|
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% (find-LATEX "2025-1-C3-P1.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2025-1-C3-P1.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2025-1-C3-P1.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2025-1-C3-P1.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2025-1-C3-P1.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2025-1-C3-P1.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2024-2-C3-P1.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2025-1-C3-P1"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2025-1-C3-P1.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun oe () (interactive) (find-2a '(o) '(e)))
% (code-eec-LATEX "2025-1-C3-P1")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2025-1-C3-P1.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2025-1-C3-P1.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2025-1-C3-P1.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2025-1-C3-P1.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2025-1-C3-P1.pdf
% file:///tmp/2025-1-C3-P1.pdf
% file:///tmp/pen/2025-1-C3-P1.pdf
% http://anggtwu.net/LATEX/2025-1-C3-P1.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2025-1-C3-P1" "3" "c3m251p1" "c3p1")
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-T-and-B» (to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro» (to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e» (to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima» (to "defs-maxima")
% «.defs-V» (to "defs-V")
% «.title» (to "title")
% «.links» (to "links")
% «.questao-1» (to "questao-1")
% «.questao-1a» (to "questao-1a")
% «.questao-1b» (to "questao-1b")
% «.questao-1f» (to "questao-1f")
% «.questao-1g» (to "questao-1g")
% «.questao-2» (to "questao-2")
% «.questao-2a» (to "questao-2a")
% «.gab-1» (to "gab-1")
% «.gab-2» (to "gab-2")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2025-1-C3.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2025.1-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"} % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()} % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()} % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")
% «defs-T-and-B» (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}
% «defs-caepro» (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua" -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca #1{\Cahref{#1}{#1}}
% «defs-pict2e» (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua" -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua" -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
% «defs-maxima» (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua" -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu
% «defs-V» (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c3m251p1p 1 "title")
% (c3m251p1a "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 3 - 2025.1}
\bsk
P1 (primeira prova)
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://anggtwu.net/2025.1-C3.html}
\end{center}
\newpage
% «links» (to ".links")
% (c3m251p1p 2 "links")
% (c3m251p1a "links")
{\bf Links}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{
}\anothercol{
}}
\newpage
% «questao-1» (to ".questao-1")
% (c3m251p1p 3 "questao-1")
% (c3m251p1a "questao-1")
% (c3m242p1p 3 "questao-1")
% (c3m242p1a "questao-1")
% (c3m241p1p 3 "questao-1")
% (c3m241p1a "questao-1")
{\bf Questão 1}
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
\vspace*{-0.5cm}
\T(Total: 5.5 pts)
O diagrama de numerozinhos da última folha da prova corresponde a uma
superfície $z=F(x,y)$ que tem 7 faces. Também é possível interpretá-lo
como uma superfície com 8 ou mais faces, mas vamos considerar que a
superfície com só 7 faces é que é a correta.
\msk
% «questao-1a» (to ".questao-1a")
% (c3m251p1p 3 "questao-1a")
% (c3m251p1a "questao-1a")
a) \B (0.5 pts) Mostre como dividir o plano em 7 polígonos que são as
projeções destas faces no plano do papel.
\msk
% «questao-1b» (to ".questao-1b")
% (c3m251p1p 3 "questao-1b")
% (c3m251p1a "questao-1b")
b) \B (0.5 pts) Chame estas faces de face W (``oeste''), E
(``leste''), NW (``noroeste''), NE (``nordeste''), SW (``sudoeste''),
SE (``Sudeste'') e C (``centro''), e chame as equações dos planos
delas de $F_{W}(x,y)$, $F_{E}(x,y)$, $F_{NW}(x,y)$, $F_{NE}(x,y)$,
$F_{SW}(x,y)$, $F_{SE}(x,y)$ e $F_{C}(x,y)$. Dê as equações destes
planos.
\msk
c) \B (0.5 pts) Sejam:
%
$$\begin{array}{rcl}
P_{C} &=& \setofxyzst{z = F_{C}(x,y)}, \\
P_{NW} &=& \setofxyzst{z = F_{NW}(x,y)}, \\
r &=& P_{C} ∩ P_{NW}. \\
\end{array}
$$
Represente a reta $r$ graficamente como numerozinhos.
\msk
d) \B (0.5 pts) Dê uma parametrização para a reta do item anterior.
Use notação de conjuntos.
}\anothercol{
{}
e) \B (0.5 pts) Seja
%
$$A \;=\; \{0,1,\ldots,10\} × \{0,1,\ldots,6\};$$
note que os numerozinhos do diagrama de numerozinhos estão todos sobre
pontos de $A$. Para cada ponto $(x,y)∈A$ represente graficamente
$(x,y)+\frac13 \vec∇F(x,y)$.
\ssk
Obs: quando $\vec∇F(x,y)=0$ desenhe uma bolinha preta sobre o ponto
$(x,y)$, e quando $\vec∇F(x,y)$ não existir faça um `$×$' sobre o
numerozinho que está no ponto $(x,y)$.
\msk
% «questao-1f» (to ".questao-1f")
% (c3m251p1p 3 "questao-1f")
% (c3m251p1a "questao-1f")
f) \B (1.5 pts) Sejam
%
$$\begin{array}{rcl}
Q(t) &=&
\begin{cases}
(1,5) + t \VEC{1,-2} & \text{quando $t<3$}, \\
(5,2) + (t-3)\VEC{2, 1} & \text{quando $3≤t$}, \\
\end{cases}
\\
(x(t),y(t)) &=& Q(t), \\
h(t) &=& F(x(t),y(t)). \\
\end{array}
$$
Faça o gráfico da função $h(t)$. Considere que o domínio dela é o
intervalo $[0,6]$.
\msk
% «questao-1g» (to ".questao-1g")
% (c3m251p1p 3 "questao-1g")
% (c3m251p1a "questao-1g")
g) \B (1.5 pts) Dê uma ``definição por casos'' pra função $h(t)$ que
você obteve no item anterior. Repare que a $Q(t)$ do item anterior é
definida por casos.
}}
\newpage
% ___ _ ____
% / _ \ _ _ ___ ___| |_ __ _ ___ |___ \
% | | | | | | |/ _ \/ __| __/ _` |/ _ \ __) |
% | |_| | |_| | __/\__ \ || (_| | (_) | / __/
% \__\_\\__,_|\___||___/\__\__,_|\___/ |_____|
%
% «questao-2» (to ".questao-2")
% (c3m251p1p 4 "questao-2")
% (c3m251p1a "questao-2")
% (c3m222p1p 4 "questao-2")
% (c3m222p1a "questao-2")
% (to "gab-2")
{\bf Questão 2}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
\vspace*{-0.5cm}
\T(Total: 4.5 pts)
Seja
%
$$F(x,y) = (x+2)(x-y)(y+2).$$
Nesta questão você vai ter que fazer várias cópias do diagrama de
numerozinhos da função $F(x,y)$ para os pontos com
$x,y∈\{-2,-1,0,1,2\}$.
% Os numerozinhos vão ser estes aqui:
% %
% $$\begin{array}{rrrrr}
% 8 & 0 & -4 & -4 & 0 \\
% 9 & 2 & -1 & 0 & 5 \\
% 8 & 2 & 0 & 2 & 8 \\
% 5 & 0 & -1 & 2 & 9 \\
% 0 & -4 & -4 & 0 & 8 \\
% \end{array}
% $$
\msk
% «questao-2a» (to ".questao-2a")
% (c3m251p1p 4 "questao-2a")
% (c3m251p1a "questao-2a")
a) \B (1.0 pts) Desenhe o ``campo gradiente'' da função $F$ nestes
pontos, mas multiplicando cada $\vec∇F(x,y)$ por $\frac{1}{10}$ pros
vetores não ficarem uns em cima dos outros. Deixa eu traduzir isso pra
termos mais básicos: faça uma cópia do diagrama de numerozinhos da
$F(x,y)$, e sobre cada $(x,y)$ com $x,y∈\{-2,-1,0,1,2\}$ desenhe a
seta $(x,y)+\frac{1}{10}\vec∇F(x,y)$.
\msk
b) \B (3.5 pts) Faça uma outra cópia desse diagrama de numerozinhos e
desenhe sobre ela as curvas de nível da função $F(x,y)$ para $z=0$,
$z=6$, $z=12$, $z=-6$ e $z=-12$.
}\anothercol{
{}
% \bsk
{\bf Dicas:}
1) O vetor gradiente num ponto $(x,y)$ é sempre ortogonal à curva de
nível que passa pelo ponto $(x,y)$.
2) Faça quantos rascunhos quiser. Eu só vou corrigir seus desenhos
pros itens (a) e (b) que disserem ``versão final'', e eles têm que
ser os mais caprichados possíveis.
}}
\newpage
% «questao-2» (to ".questao-2")
% (c3m242p1p 5 "questao-2")
% (c3m242p1a "questao-2")
% (find-es "maxima" "2024.2-C3-P1")
% «questao-3» (to ".questao-3")
% (c3m241p1p 4 "questao-3")
% (c3m241p1a "questao-3")
% (find-es "maxima" "2024-1-C3-P1-Q3")
\newpage
% «barranco-defs» (to ".barranco-defs")
% (c3m251p1p 5 "barranco-defs")
% (c3m251p1a "barranco-defs")
% (find-angg "GNUPLOT/2025-1-C3-P1.dem")
% (find-bgprocess "gnuplot ~/GNUPLOT/2025-1-C3-P1.dem")
% (find-angg "MAXIMA/2025-1-C3-P1-Q1.mac" "gab")
% (find-eepitch-intro "3.3. `eepitch-preprocess-line'")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%?%L ?")
%
%%L * (eepitch-lua51)
%%L * (eepitch-kill)
%%L * (eepitch-lua51)
%%L Path.prependtopath "~/LUA/?.lua"
%L require "Cabos3"
%L require "Numerozinhos1"
%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(11,7))
%L
%L bigstr1 = [[
%L 0 0 0 2 4 5 6 7 8 8 8
%L 0 0 0 2 4 5 6 7 8 8 8
%L 0 0 0 2 4 5 6 7 8 8 8
%L 0 0 0 2 3 4 5 6 8 8 8
%L 0 0 0 1 2 3 4 6 8 8 8
%L 0 0 0 1 2 3 4 6 8 8 8
%L 0 0 0 1 2 3 4 6 8 8 8
%L ]]
%L bigstr2 = [[
%L 0 - 0 - A - 2 - B - 5 - 6 - 7 - C - 8 - 8
%L | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . |
%L 0 - 0 - 0 - 2 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 8 - 8
%L | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . |
%L 0 - 0 - 0 - 2 - D - 5 - 6 - 7 - E - 8 - 8
%L | . | . | . | / | . | . | . | / | . | . |
%L 0 - 0 - 0 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 8 - 8 - 8
%L | . | . | / | . | . | . | / | . | . | . |
%L 0 - 0 - F - 1 - 2 - 3 - G - 6 - 8 - 8 - 8
%L | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . |
%L 0 - 0 - 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 8 - 8 - 8
%L | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . |
%L 0 - 0 - H - 1 - 2 - 3 - I - 6 - J - 8 - 8
%L ]]
%L clabels = CabosNaDiagonal.from(bigstr2)
%L lbls = clabels.strgrid:labels()
%L spec = lbls:subst("A--H B--D C--J G--I D--E--G--F--D")
%L ns = Numerozinhos.from(0, 0, bigstr1)
%L p1 = ns:show0 {u="25pt"}:sa("barranco")
%L ns:setspec(spec)
%L p2 = ns:show0():sa("barranco 2")
%L p3 = Pict { p1, p2 }
%L p4 = Pict { p1, p2, [[\ga{barranco} \ga{barranco com linhas}]] }
%L p3:output()
%L -- p4:output()
%%L = p4:show("")
%%L = Show.bigstr
%%L * (etv)
\pu
% «questao-1-grids» (to ".questao-1-grids")
% (c3m242p1p 4 "questao-1-grids")
% (c3m242p1a "questao-1-grids")
% (c3m241p1p 5 "questao-1-grids")
% (c3m241p1a "questao-1-grids")
\vspace*{-0.55cm}
\def\barra{\scalebox{0.35}{\ga{barranco}}}
\def\barras{\barra \quad \barra \quad \barra}
$\begin{array}{l}
\barras \\ \\[-5pt]
\barras \\ \\[-5pt]
\barras \\
\end{array}
$
\newpage
% «gab-1» (to ".gab-1")
% (c3m251p1p 6 "gab-1")
% (c3m251p1a "gab-1")
% (find-angg "MAXIMA/2025-1-C3-P1-Q1.mac")
\setcounter{MaxMatrixCols}{15}
%M (%i4) item_c;
%M (%o4) \begin{pmatrix}-2&\left[ 0 , 0 , -4 \right] \cr -1&\left[ 1 , 1 , -2 \right] \cr 0&\left[ 2 , 2 , 0 \right] \cr 1&\left[ 3 , 3 , 2 \right] \cr 2&\left[ 4 , 4 , 4 \right] \cr 3&\left[ 5 , 5 , 6 \right] \cr 4&\left[ 6 , 6 , 8 \right] \cr \end{pmatrix}
%M (%i6) item_e;
%M (%o6) \begin{pmatrix}\left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 2 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 1 , 0 \right] &\left[ 1 , 0 \right] &\left[ 1 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] \cr \left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 2 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 1 , 0 \right] &\left[ 1 , 0 \right] &\left[ 1 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] \cr \left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 2 , 0 \right] &\mbox{ X }&\mbox{ X }&\mbox{ X }&\mbox{ X }&\mbox{ X }&\left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] \cr \left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] &\mbox{ X }&\mbox{ X }&\left[ 1 , 1 \right] &\left[ 1 , 1 \right] &\left[ 1 , 1 \right] &\mbox{ X }&\mbox{ X }&\left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] \cr \left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] &\mbox{ X }&\mbox{ X }&\mbox{ X }&\mbox{ X }&\mbox{ X }&\left[ 2 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] \cr \left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 1 , 0 \right] &\left[ 1 , 0 \right] &\left[ 1 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 2 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] \cr \left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 1 , 0 \right] &\left[ 1 , 0 \right] &\left[ 1 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 2 , 0 \right] &\mbox{ X }&\left[ 0 , 0 \right] &\left[ 0 , 0 \right] \cr \end{pmatrix}
%L maximahead:sa("P1-Q1", "")
\pu
%L -- (find-LATEX "2025-1-C3-P2.tex" "minidraw")
%L PictBounds.setbounds(v(0,0), v(6,8))
%L PwSpec.from("(0,0)--(1,0)--(1.33,0.66)--(1.5,0.5)--(3,2)o (3,3)c--(4,6)--(4.5,8)--(6,8)")
%L :topict():pgat("pgatc",{sa="1f"}):preunitlength("10pt")
%L :output()
\pu
{\bf Questão 1: mini-gabarito}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
1a) \;\; $\scalebox{1.0}{\ga{barranco 2}}$
\msk
1b) \;\; $
\def\myline#1#2{F_{#1}(x,y) &=& #2}
\begin{array}{rcl}
\myline {NW} {2x-4} \\
\myline {NE} {x} \\
\myline {SW} {x-2} \\
\myline {SE} {2x-8} \\
\myline {W} {0} \\
\myline {E} {8} \\
\myline {C} {y+x-4} \\
\end{array}$
\msk
1d) \;\; $r = \setofst{(2,2,0) + t\VEC{1,1,-2}}{t∈\R}$
\msk
}\anothercol{
1f) \;\; $\ga{1f}$
\msk
1g) \;\; $
\def\myline#1#2{#1 & \text{quando $#2$}}
h(t) =
\begin{cases}
\myline {0} {t<1} \\
\myline {2t-2} {1≤t<4/3} \\
\myline {2-t} {4/3≤t<3/2} \\
\myline {t-1} {3/2≤t<3} \\
\myline {3t-6} {3≤t<4} \\
\myline {4t-10} {4≤t<9/2} \\
\myline {8} {9/2≤t} \\
\end{cases}$
}}
\newpage
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{P1-Q1}
}\anothercol{
\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {14cm}
\ga{P1-Q1 2}
}}
\newpage
% «gab-2» (to ".gab-2")
% (c3m251p1p 7 "gab-2")
% (c3m251p1a "gab-2")
% (to "questao-2")
% (find-angg "MAXIMA/2025-1-C3-P1-Q2.mac" "gab")
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{\bf Questão 2: mini-gabarito}
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