% (find-LATEX "2025-1-C2-diferenciais.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2025-1-C2-diferenciais.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2025-1-C2-diferenciais.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page      "~/LATEX/2025-1-C2-diferenciais.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2025-1-C2-diferenciais.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2025-1-C2-diferenciais.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2024-2-C2-diferenciais.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2025-1-C2-diferenciais"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2025-1-C2-diferenciais.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun oe () (interactive) (find-2a '(o) '(e)))
%          (code-eec-LATEX "2025-1-C2-diferenciais")
% (find-pdf-page   "~/LATEX/2025-1-C2-diferenciais.pdf")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2025-1-C2-diferenciais.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v  ~/LATEX/2025-1-C2-diferenciais.pdf /tmp/pen/")
%     (find-xournalpp "/tmp/2025-1-C2-diferenciais.pdf")
%   file:///home/edrx/LATEX/2025-1-C2-diferenciais.pdf
%               file:///tmp/2025-1-C2-diferenciais.pdf
%           file:///tmp/pen/2025-1-C2-diferenciais.pdf
%  http://anggtwu.net/LATEX/2025-1-C2-diferenciais.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps   "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2025-1-C2-diferenciais" "2" "c2m251di" "c2di")

% «.defs»		(to "defs")
% «.defs-T-and-B»	(to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro»	(to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e»	(to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima»	(to "defs-maxima")
% «.defs-V»		(to "defs-V")
% «.title»		(to "title")
% «.links»		(to "links")
% «.links-quadros»	(to "links-quadros")
% «.links-provas»	(to "links-provas")
% «.links-leithold»	(to "links-leithold")
% «.links-stewart»	(to "links-stewart")
% «.links-miranda»	(to "links-miranda")
%
% «.notacao-de-Leibniz»	(to "notacao-de-Leibniz")
% «.introducao»		(to "introducao")
% «.meu-objetivo»	(to "meu-objetivo")
% «.MVDs-e-MVIs»	(to "MVDs-e-MVIs")
% «.MVDs-e-MVIs-color»	(to "MVDs-e-MVIs-color")
% «.caso-A»		(to "caso-A")
% «.exercicio-1»	(to "exercicio-1")
% «.expanda-as-justs»	(to "expanda-as-justs")
% «.complete-as-justs»	(to "complete-as-justs")
% «.chutar-e-testar»	(to "chutar-e-testar")
% «.leithold-p302»	(to "leithold-p302")
%
% «.teste-mvdefs»		(to "teste-mvdefs")
% «.MVDs-MVIs»			(to "MVDs-MVIs")
% «.como-justificar-uma-MV»	(to "como-justificar-uma-MV")



\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb}                  % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof}   % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy        % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve}     % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21}               % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex            % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex            % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex           % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex               % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
            top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
           ]{geometry}
%
\begin{document}

% «defs»  (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")

\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2025-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2025.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}

% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")

\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"}  % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()}         % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()}         % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")

% «defs-T-and-B»  (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B       (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}

% «defs-caepro»  (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua"              -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl   #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca      #1{\Cahref{#1}{#1}}

% «defs-pict2e»  (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua"           -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua"           -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt

% «defs-maxima»  (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua"              -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu

% «defs-V»  (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu

% «defs-mvdefs»  (to ".defs-mvdefs")
%\input 2024-1-C2-mv-defs.tex          % (find-LATEX "2024-1-C2-mv-defs.tex")
\input 2025-1-C2-mv-defs.tex          % (find-LATEX "2025-1-C2-mv-defs.tex")



%  _____ _ _   _                               
% |_   _(_) |_| | ___   _ __   __ _  __ _  ___ 
%   | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
%   | | | | |_| |  __/ | |_) | (_| | (_| |  __/
%   |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
%                      |_|          |___/      
%
% «title»  (to ".title")
% (c2m251dip 1 "title")
% (c2m251dia   "title")

\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace*{1.2cm}

{\bf \Large Cálculo 2 - 2025.1}

\bsk

Aulas 14 e 15: diferenciais

e introdução às regras de

mudança de variável na integral

\bsk

Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF

\url{http://anggtwu.net/2025.1-C2.html}

\end{center}

\newpage

% «links»  (to ".links")
% (c2m251dip 2 "links")
% (c2m251dia   "links")

{\bf Links}

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{

% «links-quadros»  (to ".links-quadros")
% 2jQ24: (find-angg ".emacs" "c2q242" "21/10: Mudança de variável")
% 2iQ37: (find-angg ".emacs" "c2q241" "abr16: introdução à mudança de variável")
% 2hQ21: (find-angg ".emacs" "c2q232" "sep12: Mudança de variável")
\par Quadros:
\par \Ca{2jQ24} (2024.2) 21/out/2024

\ssk

% «links-provas»  (to ".links-provas")
\par Provas:
% sem Tudo: (c2m241p1p 5 "questao-1-gab")
%           (c2m241p1a   "questao-1-gab")
% 2hT190: (c2m232p1p 5 "questao-1-gab")
%         (c2m232p1a   "questao-1-gab")
% 2gT113: (c2m231p1p 5 "questao-1-gab")
%         (c2m231p1a   "questao-1-gab")
% 2fT112: (c2m222p1p 5 "questao-1-gab")
%         (c2m222p1a   "questao-1-gab")
\par \Ca{2hT190} 2023.2: P1, gabarito da questão 1
\par \Ca{2gT113} 2023.1: P1, gabarito da questão 1
\par \Ca{2fT112} 2022.2: P1, gabarito da questão 1

\msk

% «links-leithold»  (to ".links-leithold")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "269" "4.9. A diferencial")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "275" "reescritas usando notação de Leibniz")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "296" "5.2.1. Regra da cadeia para")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "302" "Exercícios 5.2")
%   (find-es "maxima" "leithold-pt-p302")
\par \Ca{Leit4p55} (p.269) 4.9 A diferencial
\par \Ca{Leit4p61} (p.275) reescritas (...) usando a notação de Leibniz
\par \Ca{Leit5p13} (p.296) Suponha que desejamos antidiferenciar $(1+x^2)^9(2x)$
\par \Ca{Leit5p13} (p.296) 5.2.1 Regra da cadeia para a antidiferenciação
\par \Ca{Leit5p19} (p.302) Exercícios 5.2

\ssk

% «links-stewart»  (to ".links-stewart")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt"  "10" "variável dependente")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "228" "Diferenciais")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "360" "5.4 Integrais Indefinidas")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "369" "5.5 A Regra da Substituição")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "372" "para as Integrais Definidas")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "372" "DEMONSTRAÇÃO Seja F uma primitiva de f")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "374" "Exercícios")
%   (find-es "maxima" "stewart-pt-p374")
\par \Ca{StewPtCap1p5} (p.10) variável dependente
\par \Ca{StewPtCap3p75} (p.228) Diferenciais
\par \Ca{StewPtCap5p39} (p.360) 5.4 Integrais Indefinidas
\par \Ca{StewPtCap5p48} (p.369) 5.5 A Regra da Substituição
\par \Ca{StewPtCap5p51} (p.372) Regra da Substituição para as Integrais Definidas
\par \Ca{StewPtCap5p51} (p.372) Demonstração. Seja $F$ uma primitiva de $f$...
\par \Ca{StewPtCap5p53} (p.374) Exercícios

\ssk

% «links-miranda»  (to ".links-miranda")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "117" "4.7 Aproximações Lineares e Diferencial")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "119" "Definição 7" "A diferencial")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "189" "6.2 Integração por Substituição")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "191" "Exercícios")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "192" "Exemplo 6.6")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "193" "não podemos")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "196" "Exercícios")
%   (find-es "maxima" "miranda-p191")
\par \Ca{Miranda117} 4.7 Aproximações Lineares e Diferencial
\par \Ca{Miranda119} Definição 7: a diferencial
\par \Ca{Miranda189} 6.2 Integração por Substituição
\par \Ca{Miranda191} Exercícios
\par \Ca{Miranda192} Exemplo 6.6
\par \Ca{Miranda193} Não podemos calcular uma integral que possui tanto um $x$ e um $u$ nela
\par \Ca{Miranda196} Exercícios

}\anothercol{
}}

\newpage


%                                     _ _            
%        _ __ ___  ___  ___  ___ _ __(_) |_ __ _ ___ 
%       | '__/ _ \/ _ \/ __|/ __| '__| | __/ _` / __|
%  _ _ _| | |  __/  __/\__ \ (__| |  | | || (_| \__ \
% (_|_|_)_|  \___|\___||___/\___|_|  |_|\__\__,_|___/
%                                                    
% «notacao-de-Leibniz»  (to ".notacao-de-Leibniz")
% 2jT94: (c2m242dip 3 "notacao-de-Leibniz")
%        (c2m242dia   "notacao-de-Leibniz")
% (c2m241dip 3 "notacao-de-Leibniz")
% (c2m241dia   "notacao-de-Leibniz")

{\bf ...reescritas usando a notação de Leibniz}

\sa{leithold-body}{
  \frac{d(c)}{dx}   &=& 0 \\
  \frac{d(x^n)}{dx} &=& nx^{n-1} \\
  \frac{d(cu)}{dx}  &=& c\frac{du}{dx} \\
  \frac{d(u+v)}{dx} &=& \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} \\
  \frac{d(uv)}{dx}  &=& u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} \\
  \frac{d(\frac{u}{v})}{dx} &=&
     \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2} \\
  \frac{d(u^n)}{dx} &=& nu^{n-1} \frac{du}{dx} \\
  \\[-7pt]
}

\sa{leithold-body2}{
  d(c)   &=& 0 \\
  d(x^n) &=& nx^{n-1}dx \\
  d(cu)  &=& c\,du \\
  d(u+v) &=& du+dv  \\
  d(uv)  &=& u\,dv + v\,du \\
  d(\frac{u}{v}) &=&
     \frac{v\,du - u\,dv}{v^2} \\
  d(u^n) &=& nu^{n-1} du \\
}

\scalebox{0.65}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{

O Leithold define diferenciais na p.269, e na p.275...

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "269" "4.9. A diferencial")
\par \Ca{Leit4p55} (p.269) 4.9 A diferencial

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "275" "reescritas usando notação de Leibniz")
\par \Ca{Leit4p61} (p.275) ...usando a notação de Leibniz

ele tem esta tabela, em que ele mostra como as regras usuais de
derivação podem ser traduzidas pra regras usando diferenciais:
%
$$\begin{array}{c}
   \begin{array}{rcl}
   \ga{leithold-body}
   \end{array}
   \quad
   \begin{array}{rcl}
   \ga{leithold-body2}
   \end{array}
 \end{array}
$$

quando eu seguia a ordem dos livros e ensinava diferenciais em C2 as
pessoas cometiam tantos, tantos, tantos erros nas provas --
principalmente na mudança de variável na integral, que vamos ver na
próxima página -- que as provas eram um massacre...

...aí eu resolvi \standout{\standout{PROIBIR}} diferenciais em C2. A
gente vai usar elas só em alguns pontos muito específicos da matéria
de C2, e vai deixar pra ver elas direito em C3.

}\anothercol{
}}


\newpage

%  ___       _                 _                       
% |_ _|_ __ | |_ _ __ ___   __| |_   _  ___ __ _  ___  
%  | || '_ \| __| '__/ _ \ / _` | | | |/ __/ _` |/ _ \ 
%  | || | | | |_| | | (_) | (_| | |_| | (_| (_| | (_) |
% |___|_| |_|\__|_|  \___/ \__,_|\__,_|\___\__,_|\___/ 
%                                                      
% «introducao»  (to ".introducao")
% 2jT95: (c2m242dip 4 "introducao")
%        (c2m242dia   "introducao")
% (c2m241dip 3 "introducao")
% (c2m241dia   "introducao")
% (c2m232mvp 3 "introducao")
% (c2m232mva   "introducao")

{\bf Introdução}

\def\und#1#2{\underbrace{#1}_{#2}}
\aligneqswide
\mvdefaults

\scalebox{0.48}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

A fórmula mais difícil de justificar de Cálculo 2 é essa aqui -- a
fórmula da mudança de variável na integral indefinida (``MVI''):
%
$$\sa {g(x)}{\und{g(x)}{u}}
  \sa{g'(x)}{\und{g'(x)}{\frac{du}{dx}}}
  \sa{g'(x)dx}{\und{\ga{g'(x)}\,dx}{du}}
  \int f'(\ga{g(x)}) \ga{g'(x)dx} = \intu{f'(u)}
$$

Tem dois modos da gente acreditar nela. O primeiro é assim: os livros
dizem que a MVI é verdade, então se a gente decorar ela e algumas
demonstrações curtas dela e a gente aprender a recitá-las com muita,
muita, {\sl muita} convicção então a gente

\begin{itemize}
\item vai se convencer de que ela é verdade,
\item vai ser capaz de usar ela na prova sem errar,
\item e a gente vai ser capaz de convencer outras pessoas de que ela é
  verdade.
\end{itemize}

Tem uma demonstração da MVI aqui,

\ssk

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "27 369" "5.5 A Regra da Substituição")
\par \Ca{StewPtCap5p48} (p.369) 5.5 A Regra da Substituição

\ssk

mas eu até hoje não consigo acreditar direito nessa demonstração -- me
parece que faltam muitos detalhes nela, {\sl e eu não sei completar
  esses detalhes}.

}\def\colwidth{12cm}\anothercol{

O segundo modo da gente acreditar na MVI é a gente aprender a usar
isso aqui,
%
$$\ga{[MVD4]} = \ga{(MVD4)}
$$

onde ``MVD'' quer dizer ``mudança de variável na integral definida'',
e o ``4'' quer dizer ``versão com 4 igualdades''. Note que esse
$\ga{[MVD4]}$ é uma demonstração -- em que cada passo é fácil de
justificar! -- e não uma fórmula... a fórmula da MVD é essa aqui,
%
$$\ga{[MVD1]} = \ga{(MVD1)}
$$

e a fórmula da MVI é esta:
%
$$\ga{[MVI1]} = \ga{(MVI1)}
$$

as abreviações são estas,
%
$$\begin{array}{ccc}
  \ga{[MVD4]} &\to& \ga{[MVI3]} \\
    \dnto  &   & \dnto     \\
  \ga{[MVD1]} &\to& \ga{[MVI1]} \\
  \end{array}
$$

e a gente vai aprender a expandir cada aplicação da $\ga{[MVI1]}$ pra
uma aplicação da $\ga{[MVD4]}$ -- em que cada passo vai ser fácil de
justificar.

}}

\newpage

%  __  __                    _     _      _   _                 
% |  \/  | ___ _   _    ___ | |__ (_) ___| |_(_)_   _____       
% | |\/| |/ _ \ | | |  / _ \| '_ \| |/ _ \ __| \ \ / / _ \      
% | |  | |  __/ |_| | | (_) | |_) | |  __/ |_| |\ V / (_) | _ _ 
% |_|  |_|\___|\__,_|  \___/|_.__// |\___|\__|_| \_/ \___(_|_|_)
%                               |__/                            
%
% «meu-objetivo»  (to ".meu-objetivo")
% (c2m241dip 5 "meu-objetivo")
% (c2m241dia    "meu-objetivo")
% (c2m241introp 4 "meu-objetivo-2")
% (c2m241introa   "meu-objetivo-2")

{\bf ``Meu objetivo é...'' (2)}

\scalebox{0.55}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{

Você já deve ter relido os slides da ``Introdução ao curso''

\ssk

\url{http://anggtwu.net/LATEX/2024-1-C2-intro.pdf}

\ssk

várias vezes. A introdução tem um slide chamado ``Meu objetivo é...'',
que tem esse trecho aqui:

  \begin{quotation}
    Cálculo 2 tem vários assuntos que funcionam assim: se você tentar
    aprender o assunto B direto ele é muito, muito, muito difícil, e
    você vai gastar -- digamos -- 200 horas de estudo pra aprender
    ele... mas se você aprender o assunto A primeiro você consegue
    aprender os dois assuntos, A e B, em 20 horas ao invés de 200.
  \end{quotation}

e ela tem vários slides que falam de atividades que exercitam músculos
mentais bem diferentes. O que importa agora é que ``entender de
cabeça'' e ``entender escrevendo as subtituições por extenso no
papel'' são atividades que exercitam músculos mentais beeem
diferentes, e o modo rápido de aprender Cálculo 2 é nessa ordem aqui:

\begin{itemize}
\item[A.] aprender a fazer as substituições no papel
\item[B.] aprender a fazer as substituições de cabeça
\item[C.] entender o que os livros dizem
\end{itemize}

%\begin{itemize}
%\end{itemize}

}\anothercol{

Você só vai conseguir aprender o B (``...de cabeça'') treinando
bastante o A (``...no papel''), e pra conseguir entender o que os
livros dizem (``C'') você muitas vezes vai ter que expandir uma frase
misteriosa do livro em MUITOS passos mais simples. Aqui tem alguns
exemplos de coisas super complicadas que os livros que nós estamos
usando escreveram em poucas frases cada uma:

\msk

\par \Ca{StewPtCap5p51} (p.372) Seja $F$ uma primitiva de $f$...

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "miranda" "193" "não podemos")
\par \Ca{Miranda193} ...que possui tanto um $x$ e um $u$...

\bsk
\bsk

{\sl A matéria desse curso é gigantesca e nós temos muito pouco
  tempo.} Se você ficar insistindo em tentar entender ``de cabeça'' o
que os livros dizem sem tentar escrever as substituições no papel eu
vou ter que usar esse slogan daqui,

\begin{quote}
  \standout{\begin{tabular}{l}
              MEU OBJETIVO É REPROVAR \\
              PESSOAS COMO VOCÊ!!!
            \end{tabular}}
\end{quote}

que na verdade é uma versão abreviada de uma idéia bem maior -- releia
os slides da ``Introdução ao curso'' pra entender ela direito.



}}



\newpage

%  _____                          _             _ 
% |  ___|__  _ __ _ __ ___  _   _| | __ _ ___  / |
% | |_ / _ \| '__| '_ ` _ \| | | | |/ _` / __| | |
% |  _| (_) | |  | | | | | | |_| | | (_| \__ \ | |
% |_|  \___/|_|  |_| |_| |_|\__,_|_|\__,_|___/ |_|
%                                                 
% «MVDs-e-MVIs»  (to ".MVDs-e-MVIs")
% 2jT96: (c2m242dip 6 "MVDs-e-MVIs")
%        (c2m242dia   "MVDs-e-MVIs")
% (c2m241dip 6 "MVDs-e-MVIs")
% (c2m241dia   "MVDs-e-MVIs")

{\bf MVDs e MVIs}

\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

$$\begin{array}{rcl}
  \ga{[MVD4]} &=& \ga{(MVD4)} \\\\[-10pt]
  \ga{[MVD1]} &=& \ga{(MVD1)} \\\\[-2pt]
  \ga{[MVI3]} &=& \ga{(MVI3)} \\\\[-10pt]
  \ga{[MVI1]} &=& \ga{(MVI1)} \\
  \end{array}
$$

}\anothercol{
}}


\newpage

%  _____                          _             ____  
% |  ___|__  _ __ _ __ ___  _   _| | __ _ ___  |___ \ 
% | |_ / _ \| '__| '_ ` _ \| | | | |/ _` / __|   __) |
% |  _| (_) | |  | | | | | | |_| | | (_| \__ \  / __/ 
% |_|  \___/|_|  |_| |_| |_|\__,_|_|\__,_|___/ |_____|
%                                                     
% «MVDs-e-MVIs-color»  (to ".MVDs-e-MVIs-color")
% (c2m241dip 7 "MVDs-e-MVIs-color")
% (c2m241dia   "MVDs-e-MVIs-color")

{\bf MVDs e MVIs, versão colorida}

\scalebox{0.9}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

\mvthreecolors

$$\begin{array}{rcl}
  \ga{[MVD4]} &=& \ga{(MVD4)} \\\\[-10pt]
  \ga{[MVD1]} &=& \ga{(MVD1)} \\\\[-2pt]
  \ga{[MVI3]} &=& \ga{(MVI3)} \\\\[-10pt]
  \ga{[MVI1]} &=& \ga{(MVI1)} \\
  \end{array}
$$

}\anothercol{
}}

\newpage

%   ____                     _    
%  / ___|__ _ ___  ___      / \   
% | |   / _` / __|/ _ \    / _ \  
% | |__| (_| \__ \ (_) |  / ___ \ 
%  \____\__,_|___/\___/  /_/   \_\
%                                 
% «caso-A»  (to ".caso-A")
% (c2m241dip 8 "caso-A")
% (c2m241dia   "caso-A")
% (c2m241mvdefsa "mv-casoA")

{\bf Um caso particular: $\intx{\cos(2x)·2}$}

\mvthreecolors

\scalebox{0.8}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{

$$\begin{array}{lcl}
  \ga{[MVD4]} &=& \ga{(MVD4)} \\\\[-7pt]
  \ga{[MVD4]}  \mvcasoA
               \bsm{  f(x):=\mvf {x} \\
                     f'(x):=\mvfp{x} \\
                      g(x):=\mvg {x} \\
                     g'(x):=\mvgp{x} \\
                         a:=\ga{a} \\
                         b:=\ga{b} \\
                   }
              &=& \mvcasoA\ga{(MVD4)} \\
  \end{array}
$$

}\anothercol{
}}



\newpage

%  _____                   _      _         _ 
% | ____|_  _____ _ __ ___(_) ___(_) ___   / |
% |  _| \ \/ / _ \ '__/ __| |/ __| |/ _ \  | |
% | |___ >  <  __/ | | (__| | (__| | (_) | | |
% |_____/_/\_\___|_|  \___|_|\___|_|\___/  |_|
%                                             
% «exercicio-1»  (to ".exercicio-1")
% (c2m241dip 9 "exercicio-1")
% (c2m241dia   "exercicio-1")

{\bf Exercício 1}

\mvdefaults

\scalebox{0.6}{\def\colwidth{14cm}\firstcol{

Lembre que:

$$\begin{array}{lcl}
  \ga{[MVD4]} &=& \ga{(MVD4)} \\\\[-7pt]
  \ga{[MVD1]} &=& \ga{(MVD1)} \\\\[-7pt]
  \ga{[MVI1]} &=& \ga{(MVI1)} \\\\[-7pt]
  \end{array}
$$

% (find-es "maxima" "stewart-pt-p374")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "374" "Exercícios")
Sejam $\ga{[S1]}=\bsm{f'(u):=u^{10} \\ f(u):=\frac{1}{11} u^{11} \\ g(x):=x^2+4 \\ g'(x):=2x}$
    e $\ga{[S2]}=\bsm{f'(x):=\tan(x) \\ g(x):=x^2 \\ g'(x):=2x}$.

\msk

Complete:

\par a) $\ga{[MVI1]} \ga{[S1]} = \Rq$
\par b) $\ga{[MVD4]} \ga{[S1]} = \Rq$
\par c) $\ga{[MVI1]} \ga{[S2]} = \Rq$
\par d) $\ga{[MVD1]} \ga{[S2]} = \Rq$
\par e) $\ga{[MVD4]} \ga{[S2]} = \Rq$

\ssk

O item (e) vai ajudar a gente a entender isso aqui:

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "372" "DEMONSTRAÇÃO Seja F uma primitiva de f")
\par \Ca{StewPtCap5p51} (p.372) Demonstração. Seja $F$ uma primitiva de $f$...


}\anothercol{
}}


\newpage

%  _____                            _           _           _       
% | ____|_  ___ __   __ _ _ __   __| | __ _    (_)_   _ ___| |_ ___ 
% |  _| \ \/ / '_ \ / _` | '_ \ / _` |/ _` |   | | | | / __| __/ __|
% | |___ >  <| |_) | (_| | | | | (_| | (_| |   | | |_| \__ \ |_\__ \
% |_____/_/\_\ .__/ \__,_|_| |_|\__,_|\__,_|  _/ |\__,_|___/\__|___/
%            |_|                             |__/                   
%
% «expanda-as-justs»  (to ".expanda-as-justs")
% (c2m241dip 10 "expanda-as-justs")
% (c2m241dia    "expanda-as-justs")

{\bf Expanda as justificativas}

\def\aligneqspor#1{}
\def\aligneqspor#1{#1}
\def\Por        #1{ & \quad\text{por }#1}
\sa{[A]}{\CFname{A}{}}
\sa{[B]}{\CFname{B}{}}
\sa{(MVD4J)}{
  \P{\aligneqsfour
      { \Intx {\ga{a}} {\ga{b}} {\ga{f'(g(x))g'(x)}} }
      { \Difx {\ga{a}} {\ga{b}} {\ga{f(g(x))}}       } {\Por{\ga{just1}}}
      { \ga{f(g(b))} - \ga{f(g(a))}                  } {\Por{\ga{just2}}}
      { \Difu {\ga{g(a)}} {\ga{g(b)}}  {\ga{f(u)}}   } {\Por{\ga{just3}}}
      { \Intu {\ga{g(a)}} {\ga{g(b)}} {\ga{f'(u)}}   } {\Por{\ga{just4}}}
    }
  }
\def\aligneqspor#1{}
\def\aligneqspor#1{#1}
\def\Por        #1{ & \quad\text{por }#1}
\sa{just1}{ \ga{[TFC2]}   \bsm{F(x):=\sen(2·x) \\ F'(x):=\cos(2·x)·2 \\ a:=3 \\ b:=4} }
\sa{just2}{ \ga{[defdif]} \bsm{F(x):=\sen(2·x)                       \\ a:=3 \\ b:=4} }
\sa{just3}{ \ga{[defdif]} \bsm{x:=u} \bsm{F(u):=\sen(u) \\                   a:=2·3 \\ b:=2·4} }
\sa{just4}{ \ga{[TFC2]}   \bsm{x:=u} \bsm{F(u):=\sen(u) \\ F'(u):=\cos(u) \\ a:=2·3 \\ b:=2·4} }

\scalebox{0.54}{\def\colwidth{19cm}\firstcol{

Na figura abaixo o $\ga{[A]}$ é um caso particular do $\ga{[MVD4]}$ {\sl com justificativas}:
%
$$\mvcasoA
  \begin{array}{ccl}
  \ga{[TFC2]}   &=& \ga{(TFC2)} \\
  \ga{[defdif]} &=& \ga{(defdif)} \\
  \ga{[A]}      &=& \ga{(MVD4J)} \\
  \end{array}
$$

\msk

{\bf Exercício 2.}

Expanda cada uma das justificativas,

\msk

\par a) $\ga{just1} = \Rq$
\par b) $\ga{just2} = \Rq$
\par c) $\ga{just3} = \Rq$
\par d) $\ga{just4} = \Rq$

\msk

e veja que nem sempre a justificativa dá exatamente a igualdade à esquerda dela --

às vezes ela dá só algo que, arrãm, {\sl justifica} a igualdade.

}\anothercol{
}}



\newpage

%   ____                      _      _           _           _       
%  / ___|___  _ __ ___  _ __ | | ___| |_ ___    (_)_   _ ___| |_ ___ 
% | |   / _ \| '_ ` _ \| '_ \| |/ _ \ __/ _ \   | | | | / __| __/ __|
% | |__| (_) | | | | | | |_) | |  __/ ||  __/   | | |_| \__ \ |_\__ \
%  \____\___/|_| |_| |_| .__/|_|\___|\__\___|  _/ |\__,_|___/\__|___/
%                      |_|                    |__/                   
%
% «complete-as-justs»  (to ".complete-as-justs")
% (c2m241dip 7 "complete-as-justs")
% (c2m241dia   "complete-as-justs")

{\bf Complete as justificativas}

\def\Rqn#1{\ColorRed{?_{#1}}}
\sa{just1}{ \Rqn{1} }
\sa{just2}{ \Rqn{2} }
\sa{just3}{ \Rqn{3} }
\sa{just4}{ \Rqn{4} }
\mvdefaults

\scalebox{0.54}{\def\colwidth{15cm}\firstcol{

Na figura abaixo o $\ga{[B]}$ é um outro caso particular do $\ga{[MVD4]}$ com justificativas,
%
$$\mvthreecolors
  \begin{array}{ccl}
  \ga{[TFC2]}   &=& \ga{(TFC2)} \\
  \ga{[defdif]} &=& \ga{(defdif)} \\
  \ga{[B]}      &=& \ga{(MVD4J)} \\
  \end{array}
$$

\msk

{\bf Exercício 3.}

Encontre justificativas que podem ser postas nas posições $\Rqn1$,
$\Rqn2$, $\Rqn3$ e $\Rqn4$.

\msk

{\bf Dica:}

É \standout{BEEEM} difícil encontrar os $\Rqn1$, $\Rqn2$, $\Rqn3$ e
$\Rqn4$ direto de cabeça...

Use o chutar e testar e não apague nenhum dos seus chutes e testes!

\msk

{\bf Dica 2:}

``Resolver por chutar e testar'' e ``resolver de cabeça'' são técnicas
que usam músculos mentais diferentes, e quase sempre quando a gente
encontra um problema ``com cara de Cálculo 2'' o modo mais rápido de
descobrir como resolver ele ``de cabeça'' é começar tentando resolver
ele ``por chutar e testar''! Vou tentar fazer umas animações
explicando a idéia geral por trás disso quando der. Isso tem a ver
com uma das minhas áreas de pesquisa... um link:

\ssk

\url{http://anggtwu.net/math-b.html\#2022-md}

\ssk

Resumindo: {\sl treine chutar e testar!!!}



}\anothercol{
}}


\newpage

% «chutar-e-testar»  (to ".chutar-e-testar")
% (c2m251dip 12 "chutar-e-testar")
% (c2m251dia    "chutar-e-testar")
% (c2m241dip 12 "chutar-e-testar")
% (c2m241dia    "chutar-e-testar")

{\bf Mais um exemplo de chutar e testar}

\def\L{\\[-8pt]}
\def\eqnp      {\eqnpfull}
\def\Por        #1{ & \quad\text{por }#1}
\def\Por        #1{ & \text{por }#1}
\def\Por        #1{ & \hspace*{-2cm}\text{por }#1}
\sa{just1}{\ga{[RC]} \bsm{ f(x):=\ln x \\ f'(x)=1/x }}

\scalebox{0.5}{\def\colwidth{11.5cm}\firstcol{

Isto é uma versão melhorada de...

% (find-pdftoolsr-page "~/2024.1-C2/C2-quadros.pdf" 34)
\par \Ca{2iQ34} um quadro da aula de 9/abril/2024.

Lembre que:
%
$$\ga{[RC]} = \ga{(RC)}$$

Digamos que queremos resolver isto,
%
$$\intx{\frac{2}{3x+4} + \frac{5}{6x+7}} \;=\; \Rq$$

mas nós vamos começar por este problema mais simples,
%
$$\intx{\frac{2}{3x+4}} \;=\; \Rq$$

que é equivalente a:
%
$$\ddx \, \Rq \;=\; \frac{2}{3x+4}$$

Tente entender a solução por chutar e testar da direita. Muita gente
acha que não pode fazer chutes e testes com números -- porque, sei lá,
talvez o Reginaldo tenha dito pra elas que isso é coisa de gente
burra... mas repare que à direita eu fiz alguns chutes e testes usando
números, e logo depois {\sl eu transformei esses chutes e testes com
  números em chutes e testes com variáveis, que viraram fórmulas
  novas}... e acho que todo mundo concorda que inventar fórmulas e
demonstrá-las é algo bem chique.


}\anothercol{

$$\begin{array}{rcll}
  \ddx \ln x      &=& \frac1x    \\
  \ddx 2\ln x     &=& \frac2x    \\\L
  \ddx \ln(g(x))  &\eqnp{1}& \frac{1}{g(x)}g'(x) \Por{\ga{just1}} \\
                  &\eqnp{2}& \frac{g'(x)}{g(x)}  \\
  \ddx \ln(g(x))  &\eqnp{3}& \frac{g'(x)}{g(x)}  \Por{\text{(1) e (2)}} \\
  \ddx \ln(6x+7)  &=& \frac{6}{6x+7}             \Por{\text{(3)} \bsm{g(x):=6x+7 \\ g'(x):=6}} \\
  \ddx \ln(ax+b)  &\eqnp{4}& \frac{a}{ax+b}      \Por{\text{(3)}} \\
  \ddx (c\ln(ax+b)) &\eqnp{5}& c\frac{a}{ax+b}   \Por{\text{(4)}} \\
  \ddx (c\ln(3x+4)) &\eqnp{6}& c\frac{3}{3x+4}   \Por{\text{(5)}} \\
  \ddx (\frac{1}{3} \ln(3x+4)) &\eqnp{6}& \frac{1}{3}\frac{3}{3x+4} \\
  \ddx (\frac{1}{3} \ln(3x+4)) &=& \frac{1}{3x+4} \\
  \ddx (\frac{2}{3} \ln(3x+4)) &=& \frac{2}{3x+4} \\
 %\ddx (\frac{a}{b} \ln(bx+c)) &=& \Rq \\
  \ddx (\frac{a}{b} \ln(bx+c)) &=& \frac{a}{b} \frac{b}{bx+c} \Por{(5)} \\
                               &=& \frac{a}{bx+c} \\
  \ddx (\frac{a}{b} \ln(bx+c)) &\eqnp{7}& \frac{a}{bx+c} \\
  \intx{\frac{a}{bx+c}}        &\eqnp{8}& \frac{a}{b} \ln(bx+c)     \Por{(7)} \\
  \intx{\frac{2}{3x+4}}        &\eqnp{9}& \frac{2}{3} \ln(3x+4)     \Por{(8)} \\
  \intx{\frac{5}{6x+7}}        &\eqnp{10}& \frac{5}{6} \ln(6x+7)    \Por{(8)} \\\L
  \intx{\frac{2}{3x+4} + \frac{5}{6x+7}} &\eqnp{11}&
                   \frac{2}{3} \ln(3x+4) + \frac{5}{6} \ln(6x+7) \\
  \end{array}
$$

}}

\newpage

% {\bf Complete uma MVI}
% 
% \newpage
% 
% {\bf Expanda uma MVI}

% \newpage
% 
% {\bf O grande truque}
% 
% Repare que a gente não precisa dizer quem é a $f$

\newpage

% «leithold-p302»  (to ".leithold-p302")
% (c2m241dip 13 "leithold-p302")
% (c2m241dia    "leithold-p302")

{\bf Leithold, p.302}

%M (%i1) items : [
%M   ["1.", sqrt(1-4*y),         u=1-4*y],
%M   ["2.", (3*x - 1/4)^(1/3),   u=3*x-1/4],
%M   ["3.", (6   - 2*x)^(1/3),   u=6-2*x],
%M   ["4.", sqrt(5*r + 1),       u=5*r+1],
%M   ["5.", x*sqrt(x^2 - 9),     u=x^2-9],
%M   ["6.", 3*x*sqrt(4 - x^2),   u=4-x^2],
%M   ["7.", x^2*(x^3-1)^10,      u=x^3-1],
%M   ["8.", x*(2*x^2+1)^6,       u=2*x^2+1],
%M   ["9.", 5*x*(9-4*x^2)^(2/3), u=9-4*x^2],
%M   ["10.", x/(x^2+1)^3,        u=x^2+1]
%M   ]$
%M (%i2) lfc_solve_m (items);
%M (%o2) \begin{pmatrix}\mbox{ 1. }&\int {\sqrt{1-4\,y}}{\;dy}\big.&\mbox{ = }&-\left({\frac{\left(1-4\,y\right)^{{\frac{3}{2}}}}{6}}\right)\cr \mbox{ 2. }&\int {\left(3\,x-{\frac{1}{4}}\right)^{{\frac{1}{3}}}}{\;dx}\big.&\mbox{ = }&{\frac{\left(3\,x-{\frac{1}{4}}\right)^{{\frac{4}{3}}}}{4}}\cr \mbox{ 3. }&\int {\left(6-2\,x\right)^{{\frac{1}{3}}}}{\;dx}\big.&\mbox{ = }&-\left({\frac{3\,\left(6-2\,x\right)^{{\frac{4}{3}}}}{8}}\right)\cr \mbox{ 4. }&\int {\sqrt{5\,r+1}}{\;dr}\big.&\mbox{ = }&{\frac{2\,\left(5\,r+1\right)^{{\frac{3}{2}}}}{15}}\cr \mbox{ 5. }&\int {x\,\sqrt{x^2-9}}{\;dx}\big.&\mbox{ = }&{\frac{\left(x^2-9\right)^{{\frac{3}{2}}}}{3}}\cr \mbox{ 6. }&3\,\int {x\,\sqrt{4-x^2}}{\;dx}\big.&\mbox{ = }&-\left(4-x^2\right)^{{\frac{3}{2}}}\cr \mbox{ 7. }&\int {x^2\,\left(x^3-1\right)^{10}}{\;dx}\big.&\mbox{ = }&{\frac{\left(x^3-1\right)^{11}}{33}}\cr \mbox{ 8. }&\int {x\,\left(2\,x^2+1\right)^6}{\;dx}\big.&\mbox{ = }&{\frac{\left(2\,x^2+1\right)^7}{28}}\cr \mbox{ 9. }&5\,\int {x\,\left(9-4\,x^2\right)^{{\frac{2}{3}}}}{\;dx}\big.&\mbox{ = }&-\left({\frac{3\,\left(9-4\,x^2\right)^{{\frac{5}{3}}}}{8}}\right)\cr \mbox{ 10. }&\int {{\frac{x}{\left(x^2+1\right)^3}}}{\;dx}\big.&\mbox{ = }&-\left({\frac{1}{4\,\left(x^2+1\right)^2}}\right)\cr \end{pmatrix}
%L maximahead:sa("leithold-pt-p302-1", "")
\pu

%M (%i3) lfc_change_m(items);
%M (%o3) \begin{pmatrix}\mbox{ 1. }&\int {\sqrt{1-4\,y}}{\;dy}\big.&\mbox{ = }&-\left({\frac{\int {\sqrt{u}}{\;du}\big.}{4}}\right)&&u=1-4\,y\cr \mbox{ 2. }&\int {\left(3\,x-{\frac{1}{4}}\right)^{{\frac{1}{3}}}}{\;dx}\big.&\mbox{ = }&{\frac{\int {u^{{\frac{1}{3}}}}{\;du}\big.}{3}}&&u=3\,x-{\frac{1}{4}}\cr \mbox{ 3. }&\int {\left(6-2\,x\right)^{{\frac{1}{3}}}}{\;dx}\big.&\mbox{ = }&-\left({\frac{\int {u^{{\frac{1}{3}}}}{\;du}\big.}{2}}\right)&&u=6-2\,x\cr \mbox{ 4. }&\int {\sqrt{5\,r+1}}{\;dr}\big.&\mbox{ = }&{\frac{\int {\sqrt{u}}{\;du}\big.}{5}}&&u=5\,r+1\cr \mbox{ 5. }&\int {x\,\sqrt{x^2-9}}{\;dx}\big.&\mbox{ = }&{\frac{\int {\sqrt{u}}{\;du}\big.}{2}}&&u=x^2-9\cr \mbox{ 6. }&3\,\int {x\,\sqrt{4-x^2}}{\;dx}\big.&\mbox{ = }&-\left({\frac{3\,\int {\sqrt{u}}{\;du}\big.}{2}}\right)&&u=4-x^2\cr \mbox{ 7. }&\int {x^2\,\left(x^3-1\right)^{10}}{\;dx}\big.&\mbox{ = }&{\frac{\int {u^{10}}{\;du}\big.}{3}}&&u=x^3-1\cr \mbox{ 8. }&\int {x\,\left(2\,x^2+1\right)^6}{\;dx}\big.&\mbox{ = }&{\frac{\int {u^6}{\;du}\big.}{4}}&&u=2\,x^2+1\cr \mbox{ 9. }&5\,\int {x\,\left(9-4\,x^2\right)^{{\frac{2}{3}}}}{\;dx}\big.&\mbox{ = }&-\left({\frac{5\,\int {u^{{\frac{2}{3}}}}{\;du}\big.}{8}}\right)&&u=9-4\,x^2\cr \mbox{ 10. }&\int {{\frac{x}{\left(x^2+1\right)^3}}}{\;dx}\big.&\mbox{ = }&{\frac{\int {{\frac{1}{u^3}}}{\;du}\big.}{2}}&&u=x^2+1\cr \end{pmatrix}
%M (%i4) 
%L maximahead:sa("leithold-pt-p302-2", "")
\pu


\scalebox{0.44}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{

\vspace*{0cm}

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "leithold" "302" "Exercícios 5.2")
%   (find-es "maxima" "leithold-pt-p302")
\par \Ca{Leit5p19} (p.302) Exercícios 5.2

\msk

\def\hboxthreewidth{12cm}
\ga{leithold-pt-p302-1}

}\anothercol{

\vspace*{0cm}

\def\hboxthreewidth{14cm}
\ga{leithold-pt-p302-2}

}}


\newpage



% «teste-mvdefs»  (to ".teste-mvdefs")
% (c2m241dip 99 "teste-mvdefs")
% (c2m241dia    "teste-mvdefs")

\aligneqsthin
\aligneqswide
\mvdefaults

  \def\mvf #1{\ColorGreen {\sen(#1)}}
  \def\mvfp#1{\ColorGreen {\cos(#1)}}
  \def\mvg #1{\ColorOrange{#1^3}}
  \def\mvgp#1{\ColorOrange{3#1^2}}
  \sa     {a}{\ColorRed   {4}}
  \sa     {b}{\ColorRed   {5}}


\long\def\ColorBlue  #1{{\color{blue}#1}}



\newpage

%M (%i1) Sg : '[g(x):=x^2,    gp(x):=2*x];
%M (%o1) \left[ g\left(x\right):=x^2 , \mathrm{gp}\left(x\right):=2\,x \right] 
%M (%i2) Sf : '[f(x):=sin(x), fp(x):=cos(x)];
%M (%o2) \left[ f\left(x\right):=\sin x , \mathrm{fp}\left(x\right):=\cos x \right] 
%M (%i3) MVs;
%M (%o3) \begin{pmatrix}\int {\mathrm{gp}\left(x\right)\,\mathrm{fp}\left(g\left(x\right)\right)}{\;dx}\big.=\int {\mathrm{fp}\left(u\right)}{\;du}\big.&\int_{x=a}^{x=b}{\mathrm{gp}\left(x\right)\,\mathrm{fp}\left(g\left(x\right)\right)\;dx}\big.=\int_{u=g\left(a\right)}^{u=g\left(b\right)}{\mathrm{fp}\left(u\right)\;du}\big.\cr \begin{pmatrix}\int {\mathrm{gp}\left(x\right)\,\mathrm{fp}\left(g\left(x\right)\right)}{\;dx}\big.&\mbox{ = }&f\left(g\left(x\right)\right)\cr &\mbox{ = }&f\left(u\right)\cr &\mbox{ = }&\int {\mathrm{fp}\left(u\right)}{\;du}\big.\cr \end{pmatrix}&\begin{pmatrix}\int_{x=a}^{x=b}{\mathrm{gp}\left(x\right)\,\mathrm{fp}\left(g\left(x\right)\right)\;dx}\big.&\mbox{ = }&\begin{pmatrix}&\mbox{ | }&x=b\cr f\left(g\left(x\right)\right)&\mbox{ | }&\cr &\mbox{ | }&x=a\cr \end{pmatrix}\cr &\mbox{ = }&f\left(g\left(b\right)\right)-f\left(g\left(a\right)\right)\cr &\mbox{ = }&\begin{pmatrix}&\mbox{ | }&u=g\left(b\right)\cr f\left(u\right)&\mbox{ | }&\cr &\mbox{ | }&u=g\left(a\right)\cr \end{pmatrix}\cr &\mbox{ = }&\int_{u=g\left(a\right)}^{u=g\left(b\right)}{\mathrm{fp}\left(u\right)\;du}\big.\cr \end{pmatrix}\cr \end{pmatrix}
%M (%i4) MVs _s_ Sg _s_ Sf;
%M (%o4) \begin{pmatrix}2\,\int {x\,\cos x^2}{\;dx}\big.=\int {\cos u}{\;du}\big.&2\,\int_{x=a}^{x=b}{x\,\cos x^2\;dx}\big.=\int_{u=a^2}^{u=b^2}{\cos u\;du}\big.\cr \begin{pmatrix}2\,\int {x\,\cos x^2}{\;dx}\big.&\mbox{ = }&\sin x^2\cr &\mbox{ = }&\sin u\cr &\mbox{ = }&\int {\cos u}{\;du}\big.\cr \end{pmatrix}&\begin{pmatrix}2\,\int_{x=a}^{x=b}{x\,\cos x^2\;dx}\big.&\mbox{ = }&\begin{pmatrix}&\mbox{ | }&x=b\cr \sin x^2&\mbox{ | }&\cr &\mbox{ | }&x=a\cr \end{pmatrix}\cr &\mbox{ = }&\sin b^2-\sin a^2\cr &\mbox{ = }&\begin{pmatrix}&\mbox{ | }&u=b^2\cr \sin u&\mbox{ | }&\cr &\mbox{ | }&u=a^2\cr \end{pmatrix}\cr &\mbox{ = }&\int_{u=a^2}^{u=b^2}{\cos u\;du}\big.\cr \end{pmatrix}\cr \end{pmatrix}
% %M (%i5) 
%L maximahead:sa("MVs", "")
\pu


\scalebox{0.45}{\def\colwidth{21cm}\firstcol{

\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {21cm}
\ga{MVs}

}\anothercol{
}}



\newpage

\sa{(MVDs_fgh)}{
  \begin{pmatrix}&\int_{x=a}^{x=b}{h'\left(x\right)\,g'\left(h\left(x\right)\right)\,f'\left(g\left(h\left(x\right)\right)\right)\;dx}\big.\cr \mbox{ = }&\int_{u=h\left(a\right)}^{u=h\left(b\right)}{g'\left(u\right)\,f'\left(g\left(u\right)\right)\;du}\big.\cr \mbox{ = }&\int_{v=g\left(h\left(a\right)\right)}^{v=g\left(h\left(b\right)\right)}{f'\left(v\right)\;dv}\big.\cr \mbox{ = }&\left.f\left(v\right)\right|_{v=g\left(h\left(a\right)\right)}^{v=g\left(h\left(b\right)\right)}\cr \mbox{ = }&\left.f\left(g\left(u\right)\right)\right|_{u=h\left(a\right)}^{u=h\left(b\right)}\cr \mbox{ = }&\left.f\left(g\left(h\left(x\right)\right)\right)\right|_{x=a}^{x=b}\cr \end{pmatrix}
}
\sa{(MVIs_fgh)}{
  \begin{pmatrix}&\int {h'\left(x\right)\,g'\left(h\left(x\right)\right)\,f'\left(g\left(h\left(x\right)\right)\right)}{\;dx}\big.\cr \mbox{ = }&\int {g'\left(u\right)\,f'\left(g\left(u\right)\right)}{\;du}\big.\cr \mbox{ = }&\int {f'\left(v\right)}{\;dv}\big.\cr \mbox{ = }&f\left(v\right)\cr \mbox{ = }&f\left(g\left(u\right)\right)\cr \mbox{ = }&f\left(g\left(h\left(x\right)\right)\right)\cr \end{pmatrix}
}
\sa{(MVDs_fghk)}{
  \begin{pmatrix}&\int_{x=a}^{x=b}{k'\left(x\right)\,h'\left(k\left(x\right)\right)\,g'\left(h\left(k\left(x\right)\right)\right)\,f'\left(g\left(h\left(k\left(x\right)\right)\right)\right)\;dx}\big.\cr \mbox{ = }&\int_{u=k\left(a\right)}^{u=k\left(b\right)}{h'\left(u\right)\,g'\left(h\left(u\right)\right)\,f'\left(g\left(h\left(u\right)\right)\right)\;du}\big.\cr \mbox{ = }&\int_{v=h\left(k\left(a\right)\right)}^{v=h\left(k\left(b\right)\right)}{g'\left(v\right)\,f'\left(g\left(v\right)\right)\;dv}\big.\cr \mbox{ = }&\int_{w=g\left(h\left(k\left(a\right)\right)\right)}^{w=g\left(h\left(k\left(b\right)\right)\right)}{f'\left(w\right)\;dw}\big.\cr \mbox{ = }&\left.f\left(w\right)\right|_{w=g\left(h\left(k\left(a\right)\right)\right)}^{w=g\left(h\left(k\left(b\right)\right)\right)}\cr \mbox{ = }&\left.f\left(g\left(v\right)\right)\right|_{v=h\left(k\left(a\right)\right)}^{v=h\left(k\left(b\right)\right)}\cr \mbox{ = }&\left.f\left(g\left(h\left(u\right)\right)\right)\right|_{u=k\left(a\right)}^{u=k\left(b\right)}\cr \mbox{ = }&\left.f\left(g\left(h\left(k\left(x\right)\right)\right)\right)\right|_{x=a}^{x=b}\cr \end{pmatrix}
}
\sa{(MVIs_fghk)}{
  \begin{pmatrix}&\int {k'\left(x\right)\,h'\left(k\left(x\right)\right)\,g'\left(h\left(k\left(x\right)\right)\right)\,f'\left(g\left(h\left(k\left(x\right)\right)\right)\right)}{\;dx}\big.\cr \mbox{ = }&\int {h'\left(u\right)\,g'\left(h\left(u\right)\right)\,f'\left(g\left(h\left(u\right)\right)\right)}{\;du}\big.\cr \mbox{ = }&\int {g'\left(v\right)\,f'\left(g\left(v\right)\right)}{\;dv}\big.\cr \mbox{ = }&\int {f'\left(w\right)}{\;dw}\big.\cr \mbox{ = }&f\left(w\right)\cr \mbox{ = }&f\left(g\left(v\right)\right)\cr \mbox{ = }&f\left(g\left(h\left(u\right)\right)\right)\cr \mbox{ = }&f\left(g\left(h\left(k\left(x\right)\right)\right)\right)\cr \end{pmatrix}
}

% (find-LATEX "2025-1-C2-mv-defs.tex" "cfnames")
\sa  {[MVDs_fgh]} {\CFname{MVDs}{fgh}}
\sa  {[MVDs_fghk]}{\CFname{MVDs}{fghk}}
\sa  {[MVIs_fgh]} {\CFname{MVIs}{fgh}}
\sa  {[MVIs_fghk]}{\CFname{MVIs}{fghk}}

\newpage

% «MVDs-MVIs»  (to ".MVDs-MVIs")
% (c2m251dip 15 "MVDs-MVIs")
% (c2m251dia    "MVDs-MVIs")
% (find-angg "MAXIMA/2025-1-MV-abril.mac")

\scalebox{0.8}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

\vspace*{0.5cm}

$\begin{array}{rcl}
  \ga{[MVDs_fgh]} &=& \ga{(MVDs_fgh)} \\ \\
  \ga{[MVIs_fgh]} &=& \ga{(MVIs_fgh)} \\ \\
  \end{array}
$

}\anothercol{
}}

\newpage

\scalebox{0.7}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{

\vspace*{0.5cm}

$\begin{array}{rcl}
  \ga{[MVDs_fghk]} &=& \ga{(MVDs_fghk)} \\ \\
  \ga{[MVIs_fghk]} &=& \ga{(MVIs_fghk)} \\ \\
  \end{array}
$

}\anothercol{
}}


\newpage

% «como-justificar-uma-MV»  (to ".como-justificar-uma-MV")
% 2kT110: (c2m251dip 17 "como-justificar-uma-MV")
%         (c2m251dia    "como-justificar-uma-MV")

{\bf Como justificar uma MV de cabeça}

\def\dudx{\frac{du}{dx}}
\def\und#1#2{\underbrace{\mathstrut #1}_{#2}}
\def\sfrac#1#2{{\textstyle\frac{#1}{#2}}}
\sa{anot1}{\bmat{u=x^3 \\ \dudx=\ddx u=\ddx x^3 = 3x^2 }}
\sa{anot2}{\bmat{u=x^3 \\ \dudx=3x^2 }}
\sa{intx 2}{\int {     \cos(\und{x^3}{ u  }) · \sfrac13 · \und{\und{3x^2}{\dudx}\,dx}{du}}}
\sa{intu 2}{\intu{     \cos(           u   ) · \sfrac13}}
\sa{intx 3}{\intx{\und{\cos(\und{x^3}{g(x)}) · \sfrac13}{f'(g(x))} · \und{3x^2}{g'(x)} }}
\sa{intu 3}{\intu{\und{\cos(           u   ) · \sfrac13}{f'(u)}}}

\scalebox{0.45}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{

{}

Por exemplo...

$$\begin{array}{rclc}
  \D \intt{t^2 \cos(t^3)} &=& \Rq \\
  \D \intx{x^2 \cos(x^3)} &=& \Rq & \ga{anot1}         \\ \\[-11pt]
  \D \ga{intx 2}         &=& \D \ga{intu 2} & \ga{anot2} \\ \\[-11pt]
  \D \ga{intx 3}         &=& \D \ga{intu 3}  \\
  \end{array}
$$

\mvdefaults
\def\und#1#2{\underbrace{\mathstrut #1}_{#2}}
\def\und#1#2{\underbrace{\mathstrut #1}_{\textstyle #2}}

\sa{[MVI1] sp}{\phantom{mmmmmm} \ga{[MVI1]} \phantom{mmmmmm}}
\sa   {mvi1 1}{\intx{f'(g(x))g'(x)} = \intu{f'(u)}}
\sa   {mvi1 2}{\intx{\cos(x^3)·\sfrac13·3x^2} = \intu{\cos(u)·\sfrac13}}
\sa       {s1}{\bmat{g(x):=x^3 \\ g'(x):=3x^2 \\ f'(u):=\cos(u)·\sfrac13}}
\sa       {s2}{\bmat{x:=t \\ u:=w}}
\sa     {s1 b}{\bmat{g(x):=x^3 \\ g'(x):=3x^2 \\ f'(u):=\sfrac13\cos(u)}}
\sa   {mvi1 3}{\intt{\cos(t^3)·\sfrac13·3t^2} = \intw{\cos(w)·\sfrac13}}


$$\begin{array}{rclc}
   \und{\und{\und{\ga{[MVI1] sp}}
            {\ga{mvi1 1}}
             \ga{s1}
            }{\ga{mvi1 2}}
        \ga{s2}
       }{\ga{mvi1 3}}
    \\
 \end{array}
$$

$$\begin{array}{rclc}
  \D \intt{t^2 \cos(t^3)}
     &=& \D \intw{\sfrac13 \, \cos(w)}
     & \;\; \text{Por $\ga{[MVI1]} \ga{s1 b} \ga{s2}$} \\
  \end{array}
$$


}\def\colwidth{9cm}\anothercol{

{\bf Exercícios:}

\ssk

a) Calcule os resultados parciais do último
$\ga{[MVI1]} \bmat{\ldots} \bmat{\ldots}$ da coluna da esquerda.

\ssk

b) Faça os exercícios 7, 8, 9, 11 e 13 desta página do Stewart,

% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "374" "Exercícios")
%   (find-es "maxima" "stewart-pt-p374")
\par \Ca{StewPtCap5p53} (p.374) Exercícios

e justifique a mudança de variável de cada um deles usando o método à
esquerda.

\bsk

{\bf Dicas:}

Repare que no exemplo à esquerda o problema original era este,
%
$$ \D \intt{t^2 \cos(t^3)} = \Rq $$

e eu resolvi ele nesta ordem: 1) eu mudei a variável dele pra $x$ pra
ficar com algo mais parecido com a $\ga{[MVI1]}$, 2) eu escolhi a
mudança de variável certa, que era $u=x^3$, 3) eu calculei o $\dudx$,
4) eu rearrumei o problema original pro $\dudx$ ficar colado no $dx$,
5) eu fiz a mudança de variável pelo método rápido, 6) eu reescrevi as
anotações do método rápido pra obter $g(x)$, $g'(x)$ e $f'(u)$, 7) eu
transformei essas $g(x)$, $g'(x)$ e $f'(u)$ numa substituição, 8) eu
calculei os resultados parciais dessa substituição e da
$\bsm{x:=t \\ u:=w}$, 9) eu reescrevi a substituição que eu tinha
obtido e testado pra fingir que eu primeiro tinha resolvido o problema
original de cabeça e depois eu escrevi a justificativa porque alguém
me perguntou como eu tinha chegado naquele resultado.




}}


% (find-LATEX "2025-1-C2-mv-defs.tex" "mvs")
% (find-LATEX "2025-1-C2-mv-defs.tex" "aligneqs")









%\def\aligneqspor#1{&#1}



%$$\aligneqsone ABCDEFGH$$
%$$\aligneqsfour ABCDEFGH$$
%$$\P{\aligneqsfour ABCDE}$$


\GenericWarning{Success:}{Success!!!}  % Used by `M-x cv'

\end{document}

% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2025-1-C2-diferenciais")


% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2di"
% ee-tla: "c2m251di"
% End:
