anothercol{

$$\begin{array}{lrclc}
  (*): & k\Intx{a}{b}{f(x)} &=& \Intx{a}{b}{kf(x)} & \\[10pt]
  (*) \bsm{ a:=0 \\
            b:=4 \\
            k=2 }:
      &   2· \undga{Fig 1a 1}{\Intx{0}{4}{f(x)}}
      &=& \undga{Fig 1a 2}{\Intx{0}{4}{2· f(x)}} \\[10pt]
  (*) \bsm{ a:=0 \\
            b:=4 \\
            k=-1 }:
      &   (-1)· \undga{Fig 1b 1}{\Intx{0}{4}{f(x)}}
      &=& \undga{Fig 1b 2}{\Intx{0}{4}{(-1)· f(x)}} \\[10pt]
  \end{array}
$$

\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk
\bsk

Links pros livros:

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "7.4 Propriedades da Integral")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "Propriedades da Integral Definida")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "5.6. Propriedades da integral definida")

\par \Ca{StewPtCap5p22} (p.343)

\par \Ca{Leit5p48} (p.331)

\par \Ca{MirandaP220} % (até a p.222)

}}

\newpage

%  ____                       _          _           _             ____
% |  _ \ _ __ ___  _ __  _ __(_) ___  __| | __ _  __| | ___  ___  |___ \
% | |_) | '__/ _ \| '_ \| '__| |/ _ \/ _` |/ _` |/ _` |/ _ \/ __|   __) |
% |  __/| | | (_) | |_) | |  | |  __/ (_| | (_| | (_| |  __/\__ \  / __/
% |_|   |_|  \___/| .__/|_|  |_|\___|\__,_|\__,_|\__,_|\___||___/ |_____|
%                 |_|
%
% «algumas-propriedades-2»  (to ".algumas-propriedades-2")
% (c2m232carrop 11 "algumas-propriedades-2")
% (c2m232carroa    "algumas-propriedades-2")

\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12.5cm}\firstcol{

A motivação pro $({*}{*}{*})$ é isso aqui:
%
$$\begin{array}{lrclc}
  (**): & \Intx{a}{b}{f(x)} + \Intx{b}{c}{f(x)} &=& \Intx{a}{c}{f(x)} \\[5pt]
  (**)  \bsm{ a:=0 \\
              b:=3 \\
              c:=4 }:
        &   \undga{Fig 2a 1}{\Intx{0}{3}{f(x)}}
          + \undga{Fig 2a 2}{\Intx{3}{4}{f(x)}}
        &=& \undga{Fig 2a 3}{\Intx{0}{4}{f(x)}} \\[5pt]
  (**) \bsm{ a:=0 \\
             b:=4 \\
             c:=3 }:
        &   \undga{Fig 2b 1}{\Intx{0}{4}{f(x)}}
          + \undqq{Fig 2b 2}{\Intx{4}{3}{f(x)}}
        &=& \undga{Fig 2b 3}{\Intx{0}{3}{f(x)}} \\[50pt]
        &   \undga{Fig 2b 1}{\Intx{0}{4}{f(x)}}
          - \undga{Fig 2b 2}{\Intx{3}{4}{f(x)}}
        &=& \undga{Fig 2b 3}{\Intx{0}{3}{f(x)}} \\[5pt]
  \end{array}
$$

}\anothercol{
}}

\newpage

%   ___                                  _                          _
%  / _ \ _   _  __ _ ___  ___   _ __ ___| |_ __ _ _ __   __ _ _   _| | ___  ___
% | | | | | | |/ _` / __|/ _ \ | '__/ _ \ __/ _` | '_ \ / _` | | | | |/ _ \/ __|
% | |_| | |_| | (_| \__ \  __/ | | |  __/ || (_| | | | | (_| | |_| | | (_) \__ \
%  \__\_\\__,_|\__,_|___/\___| |_|  \___|\__\__,_|_| |_|\__, |\__,_|_|\___/|___/
%                                                       |___/
% «quase-retangulos»  (to ".quase-retangulos")
% (c2m232carrop 12 "quase-retangulos")
% (c2m232carroa    "quase-retangulos")

{\bf ``Quase retângulos''}

%L PictBounds.setbounds(v(0,-2), v(7,4))
%L spec = "(0,2)--(3,2)o (3,3)c (3,2)o--(5,2)o (5,0)c--(7,0)"
%L pws = PwSpec.from(spec)
%L pws:topict():prethickness("1.5pt"):pgat("pgatc"):sa("quase rect"):output()
\pu

\unitlength=7.5pt


\scalebox{0.6}{\def\colwidth{11.5cm}\firstcol{

A quarta propriedade é essa aqui:
%
$$\begin{array}{rclc}
  \Intx{a}{b}{k} &=& k(b-a) & ({*}{*}{*}{*}) \\
  \end{array}
$$

A gente quer que ela valha pra todos os valores de $k$, $a$ e $b$ --
incluindo os casos em que $k$ é negativo, que são ``retângulos com
altura negativa'' e pros casos que $a>b$, que são ``retângulos que têm
base negativa''...

\msk

...e além disso a gente quer que ela valha pra casos como o da figura
da direita, em que entre $x=2$ e $x=5$ o mathologermóvel anda com
velocidade constante, 2, \ColorRed{exceto em dois instantes} -- repare
que no gráfico a gente tem $f(3)=3$ e $f(5)=0$...

\msk

Vamos pensar em termos de velocidades e distâncias. Entre $x=2$ e
$x=5$ o mathologermóvel andou sempre com velocidade 2, exceto por dois
instantes de um buzilionésimo de segundo cada um, em que ele andou com
velocidades diferentes de 2... esses instantes mudam tão pouco a
distância percorrida que a gente \ColorRed{vai considerar} que eles
\ColorRed{não mudam} a distância percorrida.

}\anothercol{

\bsk

$\begin{array}{c}
 f(x) \;= \scalebox{2.5}{$\ga{quase rect}$} \\
 \begin{array}{rcl}
   \Intx{2}{5}{f(x)} &=& \Intx{2}{5}{2} \\
                     &=& 2·(5-2) \\
                     &=& 2·3 \\
                     &=& 6 \\
 \end{array}
 \end{array}
$

}}


\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2025-1-C2-carro")


% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2ca"
% ee-tla: "c2m251carro"
% End:
