|
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% (find-LATEX "2024-1-C3-derivadas-parciais.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2024-1-C3-derivadas-parciais.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2024-1-C3-derivadas-parciais.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2024-1-C3-derivadas-parciais.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2024-1-C3-derivadas-parciais.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2024-1-C3-derivadas-parciais.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2023-2-C3-derivadas-parciais.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2024-1-C3-derivadas-parciais"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2024-1-C3-derivadas-parciais.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (code-eec-LATEX "2024-1-C3-derivadas-parciais")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2024-1-C3-derivadas-parciais.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2024-1-C3-derivadas-parciais.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2024-1-C3-derivadas-parciais.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2024-1-C3-derivadas-parciais.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2024-1-C3-derivadas-parciais.pdf
% file:///tmp/2024-1-C3-derivadas-parciais.pdf
% file:///tmp/pen/2024-1-C3-derivadas-parciais.pdf
% http://anggtwu.net/LATEX/2024-1-C3-derivadas-parciais.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2024-1-C3-derivadas-parciais" "3" "c3m241dp" "c3dp")
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-T-and-B» (to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro» (to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e» (to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima» (to "defs-maxima")
% «.title» (to "title")
% «.links» (to "links")
% «.links-stewart» (to "links-stewart")
% «.links-thompson» (to "links-thompson")
% «.links-bortolossi» (to "links-bortolossi")
% «.links-apex» (to "links-apex")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-dn6 "preamble6.lua" "preamble0")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2024-1-C3.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2024.1-C3.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat6load.lua"} % (find-LATEX "dednat6load.lua")
% «defs-T-and-B» (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}
% «defs-caepro» (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua" -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca #1{\Cahref{#1}{#1}}
% «defs-pict2e» (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua" -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua" -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
% «defs-maxima» (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua" -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c3m241dpp 1 "title")
% (c3m241dpa "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 3 - 2024.1}
\bsk
Aula 13: derivadas parciais
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://anggtwu.net/2024.1-C3.html}
\end{center}
\newpage
% «links» (to ".links")
% (c3m241dpp 2 "links")
% (c3m241dpa "links")
{\bf Links}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
% 3hT69 (c3m232nfp 14 "derivadas-parciais-th")
% (c3m232nfa "derivadas-parciais-th")
% 3hT80 (c3m232nfp 25 "exercicio-11")
% (c3m232nfa "exercicio-11")
% 3hT77 Low poly
% (find-stewart72ptpage (+ -489 791) "14 Derivadas Parciais")
% (find-stewart72ptpage (+ -489 792) "14.1 Funções de Várias Variáveis")
% (find-stewart72ptpage (+ -489 796) "Curvas de Nível")
% (find-stewart72pttext (+ -489 796) "Curvas de Nível")
% «links-stewart» (to ".links-stewart")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "791" "14 Derivadas Parciais")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "796" "Curvas de Nível")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "821" "10. Um mapa de contorno...")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "811" "14.3 Derivadas Parciais")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "820" "14.3 Exercícios")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "stewart-pt" "833" "A Regra da Cadeia (versão geral)")
\par \Ca{StewPtCap14p5} (p.791) 14 Derivadas Parciais
\par \Ca{StewPtCap14p10} (p.796) Curvas de nível
\par \Ca{StewPtCap14p25} (p.811) 14.3 Derivadas Parciais
\par \Ca{StewPtCap14p34} (p.820) 14.3 Exercícios
\par \Ca{StewPtCap14p47} (p.833) [4] A regra da cadeia (versão geral)
\ssk
% «links-thompson» (to ".links-thompson")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson" "66" "IX. Introducing a Useful Dodge")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson" "172" "XVI. Partial Differentiation")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson" "177" "Exercises XV")
\par \Ca{ThompsonP77} (p.66) IX. Introducing a useful dodge
\par \Ca{ThompsonP183} (p.172) XVI. Partial differentiation
\par \Ca{ThompsonP188} (p.177) Exercises
\ssk
% «links-bortolossi» (to ".links-bortolossi")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi" "163" "5. Derivadas parciais")
\par \Ca{Bort5p1} (p.163) 5 Derivadas parciais
\ssk
% «links-apex» (to ".links-apex")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "apex-calculus" "700" "12.3 Partial Derivatives")
\par \Ca{Apexcap12p23} (p.700) 12.3 Partial Derivatives
\bsk
\bsk
\standout{VERSÃO MUITO PRELIMINAR!!!}
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thomas" "965" "14 Partial Derivatives")
% 3hT69 (c3m232nfp 14 "derivadas-parciais-th")
% (c3m232nfa "derivadas-parciais-th")
% 2hT80 (c3m232nfp 25 "exercicio-11")
% (c3m232nfa "exercicio-11")
% (c3m232nfp 20 "piramide")
% (c3m232nfa "piramide")
% (c3m232nfp 22 "low-poly")
% (c3m232nfa "low-poly")
% (c3m232mdp 3 "alguns-exemplos-defs")
% (c3m232mda "alguns-exemplos-defs")
}\anothercol{
}}
\newpage
% «variaveis-novas» (to ".variaveis-novas")
% «exercicios-5-e-6» (to ".exercicios-5-e-6")
% (c3m221nfp 12 "variaveis-novas")
% (c3m221nfa "variaveis-novas")
% (c3m221nfp 12 "exercicios-5-e-6")
% (c3m221nfa "exercicios-5-e-6")
% (c3m212nfp 19 "variaveis-novas")
% (c3m212nfa "variaveis-novas")
{\bf O truque das variáveis novas}
\scalebox{0.7}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson")
% (find-sthompsonpage (+ 11 34) "VI. Sums, Differences, Products and Quotients")
No capítulo VI o Thompson calcula $\ddx((x^2 + c) + (ax^4 + b))$
organizando as contas mais ou menos desta forma:
$$\begin{array}{rcl}
y &=& (x^2 + c) + (ax^4 + b) \\
\frac{dy}{dx} &=& \frac{d((x^2+c) + (ax^4+b))}{dx} \\
&=& \frac{d(x^2+c)}{dx} + \frac{d(ax^4+b)}{dx} \\
&=& 2x + 4ax^3 \\
\end{array}
$$
% (find-sthompsonpage (+ 11 66) "IX. Introducing a Useful Dodge")
% (find-sthompsontext (+ 11 66) "INTRODUCING A USEFUL DODGE")
No capítulo IX -- ``Introducing a useful dodge'' --
o Thompson mostra como a gente pode simplificar contas
como essa introduzindo ``variáveis dependentes'' novas.
\bsk
{\bf Exercício 5.}
Entenda os exemplos (1)--(4) das páginas 66--68 do Thompson.
\bsk
% (find-sthompsonpage (+ 11 72) "Exercises VI")
% (find-sthompsontext (+ 11 72) "Exercises VI")
{\bf Exercício 6.}
Faça os exercícios (1)--(4) da página 72 do Thompson.
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ")
%
%T * (eepitch-maxima)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-maxima)
%T ** (find-sthompsonpage (+ 11 72) "(1)")
%T y : sqrt(x^2 + 1);
%T diff(y, x);
%T ** (find-sthompsonpage (+ 11 72) "(2)")
%T y : sqrt(x^2 + a^2);
%T diff(y, x);
%T ** (find-sthompsonpage (+ 11 72) "(3)")
%T y : 1 / sqrt(a + x);
%T diff(y, x);
%T ** (find-sthompsonpage (+ 11 72) "(4)")
%T y : a / sqrt(a - x^2);
%T diff(y, x);
\bsk
Links:
{\footnotesize
% https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf#page=45
\url{https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf\#page=45}
% https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf#page=83
\url{https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf\#page=83}
}
}}
\newpage
% «derivadas-parciais-th» (to ".derivadas-parciais-th")
% (c3m232nfp 14 "derivadas-parciais-th")
% (c3m232nfa "derivadas-parciais-th")
% (c3m221nfp 13 "derivadas-parciais-th")
% (c3m221nfa "derivadas-parciais-th")
% (c3m212nfp 21 "derivadas-parciais-th")
% (c3m212nfa "derivadas-parciais-th")
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson")
% (find-sthompsonpage (+ 11 172) "XVI. Partial Differentiation")
{\bf Derivadas parciais no Thompson}
Leia o início do capítulo XVI do Thompson ---
``XVI. Partial Differentiation'' --- da p.172 até p.174.
Entenda os exemplos (1) até (3) dele.
\bsk
{\bf Exercício 7.}
Faça os exercícios (1)--(5) das páginas 177 e 178 do Thompson.
Obs: o (6) precisa de gráficos 3D, vamos fazer ele depois.
\bsk
{\bf Exercício 8.}
\def\ppx{\frac{∂}{∂x}}
\def\ddt{\frac{d}{dt}}
Digamos que $F(x,y) = x^3y^4$, $g(t) = \sen t$, $h(t) = e^{2t}$.
Vamos usar esta notação aqui: $F_x = \frac{∂}{∂x}F$, $g_t=\frac{d}{dt}g$, etc.
\ssk
a) Calcule $\ddt F(g(t),h(t))$ usando ``notação de matemáticos''.
\ssk
b) Digamos que $x=g(t)$, $y=h(t)$, $z=F(x,y)$.
Calcule $\frac{d}{dt}z$ usando ``notação de físicos''.
\newpage
% «derivadas-totais» (to ".derivadas-totais")
% (c3m221nfp 14 "derivadas-totais")
% (c3m221nfa "derivadas-totais")
% (c3m212nfp 22 "derivadas-parciais-e-ts")
% (c3m212nfa "derivadas-parciais-e-ts")
% (find-pdf-page "~/2022.1-C3/C3-quadros.pdf" 11)
{\bf Derivadas parciais e derivadas totais}
Digamos que $z = z(x,y)$ e $y = y(x)$.
\msk
Vamos começar com um caso bem concreto --- um que
eu usei em EDOs com variáveis separáveis em C2... link:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m211edovsa "title")
% (c2m211edovsa "title" "Aula 25: EDOs com variáveis separáveis")
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2020-2-C2-edovs.pdf}
}
\msk
O nosso caso bem concreto vai ser:
$z = z(x,y) = x^2 + y^2$,
$y = y(x) = \sqrt{1 - x^2}$.
quando nós \ColorRed{só} consideramos o $z = z(x,y) = x^2 + y^2$
as derivadas parciais de $z$ são $z_x = 2x$ e $z_y = 2y$,
mas quando \ColorRed{também} consideramos o $y = y(x) = \sqrt{1 - x^2}$
aí temos $z = z(x,y(x)) = x^2 + \sqrt{1-x^2}^2 = 1$, e $\frac{dz}{dx}=0$.
\msk
Esta derivada $\frac{dz}{dx} = \frac{d}{dx} z(x,y(x))$ é chamada de
\ColorRed{derivada total} de $z$ com relação a $y$.
\newpage
% «exercicio-9» (to ".exercicio-9")
% (c3m212nfp 23 "exercicio-7")
% (c3m212nfa "exercicio-7")
{\bf Exercício 9.}
Digamos que $z = z(x,y) = (x+2)(y+3)$
e que $y = y(x) = \sen x$.
a) Calcule $\frac{∂z}{∂x}$, $\frac{∂z}{∂y}$.
b) Calcule $\frac{dz}{dx}$.
c) Calcule $\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}z$.
\msk
\ColorRed{Convenção:} quando uma expressão como $z_x$ puder
ser interpretada tanto como uma derivada parcial quanto
como uma derivada total o default é interpretá-la
como derivada parcial.
\newpage
% «exercicio-10» (to ".exercicio-10")
% (c3m221nfp 99 "exercicio-10")
% (c3m221nfa "exercicio-10")
% (c3m212nfp 24 "exercicio-8")
% (c3m212nfa "exercicio-8")
{\bf Exercício 10.}
Digamos que $z=z(x,y)$ e $y=y(x)$.
(Isto é uma versão mais geral do exercício 9).
\ssk
a) Calcule $\frac{d}{dx}z$.
\ssk
b) Calcule $\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}z$.
\bsk
\bsk
Dica: siga as dicas dos próximos dois slides,
e escreva as suas contas em várias notações
diferentes ``em paralelo''.
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "thompson-gardner")
% (find-fline "~/books/__analysis/" "thompson_gardner__calculus_made_easy.pdf")
% (find-sthompsongpage (+ 9 15) "interval")
% (find-sthompsongtext (+ 9 15) "interval")
% (find-sthompsongpage (+ 9 15) "did not use the modern")
% (find-sthompsongtext (+ 9 15) "did not use the modern")
% (find-sthompsongpage (+ 9 129) "FIG. 30")
% (find-sthompsongtext (+ 9 129) "FIG. 30")
% 24-26,138
\newpage
% «exercicio-10-dicas» (to ".exercicio-10-dicas")
% (c3m221nfp 17 "exercicio-10-dicas")
% (c3m221nfa "exercicio-10-dicas")
{\bf Dicas pro exercício 10}
\def\parenarl#1{\left(\begin{array}{l} #1 \end{array}\right)}
\def\aname#1{[\mathsf{A#1}]}
\scalebox{0.7}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
Compare:
%
$$\begin{array}{rcll}
\aname1 &=&
\parenarl{
\ddx f(g(h(x))) \\
= f'(g(h(x))) \ddx g(h(x)) \\
= f'(g(h(x))) g'(h(x)) h'(x) \\
}
\\[20pt]
\aname2 &=&
\parenarl{
\ddx \sen(\cos(\tan(x))) \\
= \sen'(\cos(\tan(x))) \ddx \cos(\tan(x)) \\
= \sen'(\cos(\tan(x))) \cos'(\tan(x)) \tan'(x) \\
}
\\[20pt]
\aname3 &=&
\parenarl{
\ddx w(z(y(x))) \\
= w'(z(y(x))) \ddx z(y(x)) \\
= w'(z(z(x))) z'(y(x)) y'(x) \\
}
\\[20pt]
\aname4 &=&
\parenarl{
\ddx w(z(y(x))) \\
= w_z(z(y(x))) \ddx z(y(x)) \\
= w_z(z(z(x))) z_y(y(x)) y_x(x) \\
}
%
\\[20pt]
\aname5 &=&
\parenarl{
\ddx w \\
= w_z \ddx z \\
= w_z z_y y_x \\
}
&
\hspace*{-2cm}
\begin{array}{l}
y = y(x) \\
z = z(y) = z(y(x)) \\
w = w(z) = w(z(y)) = w(z(y(z))) \\
\end{array}
\\
\end{array}
$$
}\anothercol{
}}
\newpage
% «exercicio-10-dicas-2» (to ".exercicio-10-dicas-2")
% (c3m221nfp 17 "exercicio-10-dicas")
% (c3m221nfa "exercicio-10-dicas")
{\bf Dicas pro exercício 10 (cont.)}
\scalebox{0.65}{\def\colwidth{10cm}\firstcol{
O $\aname1$ é a versão em ``notação de matemáticos''.
O $\aname1$ é a versão mais geral.
O $\aname2$ é um caso particular do $\aname1$.
O $\aname3$ é uma ``versão renomeada'' do $\aname1$.
O $\aname4$ é uma ``versão abreviada'' do $\aname3$.
\msk
Toda vez que a gente tiver dúvidas sobre como fazer contas
numa notação como a do $\aname5$ a gente vai expandir
ele pra notação do $\aname4$, depois renomear as funções
``que têm nomes de variáveis'', como $y(x) \squigto f(x)$,
depois fazer as contas na ``notação de matemáticos'', e
depois voltar pra ``notação de físicos''...
\msk
Ou seja: se $y=y(x)$, $z=z(y)$ e $w=w(z)$,
%
$$\begin{array}{rl}
& \ddx w = ? \\
\squigto & \ddx w(z(y(x))) = ? \\
\squigto & \ddx h(g(f(x))) = ? \\
\end{array}
$$
}\anothercol{
e a gente tem que escrever os nomes
novos...por exemplo:
%
$$\hspace*{-2cm}
\begin{array}{l}
y=y(x)=h(x), \\
z=z(y)=g(y), \\
w=w(z)=f(z) \\
\end{array}
$$
e aí a gente calcula $\ddx h(g(f(x)))$ e
depois traduz as contas de volta pra
``notação de físicos''.
\msk
Lembre que eu nunca vi esse método
de tradução explicado direito, então
o que está aqui é uma {\sl tentativa}
de explicá-lo...
\msk
Ah, e se a gente se perder nas contas
na notação do $\aname1$ a gente pode tentar
fazer um caso particular, como o $\aname2$,
e depois voltar pro $\aname1$...
}}
\newpage
% ____ _ _ _
% | _ \(_)_ __ __ _ _ __ ___ (_) __| | ___
% | |_) | | '__/ _` | '_ ` _ \| |/ _` |/ _ \
% | __/| | | | (_| | | | | | | | (_| | __/
% |_| |_|_| \__,_|_| |_| |_|_|\__,_|\___|
%
% «piramide» (to ".piramide")
% (c3m232nfp 20 "piramide")
% (c3m232nfa "piramide")
% (c3m221nfp 19 "piramide")
% (c3m221nfa "piramide")
% (find-pdf-page "~/2022.1-C3/C3-quadros.pdf" 15)
{\bf Uma pirâmide}
(A gente viu isto na aula de 2022may20.)
\ssk
O objetivo desta aula e das próximas é fazer vocês
aprenderem a olhar pra algo como isso aqui...
%L -- (find-angg "LUA/Pict2e1-1.lua" "Numerozinhos-test3")
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(-1,-1), v(9,9))
%L pyr = Numerozinhos.from(0, 0, [[
%L 0 0 0 0 0 0 0 0 0
%L 0 0 0 0 0 0 0 0 0
%L 0 0 1 1 1 1 1 0 0
%L 0 0 1 2 2 2 1 0 0
%L 0 0 1 2 3 2 1 0 0
%L 0 0 1 2 2 2 1 0 0
%L 0 0 1 1 1 1 1 0 0
%L 0 0 0 0 0 0 0 0 0
%L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]])
%L pyr_spec = "(1,1)--(7,1)--(7,7)--(1,7)--(1,1)--(7,7) (1,7)--(7,1)"
%L pyr_spec2 = [[ (1,7)--(7,7)--(7,1)--(1,1)--(1,7)--(7,1)
%L (1,1)--(2,2) (3,3)--(7,7)
%L (2,2)--(2,3)--(3,3)--(3,2)--(2,2)
%L (2,3)--(3,2)
%L ]]
%L pyr:topict( ):sa("piramide" ):output()
%L pyr:topict(pyr_spec ):sa("piramide com linhas" ):output()
%L pyr:topict(pyr_spec2):sa("piramide com linhas 2"):output()
\pu
%$$\ga{piramide}
% \qquad
% \ga{piramide com linhas}
% \qquad
% \ga{piramide com linhas 2}
%$$
%
$$\ga{piramide}
$$
...e verem uma pirâmide.
\newpage
% «piramide-2» (to ".piramide-2")
% (c3m221nfp 20 "piramide-2")
% (c3m221nfa "piramide-2")
{\bf Uma pirâmide (2)}
\ssk
Note que isto é {\sl muito} diferente da noção de função de Cálculo
1... não estamos dizendo o domínio da função $F(x,y)$ do slide
anterior, não estamos dando uma fórmula pra ela, e só estamos dando o
valor dela em alguns pontos...
\ssk
A figura do slide anterior só define uma função se 1) a gente diz que
ela representa a função mais simples possível que assume aqueles
valores, 2) se todo mundo tem a mesma noção de ``função mais simples
possível'', e 3) se não estamos num caso ambíguo.
\ssk
Releia isto aqui, sobre ``adivinhar trajetórias'':
\ssk
{\footnotesize
% (c3m212vtp 7 "sobre-adivinhar-trajetorias")
% (c3m212vta "sobre-adivinhar-trajetorias")
% http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3-vetor-tangente.pdf#page=7
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C3-vetor-tangente.pdf\#page=7}
}
\msk
No diagrama de numerozinhos do slide anterior o leitor precisa
``adivinhar'' que a superfície $z=F(x,y)$ é feita de pedaços de
planos.
\newpage
% _ ____ _
% | | _____ __ | _ \ ___ | |_ _
% | | / _ \ \ /\ / / | |_) / _ \| | | | |
% | |__| (_) \ V V / | __/ (_) | | |_| |
% |_____\___/ \_/\_/ |_| \___/|_|\__, |
% |___/
%
% «low-poly» (to ".low-poly")
% (c3m232nfp 22 "low-poly")
% (c3m232nfa "low-poly")
% (c3m221nfp 21 "low-poly")
% (c3m221nfa "low-poly")
% https://en.wikipedia.org/wiki/Low_poly
% https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fb/Dolphin_triangle_mesh.png
{\bf Low Poly}
\scalebox{0.55}{\def\colwidth{13cm}\firstcol{
Computadores preferem pensar que superfícies 3D são feitas de
triângulos --- veja o golfinho abaixo e a página da Wikipedia sobre
``Low Poly''--- mas humanos preferem imaginar que triângulos vizinhos
que estão no mesmo plano em $\R^3$ são grudados e viram polígonos mais
complicados... Além disso qualquer diagrama de numerozinhos pode ser
triangulado de vários jeitos, e humanos costumam achar que a
triangulação da pirâmide acima à direita é ``mais natural'' que a
triangulação de baixo...
\ssk
Assista o vídeo sobre ``funções quadráticas'' (a partir do 4:05) pra
entender como nós vamos usar diagramas de numerozinhos pra superfícies
que não precisam ser compostas de polígonos, e o vídeo sobre ``cabos
na diagonal'' pra entender essa história das triangulações ``mais
naturais''.
Links:
\ssk
{\scriptsize
\url{https://en.wikipedia.org/wiki/Low_poly}
\ssk
% «video-quadraticas» (to ".video-quadraticas")
% (c3m221nfp 21 "video-quadraticas")
% (c3m221nfa "video-quadraticas")
% (c3m211qa "video-1")
% (find-ssr-links "c3m211q" "2021-1-C3-funcoes-quadraticas" "2noSv8hyNIk")
% (code-eevvideo "c3m211q" "2021-1-C3-funcoes-quadraticas" "2noSv8hyNIk")
% (code-eevlinksvideo "c3m211q" "2021-1-C3-funcoes-quadraticas" "2noSv8hyNIk")
% (find-c3m211qvideo "0:00")
\url{http://www.youtube.com/watch?v=2noSv8hyNIk}
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-1-C3-funcoes-quadraticas.mp4}
\ssk
% «video-cabos» (to ".video-cabos")
% (c3m221nfp 21 "video-cabos")
% (c3m221nfa "video-cabos")
% (c3m212dna "video-diagonal")
% (find-ssr-links "c3cd" "2021-2-c3-cabos-na-diagonal" "nxsIK0tPWAI")
% (code-eevvideo "c3cd" "2021-2-c3-cabos-na-diagonal" "nxsIK0tPWAI")
% (code-eevlinksvideo "c3cd" "2021-2-c3-cabos-na-diagonal" "nxsIK0tPWAI")
% (find-c3cdvideo "0:00")
\url{http://www.youtube.com/watch?v=nxsIK0tPWAI}
\url{http://angg.twu.net/eev-videos/2021-2-c3-cabos-na-diagonal.mp4}
}
\bsk
% (find-latexscan-links "C3" "Dolphin_triangle_mesh")
% (find-xpdf-page "~/LATEX/2022-1-C3/Dolphin_triangle_mesh.pdf")
$$\includegraphics[width=5cm]{2022-1-C3/Dolphin_triangle_mesh.pdf}$$
}\anothercol{
\vspace*{0cm}
$\hspace*{1cm}
\scalebox{1.25}{$
\begin{array}{c}
\ga{piramide com linhas} \\ \\
\ga{piramide com linhas 2}
\end{array}
$}
$
}}
% (find-pdf-page "~/2022.1-C3/C3-quadros.pdf" 15)
\newpage
% ____ _
% | _ \ ___ __ _(_) ___ ___ ___
% | |_) / _ \/ _` | |/ _ \ / _ \/ __|
% | _ < __/ (_| | | (_) | __/\__ \
% |_| \_\___|\__, |_|\___/ \___||___/
% |___/
%
% «regioes» (to ".regioes")
{\bf Regiões}
No próximo exercício vamos considerar
que o plano está divido nestas 5 regiões,
que vamos chamar de $N$, $W$, $E$, $S$, e $B$ ---
faces Norte, Oeste, Leste, Sul e ``base''...
$$\ga{piramide com linhas}
$$
% (find-pdf-page "~/2022.1-C3/C3-quadros.pdf" 16)
\newpage
% ____ _ ____
% | _ \ ___ __ _(_) ___ ___ ___ |___ \
% | |_) / _ \/ _` | |/ _ \ / _ \/ __| __) |
% | _ < __/ (_| | | (_) | __/\__ \ / __/
% |_| \_\___|\__, |_|\___/ \___||___/ |_____|
% |___/
%
% «regioes-2» (to ".regioes-2")
{\bf Regiões (2)}
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(0,0), v(6,6))
%L spec = "(0,2)--(2,2)--(4,4)--(6,4)"
%L linhas = PwSpec.from(spec):topict():prethickness("2pt")
%L linhas:pgat("pgatc"):preunitlength("7.5pt"):sa("Regioes 2"):output()
\pu
\def\fcases#1#2#3{
\begin{cases}
2 & \text{quando $#1$}, \\
x & \text{quando $#2$}, \\
4 & \text{quando $#3$} \\
\end{cases}}
\def\pyrcases{
\begin{cases}
F_B(x,y) & \text{quando $(x,y)∈B$}, \\
F_N(x,y) & \text{quando $(x,y)∈N$}, \\
F_W(x,y) & \text{quando $(x,y)∈W$}, \\
F_E(x,y) & \text{quando $(x,y)∈E$}, \\
F_S(x,y) & \text{quando $(x,y)∈S$}, \\
\end{cases}}
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{13.5cm}\firstcol{
As definições do $f_1, f_2, \ldots, f_5$ à direita definem a mesma
função, e a definição do $f_5(x)$ é uma tradução ``pra notação com
`$∈$'s\,'' da definição do $f_4(x)$...
\msk
Muitos matemáticos --- e livros, como por exemplo os do Guidorizzi
--- consideram que as definições do $f_4(x)$ e do $f_5(x)$ são
ruins porque as condições, ou ``regiões'', depois dos ``quando''s
não são disjuntas, e aí essas definições ``só fazem sentido'' se a
gente mostrar que quando $x∈(-∞,2]∩[2,4]$ temos $2=x$, e que
quando $x∈[2,4]∩[4,-∞)$ temos $x=4$...
\msk
A definição $f_1(x)$ por um gráfico nos permite pular certos
detalhes. É ``óbvio'' que ela corresponde a uma definição por
casos com três casos diferentes, mas com a definição pelo gráfico
a gente não precisa definir se o ponto $x=2$ pertence à primeira
região ou à segunda, e nem se o ponto $x=4$ pertence à segunda
região ou à terceira...
\msk
Dá pra gente definir a pirâmide do slide anterior ``de um jeito
que deixaria o Guidorizzi feliz'' por uma definição por casos como
a definição do $F_P(x)$ à direita, em que cada uma das funções
$F_B, F_N, F_W, F_E, F_S$ é um ``plano'', isto é, é da forma
$a + bx + cy$, e os conjuntos $B, N, W, E, S$ são descritos
formalmente de jeitos como este aqui...
%
$$S \;\; = \;\; \setofxyst{x≥y, \; 1≤y, \; x+y≤8}$$
Dê uma olhada nos slides 6 e 7 daqui:
\ssk
{\footnotesize
% (c2m221isp 6 "exercicio-2")
% (c2m221isa "exercicio-2")
% http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-infs-e-sups.pdf#page=6
\url{http://angg.twu.net/LATEX/2022-1-C2-infs-e-sups.pdf\#page=6}
}
Daqui a algumas aulas nós vamos fazer um monte de exercícios de
traduzir entre notação de conjuntos e representações gráficas ---
nós vamos precisar disso pra entender conjuntos abertos em
fechados em $\R^2$ --- mas por enquanto nós vamos definir regiões
do plano por figuras.
}\anothercol{
\vspace*{0cm}
$
\begin{array}{rcl}
f_1(x) &=& \ga{Regioes 2} \\
f_2(x) &=& \fcases{x<2}{2≤x≤4}{4<x} \\
f_3(x) &=& \fcases{x≤2}{2<x<4}{4≤x} \\
f_4(x) &=& \fcases{x≤2}{2≤x≤4}{4≤x} \\
f_5(x) &=& \fcases{x∈(-∞,2]}{x∈[2,4]}{x∈[4,+∞)} \\
\\
F_P(x) &=& \pyrcases \\
\end{array}
$
}}
\newpage
% «exercicio-11» (to ".exercicio-11")
% (c3m232nfp 25 "exercicio-11")
% (c3m232nfa "exercicio-11")
% (c3m221nfp 24 "exercicio-11")
% (c3m221nfa "exercicio-11")
% (find-pdf-page "~/2022.1-C3/C3-quadros.pdf" 16)
{\bf Exercício 11.}
Faça o diagrama de numerozinhos de cada uma das superfícies
$z=F(x,y)$ abaixo. Desenhe os numerozinhos nos pontos com
$x,y∈\{0,1,2,3,4\}$ --- ou seja, 25 numerozinhos em cada item.
\msk
a) $F(x,y) = 2x$
b) $F(x,y) = 3y$
c) $F(x,y) = 2x + 3y$
d) $F(x,y) = 10 + 2x + 3y$
\bsk
% «exercicio-12» (to ".exercicio-12")
% (c3m221nfp 24 "exercicio-12")
% (c3m221nfa "exercicio-12")
{\bf Exercício 12.}
Mostre que se $z = F(x,y)$ é um plano com equação
$F(x,y) = a + bx + cy$ então isto aqui vale:
%
$$∀(x_0,y_0),(x_1,y_1)∈\R^2. \; Δz = bΔx + cΔy.$$
\newpage
% «exercicio-13» (to ".exercicio-13")
% (c3m221nfp 25 "exercicio-13")
% (c3m221nfa "exercicio-13")
{\bf Exercício 13.}
\scalebox{0.8}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
A pirâmide dos slides anteriores pode ser descrita formalmente
por uma definição por casos como esta aqui,
%
$$\scalebox{0.7}{$
z \;\;=\;\; F_P(x) \;\;=\;\; \pyrcases
$}
$$
onde cada um dos $F_R(x,y)$, onde $R$ é $B, N, E, W$ ou $S$, é uma
equação de um plano --- ou seja, é ``da forma $a+bx+cy$''. Descubra
quais são estas equações de planos e escreva a sua resposta neste
formato aqui, mas com os números certos:
%
$$\scalebox{0.8}{$
\begin{array}{rcl}
F_B(x,y) &=& 2+3x+4y \\
F_N(x,y) &=& 5+6x+7y \\
F_W(x,y) &=& 8+9x+10y \\
F_E(x,y) &=& 11+12x+13y \\
F_S(x,y) &=& 14+15x+16y \\
\end{array}
$}
$$
}\anothercol{
}}
\newpage
% «barranco» (to ".barranco")
% (c3m221nfp 26 "barranco")
% (c3m221nfa "barranco")
% (find-angg "GNUPLOT/barranco.dem")
% «exercicio-14» (to ".exercicio-14")
% (c3m221nfp 26 "exercicio-14")
% (c3m221nfa "exercicio-14")
{\bf Exercício 14 (``barranco'').}
No exemplo da pirâmide a gente começou com um diagrama de numerozinhos
e aí encontrou um modo de dividir o plano em 5 regiões que fazia com
que todos os numerozinhos numa mesma região ficassem no mesmo plano.
Faça a mesma coisa com o diagrama de numerozinhos abaixo --- você vai
precisar de pelo menos 6 regiões.
%
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(-1,-1), v(9,9))
%L barranco = Numerozinhos.from(0, 0, [[
%L 4 4 4 4 4 4 4 4 4
%L 4 4 4 4 4 4 4 4 4
%L 3 3 3 3 4 4 4 4 4
%L 2 2 2 2 3 4 4 4 4
%L 1 1 1 1 2 3 4 4 4
%L 0 0 0 0 1 2 3 4 4
%L 0 0 0 0 0 1 2 2 2
%L 0 0 0 0 0 0 1 1 1
%L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]])
%L barranco_spec = [[
%L (0,7)--(3,7)--(7,3)--(8,3)
%L (3,7)--(3,3) (7,3)--(6,2) (6,0)--(6,2)--(8,2)
%L (0,3)--(3,3)--(6,0)--(8,0) ]]
%L barranco:topict( ):sa("barranco"):output()
%L barranco:topict(barranco_spec):sa("barranco com linhas"):output()
\pu
$$\ga{barranco}
%\quad
%\ga{barranco com linhas}
$$
% «f_barranco» (to ".f_barranco")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^")
% (setq eepitch-preprocess-regexp "^%T ")
%
%T * (eepitch-lua51)
%T * (eepitch-kill)
%T * (eepitch-lua51)
%T pr = function (f)
%T for y=8,0,-1 do
%T for x=0,8 do
%T printf("%d ", f(x,y))
%T end
%T print()
%T end
%T end
%T MAX = function (f, g)
%T return function (x,y) return max(f(x,y), g(x,y)) end
%T end
%T MIN = function (f, g)
%T return function (x,y) return min(f(x,y), g(x,y)) end
%T end
%T trAF = function (f) return MAX(MIN(fA, f), fF) end
%T fA = Code.ve(" x,y => 4 ")
%T fB = Code.ve(" x,y => y-3 ")
%T fC = Code.ve(" x,y => x+y-6 ")
%T fD = Code.ve(" x,y => y ")
%T fE = Code.ve(" x,y => 2*y-2 ")
%T fF = Code.ve(" x,y => 0 ")
%T pr(fA)
%T pr(fB)
%T pr(fF)
%T pr(trAF(fB))
%T pr(trAF(fC))
%T pr(trAF(fD))
%T pr(trAF(fE))
%T fDE = trAF(MAX(fD, fE))
%T fBC = trAF(MAX(fB, fC))
%T fBCDE = trAF(MIN(fBC, fDE))
%T pr(fDE)
%T pr(fBC)
%T pr(fBCDE)
$\def\B{\ga{barranco}}
\scalebox{0.6}{$
\begin{array}{cccc}
\B & \B & \B & \B \\
\B & \B & \B & \B \\
\B & \B & \B & \B \\
\end{array}
$}
$
\newpage
% «exercicio-15» (to ".exercicio-15")
% (c3m221nfp 28 "exercicio-15")
% (c3m221nfa "exercicio-15")
{\bf Exercício 15.}
\scalebox{0.7}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{
Lembre que em planos a fórmula da aproximação linear
%
$$\begin{array}{rcl}
F(x_0+Δx,y_0+Δy) &≈& F(x_0,y_0) \\
&+& F_x(x_0,y_0) Δx \\
&+& F_y(x_0,y_0) Δy \\
\end{array}
$$
dá resultados exatos...
\bsk
Seja $z=F(x,y)$ a função que dá a superfície da pirâmide da figura à
direita. Descubra os valores de:
\def\TC#1{\begin{tabular}[t]{c}#1\end{tabular}}
\TC{a) F(1.5, 3) \\
b) F(1.1, 3) \\
c) F(5.1, 3) \\
d) F(5.1, 2) \\
}
\quad
\TC{e) F(5.2, 2.3) \\
f) F(5.2, 1.9) \\
g) F(3.1, 2.1) \\
h) F(2.9, 1.9) \\
}
\msk
Tente fazer as contas de cabeça.
Se você se enrolar faça as contas todas explicitamente, e use os
``truques de tradução'' das páginas 6 e 7 pra fazer as contas da forma
mais clara possível... depois esconda as suas contas e tente obter
todos os resultados de novo de cabeça.
}\anothercol{
\vspace*{0.7cm}
$\ga{piramide com linhas}
$
}}
\newpage
% «exercicio-16» (to ".exercicio-16")
% (c3m221nfp 29 "exercicio-16")
% (c3m221nfa "exercicio-16")
{\bf Exercício 16.}
\scalebox{0.7}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{
Seja $z=F(x,y)$ a função que dá a superfície da pirâmide com duas
faces extras da figura à direita. Descubra os valores de:
\msk
\def\TC#1{\begin{tabular}[t]{c}#1\end{tabular}}
\TC{a) F(2.1, 2.1) \\
b) F(2.5, 2.5) \\
c) F(2.6, 2.6) \\
}
\msk
fazendo as contas de cabeça.
}\anothercol{
\vspace*{0.25cm}
$\ga{piramide com linhas 2}
$
}}
\newpage
% «derivada-direcional» (to ".derivada-direcional")
% (c3m221nfp 30 "derivada-direcional")
% (c3m221nfa "derivada-direcional")
% (c3m212qp 32 "derivada-direcional")
% (c3m212qa "derivada-direcional")
% (find-LATEXgrep "grep --color=auto -niH --null -e direcional *.tex")
{\bf Derivada direcional (Bortolossi)}
\scalebox{0.7}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
% (find-bortolossi8page (+ -290 291) "8. Derivadas direcionais e o vetor gradiente")
% (find-bortolossi8page (+ -290 296) "Definição 8.1. (Derivada direcional)")
% (find-bortolossi8page (+ -290 298) "8.2. O vetor gradiente")
% (find-bortolossi8page (+ -290 302) "direção de maior crescimento")
O Bortolossi define a derivada direcional
deste jeito, na p.296 do capítulo 8 dele:
$$\frac{∂f}{∂𝐛v}(𝐛p) =
\lim_{t→0} \frac{ f(𝐛p + t·𝐛v) - f(𝐛p) }{t}
$$
\msk
Digamos que $f:\R^2→\R$, que os argumentos da $f$
se chamem $x$ e $y$, que $𝐛p=(x_0,y_0)$, que o vetor $𝐛v$
seja $(α,β)$, e que $z=z(x,y)=f(x,y)$.
\bsk
{\bf Exercício 17.}
Seja $f(x,y) = z(x,y) = F(x,y)$, onde $F(x,y)$ é a pirâmide do
exercício 15 (figura à direita).
Sejam $𝐛p = (x_0,y_0) = (2,3)$ e $𝐛v = \VEC{α,β} = \VEC{2,0}$.
Calcule $\frac{ f(𝐛p + t·𝐛v) - f(𝐛p) }{t}$ para os seguintes valores
de $t$:
\msk
\def\TC#1{\begin{tabular}[t]{l}#1\end{tabular}}
\TC{a) $t=1$ \\
b) $t=2$ \\
c) $t=3$ \\
d) $t=1/2$ \\
}
\quad
\TC{e) $t=1/4$ \\
f) $t=-1$ \\
g) $t=-1/2$ \\
h) $t=-1/4$ \\
}
}\anothercol{
\vspace*{0.7cm}
$\ga{piramide com linhas}
$
\bsk
{\bf Exercício 18.}
A partir do que você obteve no
exercício 17, qual você acha que
deve ser o valor de $\frac{∂f}{∂\VEC{2,0}}((2,3))$?
\bsk
{\bf Exercício 19.}
...e o valor de $\frac{∂f}{∂\VEC{1,0}}((2,3))$?
}}
\newpage
% «gradiente» (to ".gradiente")
% (c3m221nfp 31 "gradiente")
% (c3m221nfa "gradiente")
{\bf O gradiente}
% (c3m221mt1p 2 "defs-miniteste")
% (c3m221mt1a "defs-miniteste")
%
%L -- (find-angg "LUA/Pict2e1-1.lua" "Numerozinhos-test3")
%L Pict2e.bounds = PictBounds.new(v(-1,-1), v(11,11))
%L pyr = Numerozinhos.from(0, 0, [[
%L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
%L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
%L 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
%L 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0
%L 0 0 0 0 0 1 2 3 1 0 0 0
%L 0 0 0 0 1 2 3 4 2 0 0 0
%L 0 0 0 1 2 3 4 5 3 1 0 0
%L 0 0 1 2 3 4 5 6 4 2 0 0
%L 0 0 0 0 1 2 3 4 2 0 0 0
%L 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0
%L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
%L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]])
%L pyr_spec = "(1,4)--(7,10)--(10,4)--(7,1)--(1,4) (1,4)--(10,4) (7,1)--(7,10)"
%L pyr:topict(pyr_spec ):sa("piramide MT1 com linhas"):output()
\pu
\scalebox{0.65}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
Obs: esse exercício aqui vai ser totalmente reescrito depois!
Leia a definição de gradiente na página p.298 do capítulo 8
do Bortolossi. Tente entendê-la usando as dicas abaixo.
\msk
Se $F:\R^2→\R$, então:
\ssk
a) $\frac{∂F}{∂x_1}(x_0,y_0) = \frac{∂F}{∂x}(x_0,y_0) = F_x(x_0,y_0)$,
\ssk
b) $\frac{∂F}{∂x}(x_0,y_0) = \frac{∂F}{∂\VEC{1,0}}(x_0,y_0)$,
\ssk
c) $\frac{∂F}{∂y}(x_0,y_0) = \frac{∂F}{∂\VEC{0,1}}(x_0,y_0)$
\ssk
d) $∇F = \VEC{F_x, F_y}$
\bsk
{\bf Exercício 20.}
a) Usando a $F$ da pirâmide mais simples, calcule:
$∇F(2,4), ∇F(4,2), ∇F(6,4), ∇F(4,6)$.
\msk
b) Represente graficamente $(x_0,y_0) + ∇F(x_0,y_0)$ para
estes valores de $(x_0,y_0)$: $(2,4), (4,2), (6,4), (4,6)$.
\msk
c) Seja $G$ a função da pirâmide torta do mini-teste.
Calcule: $∇G(5,3), ∇G(8,3), ∇G(8,6), ∇G(5,6)$.
\msk
d) Represente graficamente $G(x,y)+∇G(x,y)$ para
cada um dos 4 pontos do item (c).
}\anothercol{
\vspace*{0.1cm}
\hspace*{-1cm}
$\begin{array}{l}
\ga{piramide com linhas} \\ \\
\ga{piramide MT1 com linhas} \\
\end{array}
$
}}
\newpage
{\bf Exercício 21.}
% (find-books "__analysis/__analysis.el" "bortolossi")
% (find-bortolossi3page (+ -78 97) "3.3. Curvas de nível")
% (find-bortolossi3page (+ -78 98) "O desenho da curva de nível deve ser feito no plano")
Leia a definição de curvas de nível nas páginas
97 e 98 do capítulo 3 do Bortolossi.
\msk
a) Seja $F(x,y) = 2x + y$.
\ssk
b) Faça o diagrama de numerozinhos da
$F(x,y)$ para os pontos com $x,y∈\{0,1,2,3\}$.
\ssk
c) Desenhe quatro curvas de nível diferentes
da $F(x,y)$ sobre o diagrama do item (b).
\ssk
d) Represente graficamente $F+∇F$ para cada
um destes 16 pontos do (b). Isto vai dar 16
vetores, cada um apoiado num dos numerozinhos.
\newpage
\scalebox{0.9}{\def\colwidth{9cm}\firstcol{
{\bf Exercício 22.}
Faça a mesma coisa que você fez no
exercício 21, mas agora para
$F(x,y) = 3x - 2y$.
\bsk
{\bf Exercício 23.}
Faça a mesma coisa que você fez nos
exercício 21 e 22, mas agora para
\ssk
$\D F(x,y) = \frac{x^2 + y^2}{10}$ \; e
\ssk
$x,y∈\{-2,-1,0,1,2\}$.
\bsk
{\bf Exercício 24.}
Faça a mesma coisa que você fez no
exercício 23, mas agora para
\ssk
$\D F(x,y) = \frac{xy}{10}$.
}\anothercol{
}}
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c3dp"
% ee-tla: "c3m241dp"
% End: