|
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% (find-LATEX "2025-1-C2-VRP2.tex")
% (defun c () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex -record 2025-1-C2-VRP2.tex" :end))
% (defun C () (interactive) (find-LATEXsh "lualatex 2025-1-C2-VRP2.tex" "Success!!!"))
% (defun D () (interactive) (find-pdf-page "~/LATEX/2025-1-C2-VRP2.pdf"))
% (defun d () (interactive) (find-pdftools-page "~/LATEX/2025-1-C2-VRP2.pdf"))
% (defun e () (interactive) (find-LATEX "2025-1-C2-VRP2.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2025-1-C2-P2.tex"))
% (defun o () (interactive) (find-LATEX "2024-1-C2-VRP2.tex"))
% (defun u () (interactive) (find-latex-upload-links "2025-1-C2-VRP2"))
% (defun v () (interactive) (find-2a '(e) '(d)))
% (defun d0 () (interactive) (find-ebuffer "2025-1-C2-VRP2.pdf"))
% (defun cv () (interactive) (C) (ee-kill-this-buffer) (v) (g))
% (defun oe () (interactive) (find-2a '(o) '(e)))
% (code-eec-LATEX "2025-1-C2-VRP2")
% (find-pdf-page "~/LATEX/2025-1-C2-VRP2.pdf")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2025-1-C2-VRP2.pdf /tmp/")
% (find-sh0 "cp -v ~/LATEX/2025-1-C2-VRP2.pdf /tmp/pen/")
% (find-xournalpp "/tmp/2025-1-C2-VRP2.pdf")
% file:///home/edrx/LATEX/2025-1-C2-VRP2.pdf
% file:///tmp/2025-1-C2-VRP2.pdf
% file:///tmp/pen/2025-1-C2-VRP2.pdf
% http://anggtwu.net/LATEX/2025-1-C2-VRP2.pdf
% (find-LATEX "2019.mk")
% (find-Deps1-links "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-cps "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-Deps1-anggs "Caepro5 Piecewise2 Maxima2")
% (find-MM-aula-links "2025-1-C2-VRP2" "2" "c2m251vrp2" "c2vr2")
% «.defs» (to "defs")
% «.defs-T-and-B» (to "defs-T-and-B")
% «.defs-caepro» (to "defs-caepro")
% «.defs-pict2e» (to "defs-pict2e")
% «.defs-maxima» (to "defs-maxima")
% «.defs-V» (to "defs-V")
% «.defs-edovs» (to "defs-edovs")
% «.defs-edoexs» (to "defs-edoexs")
% «.title» (to "title")
% «.links» (to "links")
% «.questao-1» (to "questao-1")
% «.questao-2» (to "questao-2")
% «.questao-3» (to "questao-3")
% «.lembre-que-mangas» (to "lembre-que-mangas")
\documentclass[oneside,12pt]{article}
\usepackage[colorlinks,citecolor=DarkRed,urlcolor=DarkRed]{hyperref} % (find-es "tex" "hyperref")
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{pict2e}
\usepackage[x11names,svgnames]{xcolor} % (find-es "tex" "xcolor")
\usepackage{colorweb} % (find-es "tex" "colorweb")
%\usepackage{tikz}
%
% (find-LATEX "dednat7-test1.tex")
%\usepackage{proof} % For derivation trees ("%:" lines)
%\input diagxy % For 2D diagrams ("%D" lines)
%\xyoption{curve} % For the ".curve=" feature in 2D diagrams
%
\usepackage{edrx21} % (find-LATEX "edrx21.sty")
\input edrxaccents.tex % (find-LATEX "edrxaccents.tex")
\input edrx21chars.tex % (find-LATEX "edrx21chars.tex")
\input edrxheadfoot.tex % (find-LATEX "edrxheadfoot.tex")
\input edrxgac2.tex % (find-LATEX "edrxgac2.tex")
%
% (find-es "tex" "geometry")
\usepackage[a6paper, landscape,
top=1.5cm, bottom=.25cm, left=1cm, right=1cm, includefoot
]{geometry}
%
\begin{document}
% «defs» (to ".defs")
% (find-LATEX "edrx21defs.tex" "colors")
% (find-LATEX "edrx21.sty")
\def\drafturl{http://anggtwu.net/LATEX/2025-1-C2.pdf}
\def\drafturl{http://anggtwu.net/2025.1-C2.html}
\def\draftfooter{\tiny \href{\drafturl}{\jobname{}} \ColorBrown{\shorttoday{} \hours}}
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-caepro")
% (find-LATEX "2024-1-C2-carro.tex" "defs-pict2e")
\catcode`\^^J=10
\directlua{dofile "dednat7load.lua"} % (find-LATEX "dednat7load.lua")
\directlua{dednat7preamble()} % (find-angg "LUA/DednatPreamble1.lua")
\directlua{dednat7oldheads()} % (find-angg "LUA/Dednat7oldheads.lua")
% «defs-T-and-B» (to ".defs-T-and-B")
\long\def\ColorDarkOrange#1{{\color{orange!90!black}#1}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1)}}
\def\T(Total: #1 pts){{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\T(Total: #1 pts){\ColorRed{\bf(Total: #1 pts)}}
\def\B (#1 pts){\ColorDarkOrange{\bf(#1 pts)}}
% «defs-caepro» (to ".defs-caepro")
%L dofile "Caepro5.lua" -- (find-angg "LUA/Caepro5.lua" "LaTeX")
\def\Caurl #1{\expr{Caurl("#1")}}
\def\Cahref#1#2{\href{\Caurl{#1}}{#2}}
\def\Ca #1{\Cahref{#1}{#1}}
% «defs-pict2e» (to ".defs-pict2e")
%L dofile "Piecewise2.lua" -- (find-LATEX "Piecewise2.lua")
%L --dofile "Escadas1.lua" -- (find-LATEX "Escadas1.lua")
\def\pictgridstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.3pt}}
\def\pictaxesstyle{\linethickness{0.5pt}}
\def\pictnaxesstyle{\color{GrayPale}\linethickness{0.5pt}}
\celllower=2.5pt
% «defs-maxima» (to ".defs-maxima")
%L dofile "Maxima2.lua" -- (find-angg "LUA/Maxima2.lua")
\pu
% «defs-V» (to ".defs-V")
%L --- See: (find-angg "LUA/MiniV1.lua" "problem-with-V")
%L V = MiniV
%L v = V.fromab
\pu
% «defs-edovs» (to ".defs-edovs")
\input 2023-2-C2-edovs-defs.tex % (find-LATEX "2023-2-C2-edovs-defs.tex")
% «defs-edoexs» (to ".defs-edoexs")
\input 2023-2-C2-edos-exatas-defs.tex % (find-LATEX "2023-2-C2-edos-exatas-defs.tex")
% (c2m232edolsp 3 "defs-bodies")
% (c2m232edolsa "defs-bodies")
\sa {(**)}{\ensuremath{({*}{*})}}
\sa {(***)}{\ensuremath{({*}{*}{*})}}
\sa{(****)}{\ensuremath{({*}{*}{*}{*})}}
\def\mac{\mathsf{mac}}
\sa {*1}{\ensuremath{(*_1)}}
\sa {*2}{\ensuremath{(*_2)}}
\sa {*3}{\ensuremath{(*_3)}}
\sa {*4}{\ensuremath{(*_4)}}
\sa {*5}{\ensuremath{(*_5)}}
\sa {*6}{\ensuremath{(*_6)}}
\sa {*7}{\ensuremath{(*_7)}}
\def\P#1{\left( #1 \right)}
\sa{[EL3]}{\CFname{EL}{_3}}
\sa{(EL3)}{
\P{\begin{array}{rcl}
f'+fg & = & h \\
G' & = & g \\
f & = & e^{-G}(\intx{e^Gh} + C) \\
\end{array}
}}
\pu
% _____ _ _ _
% |_ _(_) |_| | ___ _ __ __ _ __ _ ___
% | | | | __| |/ _ \ | '_ \ / _` |/ _` |/ _ \
% | | | | |_| | __/ | |_) | (_| | (_| | __/
% |_| |_|\__|_|\___| | .__/ \__,_|\__, |\___|
% |_| |___/
%
% «title» (to ".title")
% (c2m251vrp2p 1 "title")
% (c2m251vrp2a "title")
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{1.2cm}
{\bf \Large Cálculo 2 - 2025.1}
\bsk
Prova de reposição (VR)
pra quem perdeu a P2
\bsk
Eduardo Ochs - RCN/PURO/UFF
\url{http://anggtwu.net/2025.1-C2.html}
\end{center}
\newpage
% «links» (to ".links")
% (c2m251vrp2p 2 "links")
% (c2m251vrp2a "links")
{\bf Links}
\scalebox{0.6}{\def\colwidth{16cm}\firstcol{
}\anothercol{
}}
\newpage
% «questao-1» (to ".questao-1")
% (c2m251p2p 3 "questao-1")
% (c2m251p2a "questao-1")
% 2jT272: (c2m242p2p 3 "questao-1")
% (c2m242p2a "questao-1")
% (c2m241p2p 3 "questao-1")
% (c2m241p2a "questao-1")
% (find-angg "MAXIMA/2024-2-C2-EDOVS.mac")
{\bf Questão 1}
\scalebox{0.49}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{
\vspace*{-0.4cm}
\T(Total: 5.0 pts)
Lembre que no curso eu mostrei que o meu modo preferido de escrever o
``método'' para resolver EDOs com variáveis separáveis --- ``EDOVSs''
--- é o ``método'' \ga{[M]} abaixo... eu pus o termo ``método'' entre
aspas porque alguns dos passos da \ga{[M]} são gambiarras nas quais a
gente não pode confiar totalmente, e aí a gente precisa sempre testar
as nossas soluções. O $\ga{[F3]}$ abaixo --- a ``fórmula'' --- é uma
versão resumida do \ga{[M]}.
%
$$\begin{array}{rcl}
\ga{[M]} &=& \ga{(M)} \\\\[-5pt]
\ga{[F3]} &=& \ga{(F3)} \\
\end{array}
$$
\vspace*{-5cm}
}\anothercol{
Seja $\ga{*1}$ esta EDOVSs:
%
$$\begin{array}{rcll}
\D \frac{dy}{dx} &=& \D \frac{-2(x+1)}{2(y-1)} & \qquad\ga{*1} \\
\end{array}
$$
a) \B (1.0 pts) Desenhe os tracinhos do campo de direções da EDO (*)
nos pontos com $x,y∈\{-2,-1,0,1,2\}$. Aqui você vai ter que desenhar
25 tracinhos e vai ter que caprichar -- um tracinho com coeficiente
angular $\frac12$ tem que ser visualmente bem diferente de um com
coeficiente angular 1 e de um com coeficiente angular $2$.
\ssk
b) \B (0.5 pts) Encontre as duas soluções gerais explícitas da EDO
$(*)$ -- a solução ``positiva'' e a ``negativa'' -- e dê nomes para
elas.
\ssk
c) \B (0.5 pts) Teste a sua solução ``negativa''.
\ssk
d) \B (1.0 pts) Sejam $P_1=(-1,0)$ e $P_2=(3,4)$. Encontre a solução
particular explcita que passa pelo ponto $P_1$ e a que passa pelo
ponto $P_2$. Dê nomes pra elas e teste-as.
\ssk
e) \B (1.0 pts) Verifique que a solução que você encontrou que passa
por $P_1$ não passa por $P_2$ e que a solução que você encontrou que
passa por $P_2$ não passa por $P_1$.
\ssk
f) \B (1.0 pts) Faça os gráficos das soluções que você encontrou no
item (d). Dica: as funções que você deve ter encontrado passam por
vários pontos com coordenadas inteiras; comece desenhando esses
pontos.
\bsk
\standout{Muito importante:} leia a página do ``Lembre que...''!
% (find-es "maxima" "2022-2-C2-P2")
}}
\newpage
\scalebox{0.45}{\def\colwidth{11cm}\firstcol{
% «questao-2» (to ".questao-2")
% 2jT273: (c2m242p2p 4 "questao-2")
% (c2m242p2a "questao-2")
% (c2m241p2p 4 "questao-2")
% (c2m241p2a "questao-2")
% (c2m232p2p 3 "questao-2")
% (c2m232p2a "questao-2")
{\bf Questão 2}
\T(Total: 4.0 pts)
\msk
Sejam \ga{*2} e \ga{*3} as EDOs abaixo:
%
$$\begin{array}{rcll}
y'' + 3y' - 10y &=& 0 & \qquad \ga{*2} \\
y'' + 4y' + 13y &=& 0 & \qquad \ga{*3} \\
\end{array}
$$
a) \B (0.5 pts) Encontre as soluções básicas e a solução geral da EDO
\ga{*2}. Dê um nome para cada uma delas.
\ssk
b) \B (1.0 pts) Encontre uma solução $g(x)$ da EDO \ga{*2} que
obedeça isto aqui: $g(0)=4$, $g'(0)=5$.
\ssk
c) \B (0.5 pts) Encontre as solução básicas complexas e as soluções
básicas reais da EDO \ga{*3}. Dê um nome para cada uma delas.
\ssk
d) \B (2.0 pts) Escolha uma das soluções básicas reais que você obteve
no item (c) e verifique que ela realmente é solução da EDO \ga{*3}.
Além disso verifique que $e^{4x}\cos(5x)$ não é solução da EDO
\ga{*3}. \standout{Importante:} {\sl O objetivo deste item é testar se
você sabe definir funções intermediárias, como $s=\sen 10x$, e
usá-las pra fazer as contas ficarem mais curtas e mais fáceis de
revisar do que as contas feitas do jeito ``óbvio''. Se você definir
funções intermediárias e fizer tudo direito -- inclusive o uso das
partículas em português -- este item vale 2.0; se você quiser fazer
as contas de outras formas este item vai valer no máximo 0.7}.
% \msk
% d) \B (0.5 pts) Teste a solução que você encontrou no item anterior.
\bsk
\bsk
}\anothercol{
% «questao-3» (to ".questao-3")
% (c2m251p2p 4 "questao-3")
% (c2m251p2a "questao-3")
% 2jT273: (c2m241p2p 4 "questao-4")
% (c2m241p2a "questao-4")
% (c2m241edosexatasp 5 "uma-questao-de-prova")
% (c2m241edosexatasa "uma-questao-de-prova")
{\bf Questão 3}
\T(Total: 2.0 pts)
\msk
4) Sejam $\ga{*4}$, $\ga{*5}$ e $\ga{*6}$ estas EDOs:
%
$$\begin{array}{rl}
20xy^3\,dx + 30x^2y^2\,dy = 0 & \ga{*5} \\
20x^2y^3\,dx + 30x^3y^2\,dy = 0 & \ga{*6} \\
% (8xy^2+14x)\,dx + (8x^2y+5)\,dy = 0 & \ga{*7} \\
\end{array}
$$
a) \B(0.1 pts) Mostre que a $\ga{*5}$ é exata.
b) \B(0.1 pts) Mostre que $\ga{*6}$ não é exata.
c) \B(0.4 pts) Encontre a solução geral explícita de $\ga{*5}$.
d) \B(0.4 pts) Teste a sua solução geral explícita da $\ga{*5}$.
e) \B(1.0 pts) Encontre a solução particular explícita da $\ga{*5}$
que passa pelo ponto $(-2,-5)$;
% e) \B(0.1 pts) Mostre que $\ga{*7}$ é exata.
% f) \B(0.9 pts) Encontre a solução geral {\sl implícita} da $\ga{*7}$.
% Aqui você não precisa encontrar a solução geral explícita -- as contas
% pra encontrar a solução geral explícita são grandes demais.
\ssk
Lembre que você pode usar este método:
%
$$\begin{array}[t]{rcl}
\ga{[E5]} &=& \ga{(E5)} \\
\end{array}
$$
\bsk
}}
\newpage
% «lembre-que-mangas» (to ".lembre-que-mangas")
% (c2m251p2p 5 "lembre-que-mangas")
% (c2m251p2a "lembre-que-mangas")
{\bf Lembre que... mangas}
%M (%i1) edo : 'diff(y,x) = -x/y;
%M (%o1) {\frac{d}{d\,x}}\,y=-\left({\frac{x}{y}}\right)
%M (%i2) imp : ode2(edo,y,x);
%M (%o2) -\left({\frac{y^2}{2}}\right)={\frac{x^2}{2}}+\mathrm{\%c}
%M (%i3) exps : solve(imp,y);
%M (%o3) \left[ y=-\sqrt{-x^2-2\,\mathrm{\%c}} , y=\sqrt{-x^2-2\,\mathrm{\%c}} \right]
%M (%i4) exps : subst(%c=-C3/2, %);
%M (%o4) \left[ y=-\sqrt{\mathrm{C3}-x^2} , y=\sqrt{\mathrm{C3}-x^2} \right]
%M (%i5) define(f1(x), rhs(exps[1]));
%M (%o5) \mathrm{f1}\left(x\right):=-\sqrt{\mathrm{C3}-x^2}
%M (%i6) define(f2(x), rhs(exps[2]));
%M (%o6) \mathrm{f2}\left(x\right):=\sqrt{\mathrm{C3}-x^2}
%M (%i7) define(f3(x), subst(C3=25, f2(x)));
%M (%o7) \mathrm{f3}\left(x\right):=\sqrt{25-x^2}
%M (%i8) 3=f3(4);
%M (%o8) 3=3
%M (%i9) is(3=f3(4));
%M (%o9) \mathbf{true}
%L maximahead:sa("manga", "")
\pu
\scalebox{0.5}{\def\colwidth{12cm}\firstcol{
{}
Lembre que:
\begin{itemize}
\item nós estamos usando o termo ``mangas'' pra palavras ou símbolos
que podem ter vários significados diferentes,
\item o `$=$' é uma manga,
\item NO MEU CRITÉRIO DE CORREÇÃO distinguir os vários tipos de `$=$'
vale boa parte dos pontos de cada questão,
\item a gente geralmente usa partículas em português pra distinguir os
vários tipos de `$=$'s,
\item as partículas que nós usamos mais vezes no curso são ``então'',
``lembre que'', ``sabemos que'' -- sendo que estas às vezes são
omitidas -- e ``seja'', ``queremos que'', ``vamos supor que'',
``vamos testar se'',
\item nós usamos testes e chutar-e-testar bastante no curso, mas nos
livros eles aparecem pouquíssimo -- os livros costumam mostrar só o
que dá certo,
\item no curso eu muitas vezes usava `$\smile$' e `$\frown$' pra
indicar ``deu certo'' e ``deu errado''.
\item uma das minhas desculpas pra usar o Maxima no curso é que quando
a gente traduz as contas de C2 pra Maxima os `$=$'s com significados
diferentes têm traduções totalmente diferentes.
\end{itemize}
}\anothercol{
Um exemplo em Maxima:
\bsk
\vspace*{0cm}
\def\hboxthreewidth {10cm}
$\scalebox{0.65}{\ga{manga}}$
}}
\GenericWarning{Success:}{Success!!!} % Used by `M-x cv'
\end{document}
% (find-pdfpages2-links "~/LATEX/" "2025-1-C2-VRP2")
% Local Variables:
% coding: utf-8-unix
% ee-tla: "c2vr2"
% ee-tla: "c2m251vrp2"
% End: