% (find-angg "LATEX/2009-2-C4-prova-2.tex")
% (find-dn4ex "edrx08.sty")
% (find-angg ".emacs.templates" "s2008a")
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-2-C4-prova-2.tex && latex    2009-2-C4-prova-2.tex"))
% (defun c () (interactive) (find-zsh "cd ~/LATEX/ && ~/dednat4/dednat41 2009-2-C4-prova-2.tex && pdflatex 2009-2-C4-prova-2.tex"))
% (eev "cd ~/LATEX/ && Scp 2009-2-C4-prova-2.{dvi,pdf} edrx@angg.twu.net:slow_html/LATEX/")
% (defun d () (interactive) (find-dvipage "~/LATEX/2009-2-C4-prova-2.dvi"))
% (find-dvipage "~/LATEX/2009-2-C4-prova-2.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-2-C4-prova-2.pdf")
% (find-pspage  "~/LATEX/2009-2-C4-prova-2.ps")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o 2009-2-C4-prova-2.ps 2009-2-C4-prova-2.dvi")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 600 -P pk -o 2009-2-C4-prova-2.ps 2009-2-C4-prova-2.dvi && ps2pdf 2009-2-C4-prova-2.ps 2009-2-C4-prova-2.pdf")
% (find-zsh0 "cd ~/LATEX/ && dvips -D 300 -o tmp.ps tmp.dvi")
% (find-pspage  "~/LATEX/tmp.ps")
% (ee-cp "~/LATEX/2009-2-C4-prova-2.pdf" (ee-twupfile "LATEX/2009-2-C4-prova-2.pdf") 'over)
% (ee-cp "~/LATEX/2009-2-C4-prova-2.pdf" (ee-twusfile "LATEX/2009-2-C4-prova-2.pdf") 'over)

\documentclass[oneside]{book}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{edrx08}       % (find-dn4ex "edrx08.sty")
%L process "edrx08.sty"  -- (find-dn4ex "edrx08.sty")
\input edrxheadfoot.tex   % (find-dn4ex "edrxheadfoot.tex")
\begin{document}

\input 2009-2-C4-prova-2.dnt

% (find-angg "LATEX/2009-2-C4-prova-1.tex")

%*
% (eedn4-51-bounded)

%Index of the slides:
%\msk
% To update the list of slides uncomment this line:
%\makelos{tmp.los}
% then rerun LaTeX on this file, and insert the contents of "tmp.los"
% below, by hand (i.e., with "insert-file"):
% (find-fline "tmp.los")
% (insert-file "tmp.los")

\def\sen{\operatorname{sen}}
\def\pmat#1{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
\def\bmat#1{\left|\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right|}
\def\sm#1{\begin{smallmatrix} #1 \end{smallmatrix}}
\def\bsm#1{\left|\begin{smallmatrix} #1 \end{smallmatrix}\right|}
\def\psm#1{\left(\begin{smallmatrix} #1 \end{smallmatrix}\right)}
\def\subst#1{\left[\begin{smallmatrix} #1 \end{smallmatrix}\right]}
\def\grad{¯{grad}}
\def\grad{\operatorname{grad}}
\def\div{¯{div}}
\def\div{\operatorname{div}}
\def\vF{\vec F}
\def\vG{\vec G}
\def\vH{\vec H}
\def\vn{\vec n}
\def\parx{\partial_x}
\def\pary{\partial_y}
\def\parz{\partial_z}

Cálculo 4 - Segunda Prova (P2)

PURO-UFF - 2009.2

7/dezembro/2009

Prof: Eduardo Ochs


\bsk
\bsk


Sejam $\vF, \vG, \vH$ os campos em $\R^2$ dados por:
%
$$\vec F(x,y) = \frac{1}{x^2 + y^2} \pmat{x \\ y},$$
$$\vec G(x,y) = \frac{1}{x^2 + y^2} \pmat{-y \\ x},$$
$$\vec H(x,y) = \vec F(x,y) + \vec G(x,y),$$

sejam $\gamma_1, \gamma_2, \gamma3: [0, 2\pi] \to \R^2$ as curvas parametrizadas
%
$$\gamma_1(\theta) = (\cos \theta, \sen \theta),$$
$$\gamma_2(\theta) = (2 \cos \theta, 2 \sen \theta),$$
$$\gamma_3(\theta) = (2 + \cos \theta, \sen \theta),$$

e seja $\gamma_4$ a curva que percorre no sentido anti-horário a
metade esquerda do círculo de raio 1 centrado em (0,0), depois anda de
$(0,-1)$ a $(2,-1)$ na horizontal, depois percorre a metade direita do
semicírculo de raio 1 centrado em $(2,0)$, depois anda na horizontal
de $(2,1)$ até $(0,1)$.

\bsk

\noindent {\bf (1)} (Total: 6.5 pontos). Tente encontrar uma função de
potencial $\Psi$ tal que $\grad \Psi = \vH$.

Sugestão: use diagramas, argumentos geométricos, Português,
propriedades de integrais, linearidade, tudo --- você pode até usar
``teoremas'' (na verdade ``conjeturas'') que você acha que devem ser
verdade, desde que você enuncie eles claramente.

\bsk


\noindent {\bf (2)} (Total: 3.0 pontos). Calcule a integral de linha
de $\vH$ sobre $\gamma_1$, $\gamma_2$, $\gamma_3$, $\gamma_4$
($\int_{\gamma_1} \vH·d\gamma$, $\int_{\gamma_2} \vH·d\gamma$, etc), e
calcule o fluxo de $\vH$ através de $\gamma_1$, $\gamma_2$,
$\gamma_3$, $\gamma_4$ ($\int_{\gamma_1} \vH·\vn\,dS$, etc).


\bsk




\noindent {\bf (3)} (Total: 2.0 pontos). Nós vimos no curso o
``Teorema do rotacional no plano'', também chamado de Teorema de
Stokes no plano, ou teorema de Green. O rotacional de um campo
vetorial no plano é um {\sl número}, e o rotacional de um campo em 3D
é um vetor. Tente generalizar o ``teorema do rotacional no plano''
para o que você acha que deve ser o correspondente em 3D.




% Lembre que quase nada pode ser pior do que o que cinco pessoas da
% turma fizeram na P1: elas deram como resposta a um certo item da prova
% uma conta, sem explicação, que imagino que elas tenham colado umas das
% outras e que tinha erros conceituais gravíssimos.

 
\bsk
\bsk
\bsk


\newpage

{\setlength{\parindent}{0pt}



{\bf Algumas fórmulas:}

Em 2D, $\nabla = \psm{\parx \\ \pary}$, e se $\vF(x,y) = \psm{P(x,y) \\ Q(x,y)}$ então:

$\grad f = \nabla f = \psm{\parx \\ \pary} f = \psm{\parx f \\ \pary f}$

$\div \vF = \nabla·\vF = \psm{\parx \\ \pary}·\vF = \psm{\parx f \\ \pary f}$






Teorema do divergente (de Gauss) em 2D:

$\oint_{\partial B} \vF·\vn\,dS = \iint_B \div \vF \,dx\,dy$

Teorema do rotacional (de Green) em 2D:

$\oint_{\gamma} \vF·\vn\,dS = \iint_B \div \vF \,dx\,dy$

Teorema do rotacional (de Stokes) em 3D: $\oint_{\partial B} \vF·\vn\,dS = \iint_B \div \vF \,dx\,dy$




Área de uma superfície $z=z(x,y)$ sobre uma região $B \subset \R^2$:
%
$$\int\int_B \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \;dx\,dy$$

Coordenadas polares:
%
$$
\begin{array}{rcl}
  x &=& r \cos  \\
  y &=& r \sen  \\
  r^2 &=& x^2 + y^2 \\
\end{array}
\qquad
dx\,dy = \bsm{x_r & x_ \\ y_r & y_} \,dr\,d  = r\,dr\,d
$$


Um modo de escrever a substituição (na integral simples):
%
$$\int_{t=\sqrt\pi}^{t=\sqrt{2\pi}} (\sen t^2)\, 2t \, dt =
  \subst{x = t^2 \\ t = \sqrt x \\ dx = 2t \, dt} \int_{x=\pi}^{x=2\pi} \sen x \, dx
$$

\bsk
\bsk


A prova é para ser feita em duas horas, sem consulta.

Responda claramente e justifique cada passo.

Lembre que a correção irá julgar o que você escreveu, e

que é impossível ler o que você pensou mas não escreveu.

Lembre que a resposta esperada para cada questão não é só

uma fórmula ou um número --- a ``resposta certa'' é um

raciocínio claro e convincente.

Outra dica: {\sl confira as suas respostas!}

\ssk

{\bf Boa prova!}

}



%*

\end{document}

% Local Variables:
% coding:           raw-text-unix
% ee-anchor-format: "«%s»"
% End: